• Curso: 3° medio diferenciado.
• Unidad: Rectas y planos en el espacio.
• Tiempo: 75 minutos.
• Total de preguntas: 18.
• Puntaje por pregunta: 2 puntos.
• Puntaje total: 36 puntos.
• Porcentaje de aprobación: 60%.
• Puntaje mínimo de aprobación: 22 puntos.

Pregunta 1

Alternativa correcta: B

Justificación: En \(L:(x,y,z)=(4,-1,2)+t(2,3,-2)\), el vector que multiplica al parámetro \(t\) corresponde al vector director. Por lo tanto, es \((2,3,-2)\).

Pregunta 2

Alternativa correcta: C

Justificación: Sustituyendo \(t=2\): \(x=-1+3\cdot2=5\), \(y=2-2\cdot2=-2\) y \(z=5+2=7\). El punto obtenido es \((5,-2,7)\).

Pregunta 3

Alternativa correcta: A

Justificación: Para \(t=1\), se obtiene \((2+1,-1+2,3-2)=(3,1,1)\). Por lo tanto, este punto pertenece a la recta.

Pregunta 4

Alternativa correcta: D

Justificación: La recta pasa por \((1,3,-2)\) y tiene vector director \((-2,1,4)\). Por ello, una parametrización correcta es \(x=1-2t\), \(y=3+t\), \(z=-2+4t\).

Pregunta 5

Alternativa correcta: B

Justificación: Al usar \(\lambda=0\), resulta \(x=5\), \(y=1\) y \(z=-4\). Por lo tanto, el punto es \((5,1,-4)\).

Pregunta 6

Alternativa correcta: C

Justificación: En \(L_1\), para \(t=2\), se obtiene \((1+4,0+2,2-2)=(5,2,0)\). En \(L_2\), para \(s=0\), se obtiene también \((5,2,0)\). Por lo tanto, ese es el punto de intersección.

Pregunta 7

Alternativa correcta: D

Justificación: Dos rectas se intersecan cuando existen valores de sus respectivos parámetros que permiten obtener exactamente el mismo punto del espacio.

Pregunta 8

Alternativa correcta: A

Justificación: En \(L_1\), para \(t=2\), se obtiene \((1+2,1+4,0+2)=(3,5,2)\). En \(L_2\), para \(s=0\), se obtiene también \((3,5,2)\).

Pregunta 9

Alternativa correcta: C

Justificación: La forma punto-normal es \(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\). Usando \(P_0=(1,-2,3)\) y \(\vec n=(2,1,-3)\), resulta \(2(x-1)+(y+2)-3(z-3)=0\).

Pregunta 10

Alternativa correcta: B

Justificación: En \(3(x-2)-4(y+1)+5(z-3)=0\), los coeficientes que acompañan a las diferencias de coordenadas forman un vector normal. Por lo tanto, es \((3,-4,5)\).

Pregunta 11

Alternativa correcta: D

Justificación: La ecuación punto-normal es \((x-2)-2(y-1)+3(z+1)=0\). Al desarrollar: \(x-2-2y+2+3z+3=0\), por lo tanto \(x-2y+3z+3=0\).

Pregunta 12

Alternativa correcta: A

Justificación: Sustituyendo \((2,2,1)\) en \(2x+y-z=5\), se obtiene \(2\cdot2+2-1=5\). Por lo tanto, el punto pertenece al plano.

Pregunta 13

Alternativa correcta: C

Justificación: En la ecuación \(2x-5y+z=9\), los coeficientes de \(x\), \(y\) y \(z\) forman un vector normal. Por lo tanto, es \((2,-5,1)\).

Pregunta 14

Alternativa correcta: B

Justificación: La forma punto-normal es \(3(x-1)+(y-2)+2(z+1)=0\). Al desarrollar se obtiene \(3x-3+y-2+2z+2=0\), es decir, \(3x+y+2z-3=0\).

Pregunta 15

Alternativa correcta: A

Justificación: El vector \(P-P_0\) está contenido en el plano y \(\vec n\) es normal al plano. Como ambos son perpendiculares, se cumple \(\vec n\cdot(P-P_0)=0\).

Pregunta 16

Alternativa correcta: D

Justificación: Sustituyendo \((3,1,2)\) en \(x-2y+z=3\), se obtiene \(3-2\cdot1+2=3\). Por lo tanto, el punto pertenece al plano.

Pregunta 17

Alternativa correcta: B

Justificación: Desarrollando \(4(x-1)-2(y+3)+(z-2)=0\), se obtiene \(4x-4-2y-6+z-2=0\). Al simplificar resulta \(4x-2y+z-12=0\).

Pregunta 18

Alternativa correcta: A

Justificación: Se restan las coordenadas correspondientes: \(P-P_0=(5-2,1-(-3),4-1)=(3,4,3)\).

Resumen de claves correctas

1) B, 2) C, 3) A, 4) D, 5) B, 6) C, 7) D, 8) A, 9) C, 10) B, 11) D, 12) A, 13) C, 14) B, 15) A, 16) D, 17) B, 18) A.