prue ba 2 2 semestre

1. prueba test

Instrucciones

Marca una sola alternativa por pregunta.
Trabaja con coordenadas en el espacio \((x,y,z)\) y respeta el orden de las componentes.
En las ecuaciones paramétricas, el parámetro puede representarse mediante \(t\), \(s\), \(\lambda\) u otra letra.
Para determinar una intersección entre rectas, recuerda que debe existir un valor de los parámetros para el cual las tres coordenadas representen el mismo punto.
En un plano, el vector normal es perpendicular a los vectores contenidos en el plano.
No se requieren aproximaciones ni redondeos. Expresa los resultados de manera exacta.
Cada pregunta vale 2 puntos.

La recta \(L:(x,y,z)=(2,1,5)+t(1,2,-1)\) tiene como vector director:

\((2,1,5)\)
\((1,2,-1)\)
\((3,3,4)\)
\((-1,-2,1)\)

En la recta \(L:(x,y,z)=(2,1,5)+t(1,2,-1)\), ¿qué punto se obtiene al usar \(t=3\)?

\((3,3,4)\)
\((5,6,2)\)
\((5,7,8)\)
\((5,7,2)\)

¿Cuál de los siguientes puntos pertenece necesariamente a la recta \(L:(x,y,z)=(2,1,5)+t(1,2,-1)\)?

\((2,1,5)\)
\((1,2,-1)\)
\((2,2,5)\)
\((3,2,4)\)

Una recta pasa por \(P=(1,-2,3)\) y tiene vector director \((2,1,-4)\). ¿Cuál es una parametrización correcta?

\(x=2+t,\ y=1-2t,\ z=-4+3t\)
\(x=1+t,\ y=-2+2t,\ z=3-4t\)
\(x=1+2t,\ y=-2+t,\ z=3-4t\)
\(x=1+2t,\ y=-2-t,\ z=3+4t\)

Considera la recta \(L\) dada por \(x=4-2\lambda,\ y=5-\lambda,\ z=3+\lambda\). ¿Qué punto de la recta corresponde a \(\lambda=0\)?

\((-2,-1,1)\)
\((4,5,3)\)
\((2,4,4)\)
\((4,-2,5)\)

Sean \(L_1:(x,y,z)=(2,1,5)+t(1,2,-1)\) y \(L_2:(x,y,z)=(4,5,3)+\lambda(-2,-1,1)\). ¿Cuál es el punto de intersección de ambas rectas?

\((4,5,3)\)
\((2,1,5)\)
\((3,3,4)\)
\((0,3,5)\)

Para comprobar que dos rectas en el espacio se intersecan, ¿qué condición debe cumplirse?

Sus puntos iniciales deben ser iguales.
Sus vectores directores deben tener las mismas componentes.
Los parámetros de ambas rectas deben tener siempre el mismo valor.
Debe existir una elección de parámetros que produzca el mismo punto en ambas rectas.

Sean \(L_1:(x,y,z)=(1,0,2)+t(1,1,0)\) y \(L_2:(x,y,z)=(3,2,2)+s(-1,0,0)\). ¿En qué punto se intersecan?

\((1,0,2)\)
\((2,1,2)\)
\((3,2,2)\)
\((2,2,2)\)

Un plano pasa por \(P_0=(1,2,-1)\) y tiene vector normal \((2,-3,1)\). ¿Cuál es su ecuación en forma punto-normal?

\(2(x-1)-3(y-2)+(z+1)=0\)
\(2(x+1)-3(y+2)+(z-1)=0\)
\((x-1)+2(y-2)-3(z+1)=0\)
\(2x-3y+z=0\)

En la ecuación \(3(x-1)+2(y+4)-5(z-2)=0\), ¿cuál es un vector normal al plano?

\((1,-4,2)\)
\((3,2,-5)\)
\((3,-2,5)\)
\((-1,4,-2)\)

Un plano pasa por \(P_0=(2,0,3)\) y tiene vector normal \((1,2,-1)\). ¿Cuál es su ecuación cartesiana simplificada?

\(x+2y-z-1=0\)
\(x-2y-z+1=0\)
\(x+2y+z-5=0\)
\(x+2y-z+1=0\)

¿Cuál de los siguientes puntos pertenece al plano \(2x-y+z=5\)?

\((2,0,1)\)
\((1,1,1)\)
\((2,2,2)\)
\((0,1,4)\)

El plano \(x-2y+3z=7\) tiene como vector normal:

\((7,0,0)\)
\((1,2,3)\)
\((1,-2,3)\)
\((-1,-2,-3)\)

Un plano pasa por el punto \((1,2,0)\) y tiene vector normal \((2,1,-1)\). ¿Cuál es su ecuación cartesiana?

\(2x+y-z+4=0\)
\(2x+y-z-4=0\)
\(x+2y-z-5=0\)
\(2x-y+z=0\)

Sea \(P_0=(x_0,y_0,z_0)\) un punto fijo de un plano y \(P=(x,y,z)\) otro punto cualquiera del mismo plano. Si \(\vec n=(A,B,C)\) es normal al plano, ¿qué relación permite obtener su ecuación?

\(\vec n\cdot(P-P_0)=0\)
\(\vec n+(P-P_0)=0\)
\(\vec n\cdot P=1\)
\(P+P_0=\vec n\)

¿Cuál de los siguientes puntos pertenece al plano \(2x+y-z=4\)?

\((1,1,1)\)
\((0,2,1)\)
\((1,0,0)\)
\((2,1,1)\)

¿Cuál es la forma cartesiana simplificada de \(3(x-2)-2(y+1)+(z-4)=0\)?

\(3x-2y+z-8=0\)
\(3x-2y+z-12=0\)
\(3x+2y+z-12=0\)
\(3x-2y-z-12=0\)

En un plano se fija \(P_0=(2,-1,3)\) y se considera otro punto \(P=(5,1,4)\). ¿Cuál es el vector \(P-P_0\)?

\((7,0,7)\)
\((-3,-2,-1)\)
\((3,2,1)\)
\((3,0,1)\)