prue ba 2 2 semestre

4. V22

Instrucciones

Marca una sola alternativa por pregunta.
Trabaja con coordenadas en el espacio \((x,y,z)\) y respeta el orden de las componentes.
En las ecuaciones paramétricas, el parámetro puede representarse mediante \(t\), \(s\), \(\lambda\) u otra letra.
Para determinar una intersección entre rectas, debe existir una elección de los parámetros para la cual ambas rectas representen el mismo punto.
En un plano, el vector normal es perpendicular a los vectores contenidos en el plano.
No se requieren aproximaciones ni redondeos. Expresa los resultados de manera exacta.
Cada pregunta vale 2 puntos.

La recta \(L:(x,y,z)=(4,-1,2)+t(2,3,-2)\) tiene como vector director:

\((4,-1,2)\)
\((2,3,-2)\)
\((6,2,0)\)
\((-2,3,2)\)

En la recta \(L:(x,y,z)=(-1,2,5)+t(3,-2,1)\), ¿qué punto se obtiene al usar \(t=2\)?

\((2,0,6)\)
\((5,6,7)\)
\((5,-2,7)\)
\((6,-2,7)\)

¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta \(L:(x,y,z)=(2,-1,3)+t(1,2,-2)\)?

\((3,1,1)\)
\((3,0,1)\)
\((1,1,1)\)
\((3,1,2)\)

Una recta pasa por \(P=(1,3,-2)\) y tiene vector director \((-2,1,4)\). ¿Cuál es una parametrización correcta?

\(x=1+2t,\ y=3+t,\ z=-2-4t\)
\(x=-2+t,\ y=1+3t,\ z=4-2t\)
\(x=1-2t,\ y=3-t,\ z=-2+4t\)
\(x=1-2t,\ y=3+t,\ z=-2+4t\)

Considera la recta \(x=5-2\lambda,\ y=1+3\lambda,\ z=-4+\lambda\). ¿Qué punto corresponde a \(\lambda=0\)?

\((-2,3,1)\)
\((5,1,-4)\)
\((3,4,-3)\)
\((5,-1,4)\)

Sean \(L_1:(x,y,z)=(1,0,2)+t(2,1,-1)\) y \(L_2:(x,y,z)=(5,2,0)+s(-1,2,1)\). ¿Cuál es el punto de intersección de ambas rectas?

\((1,0,2)\)
\((4,2,0)\)
\((5,2,0)\)
\((3,1,1)\)

¿Qué condición permite afirmar que dos rectas del espacio se intersecan?

Sus vectores directores deben ser iguales.
Sus parámetros deben tomar siempre el mismo valor.
Sus puntos iniciales deben coincidir.
Deben existir valores de los parámetros que produzcan el mismo punto en ambas rectas.

Sean \(L_1:(x,y,z)=(1,1,0)+t(1,2,1)\) y \(L_2:(x,y,z)=(3,5,2)+s(2,-1,0)\). ¿En qué punto se intersecan?

\((3,5,2)\)
\((2,3,1)\)
\((1,1,0)\)
\((4,5,2)\)

Un plano pasa por \(P_0=(1,-2,3)\) y tiene vector normal \((2,1,-3)\). ¿Cuál es su ecuación en forma punto-normal?

\(2(x+1)+(y-2)-3(z+3)=0\)
\((x-1)+2(y+2)-3(z-3)=0\)
\(2(x-1)+(y+2)-3(z-3)=0\)
\(2(x-1)-(y+2)+3(z-3)=0\)

En la ecuación \(3(x-2)-4(y+1)+5(z-3)=0\), ¿cuál es un vector normal al plano?

\((2,-1,3)\)
\((3,-4,5)\)
\((3,4,-5)\)
\((-3,-4,5)\)

Un plano pasa por \(P_0=(2,1,-1)\) y tiene vector normal \((1,-2,3)\). ¿Cuál es su ecuación cartesiana simplificada?

\(x-2y+3z-3=0\)
\(x+2y+3z-1=0\)
\(x-2y-3z-3=0\)
\(x-2y+3z+3=0\)

¿Cuál de los siguientes puntos pertenece al plano \(2x+y-z=5\)?

\((2,2,1)\)
\((1,1,1)\)
\((2,0,0)\)
\((0,3,1)\)

El plano \(2x-5y+z=9\) tiene como vector normal:

\((9,0,0)\)
\((2,5,-1)\)
\((2,-5,1)\)
\((-2,-5,-1)\)

Un plano pasa por el punto \((1,2,-1)\) y tiene vector normal \((3,1,2)\). ¿Cuál es su ecuación cartesiana?

\(3x+y+2z-1=0\)
\(3x+y+2z-3=0\)
\(3x-y+2z+1=0\)
\(x+3y+2z-5=0\)

Sea \(P_0=(x_0,y_0,z_0)\) un punto de un plano y \(P=(x,y,z)\) otro punto del mismo plano. Si \(\vec n\) es normal al plano, ¿qué relación debe cumplirse?

\(\vec n\cdot(P-P_0)=0\)
\(\vec n\cdot(P-P_0)=1\)
\(\vec n=P-P_0\)
\(\vec n+(P-P_0)=0\)

¿Cuál de los siguientes puntos pertenece al plano \(x-2y+z=3\)?

\((1,0,1)\)
\((2,1,1)\)
\((1,1,1)\)
\((3,1,2)\)

¿Cuál es la forma cartesiana simplificada de \(4(x-1)-2(y+3)+(z-2)=0\)?

\(4x-2y+z-4=0\)
\(4x-2y+z-12=0\)
\(4x+2y+z-12=0\)
\(4x-2y-z-12=0\)

En un plano se fija \(P_0=(2,-3,1)\) y se considera otro punto \(P=(5,1,4)\). ¿Cuál es el vector \(P-P_0\)?

\((3,4,3)\)
\((7,-2,5)\)
\((-3,-4,-3)\)
\((3,-2,3)\)