• Curso: 3° medio diferenciado.
• Unidad: Rectas y planos en el espacio.
• Tiempo: 75 minutos.
• Total de preguntas: 18.
• Puntaje por pregunta: 2 puntos.
• Puntaje total: 36 puntos.
• Porcentaje de aprobación: 60%.
• Puntaje mínimo de aprobación: 22 puntos.

Pregunta 1

Alternativa correcta: B

Justificación: En una recta escrita como \((x,y,z)=P_0+t\vec v\), el vector que multiplica al parámetro es el vector director. Por lo tanto, el vector director es \((1,2,-1)\).

Pregunta 2

Alternativa correcta: D

Justificación: Sustituyendo \(t=3\): \(x=2+3=5\), \(y=1+2\cdot3=7\) y \(z=5-3=2\). El punto es \((5,7,2)\).

Pregunta 3

Alternativa correcta: A

Justificación: Al tomar \(t=0\) en \((x,y,z)=(2,1,5)+t(1,2,-1)\), se obtiene directamente el punto \((2,1,5)\). En la versión corregida, la alternativa D debe ser \((3,2,4)\), que no pertenece a la recta.

Pregunta 4

Alternativa correcta: C

Justificación: Una recta que pasa por \((1,-2,3)\) y tiene vector director \((2,1,-4)\) puede escribirse como \(x=1+2t\), \(y=-2+t\), \(z=3-4t\).

Pregunta 5

Alternativa correcta: B

Justificación: Para \(\lambda=0\), se obtiene \(x=4\), \(y=5\) y \(z=3\). Por lo tanto, el punto es \((4,5,3)\).

Pregunta 6

Alternativa correcta: A

Justificación: En \(L_1\), tomando \(t=2\), se obtiene \((4,5,3)\). En \(L_2\), tomando \(\lambda=0\), también se obtiene \((4,5,3)\). Por lo tanto, ese es el punto de intersección.

Pregunta 7

Alternativa correcta: D

Justificación: Dos rectas se intersecan cuando existen valores de sus parámetros que hacen que ambas produzcan exactamente el mismo punto del espacio.

Pregunta 8

Alternativa correcta: C

Justificación: En \(L_1\), la coordenada \(y=t\). Para coincidir con \(L_2\), cuya coordenada \(y\) es \(2\), debe ser \(t=2\). Así se obtiene \((3,2,2)\), que corresponde además a \(s=0\) en \(L_2\).

Pregunta 9

Alternativa correcta: A

Justificación: La forma punto-normal es \(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\). Con \(P_0=(1,2,-1)\) y normal \((2,-3,1)\), resulta \(2(x-1)-3(y-2)+(z+1)=0\).

Pregunta 10

Alternativa correcta: B

Justificación: En \(3(x-1)+2(y+4)-5(z-2)=0\), los coeficientes que acompañan a las diferencias de coordenadas forman un vector normal: \((3,2,-5)\).

Pregunta 11

Alternativa correcta: D

Justificación: La ecuación punto-normal es \((x-2)+2(y-0)-(z-3)=0\). Al simplificar: \(x-2+2y-z+3=0\), por lo que \(x+2y-z+1=0\).

Pregunta 12

Alternativa correcta: A

Justificación: Sustituyendo \((2,0,1)\) en \(2x-y+z=5\), se obtiene \(2\cdot2-0+1=5\). Por lo tanto, el punto pertenece al plano.

Pregunta 13

Alternativa correcta: C

Justificación: En una ecuación cartesiana \(Ax+By+Cz=D\), un vector normal es \((A,B,C)\). Para \(x-2y+3z=7\), el vector normal es \((1,-2,3)\).

Pregunta 14

Alternativa correcta: B

Justificación: Usando el punto \((1,2,0)\) y la normal \((2,1,-1)\): \(2(x-1)+(y-2)-z=0\). Al simplificar se obtiene \(2x+y-z-4=0\).

Pregunta 15

Alternativa correcta: A

Justificación: Como \(P-P_0\) es un vector contenido en el plano y \(\vec n\) es normal al plano, ambos son perpendiculares. Por ello, su producto punto debe cumplir \(\vec n\cdot(P-P_0)=0\).

Pregunta 16

Alternativa correcta: D

Justificación: Sustituyendo \((2,1,1)\) en \(2x+y-z=4\), resulta \(2\cdot2+1-1=4\). Por lo tanto, el punto pertenece al plano.

Pregunta 17

Alternativa correcta: B

Justificación: Desarrollando \(3(x-2)-2(y+1)+(z-4)=0\), se obtiene \(3x-6-2y-2+z-4=0\). Al reducir términos semejantes resulta \(3x-2y+z-12=0\).

Pregunta 18

Alternativa correcta: C

Justificación: Se restan las coordenadas correspondientes: \(P-P_0=(5-2,1-(-1),4-3)=(3,2,1)\).

Resumen de claves correctas

1) B, 2) D, 3) A, 4) C, 5) B, 6) A, 7) D, 8) C, 9) A, 10) B, 11) D, 12) A, 13) C, 14) B, 15) A, 16) D, 17) B, 18) C.