Datos generales de corrección

• Curso: 3° medio diferenciado.
• Unidad: Rectas y planos en el espacio.
• Tiempo: 75 minutos.
• Total de preguntas: 18.
• Puntaje por pregunta: 2 puntos.
• Puntaje total: 36 puntos.
• Porcentaje de aprobación: 60%.
• Puntaje mínimo alcanzable de aprobación: 22 puntos, equivalentes a 11 respuestas correctas. El 60% del puntaje total corresponde a \(21{,}6\) puntos.

Esta pauta corresponde a la versión 5 corregida: en la pregunta 16, la alternativa C es \((0,1,1)\).

Pregunta 1

Alternativa correcta: C

Justificación: En una recta de la forma \((x,y,z)=P_0+t\vec v\), el vector que multiplica al parámetro indica la dirección. Por lo tanto, en \((x,y,z)=(3,-2,4)+t(-2,5,1)\), un vector director es \(\vec v=(-2,5,1)\).

Pregunta 2

Alternativa correcta: A

Justificación: Se reemplaza \(t=2\) en las tres coordenadas:

\(x=-1+3\cdot2=5\), \(y=4-2\cdot2=0\), \(z=2+2=4\).

El punto obtenido es \((5,0,4)\).

Pregunta 3

Alternativa correcta: D

Justificación: Para que un punto pertenezca a la recta, un mismo valor de \(t\) debe producir sus tres coordenadas. Para el punto \((-2,5,6)\), la primera coordenada exige \(2-2t=-2\), de donde \(t=2\).

Con ese valor, \(y=-1+3\cdot2=5\) y \(z=4+2=6\). Se verifican las tres coordenadas, por lo que el punto pertenece a la recta.

Pregunta 4

Alternativa correcta: B

Justificación: Se utiliza el punto dado como punto inicial y el vector director como coeficiente del parámetro:

\((x,y,z)=(-3,2,1)+t(2,-1,4)\).

Al separar las componentes se obtiene \(x=-3+2t,\ y=2-t,\ z=1+4t\).

Pregunta 5

Alternativa correcta: A

Justificación: Al reemplazar \(\lambda=0\), los términos que contienen el parámetro se anulan:

\(x=-2+4\cdot0=-2\), \(y=3-0=3\), \(z=1+2\cdot0=1\).

Por lo tanto, el punto es \((-2,3,1)\).

Pregunta 6

Alternativa correcta: C

Justificación: Se igualan las coordenadas de ambas rectas:

\(1+t=6-s\), \(-2+t=-6+2s\), \(6-t=1+s\).

De la primera igualdad, \(t+s=5\). De la segunda, \(t-2s=-4\). Al sustituir \(t=5-s\), resulta \(5-3s=-4\), por lo que \(s=3\) y \(t=2\).

La tercera igualdad también se cumple: \(6-2=1+3=4\).

Así, \(L_1(2)=(3,0,4)\) y \(L_2(3)=(3,0,4)\). El punto de intersección es \((3,0,4)\).

Pregunta 7

Alternativa correcta: B

Justificación: Un punto en el espacio queda determinado por sus tres coordenadas. Para que dos rectas tengan un punto en común, debe existir un par de valores de los parámetros que produzca simultáneamente el mismo \(x\), el mismo \(y\) y el mismo \(z\).

Los parámetros pueden tener valores diferentes. Coincidir solo en dos coordenadas no asegura una intersección.

Pregunta 8

Alternativa correcta: D

Justificación: Se igualan las coordenadas:

\(-1+t=6-2s\), \(6-t=1+s\), \(-7+2t=-3+s\).

Las dos primeras igualdades entregan \(t+2s=7\) y \(t+s=5\). Al restarlas, se obtiene \(s=2\); luego, \(t=3\).

Se verifica la tercera coordenada: \(-7+2\cdot3=-1\) y \(-3+2=-1\).

Por lo tanto, \(L_1(3)=(2,3,-1)\) y \(L_2(2)=(2,3,-1)\). Ambas rectas se intersecan en \((2,3,-1)\).

Pregunta 9

Alternativa correcta: C

Justificación: La ecuación punto-normal es \(a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\).

Con \(P_0=(-2,1,3)\) y \(\vec n=(3,-2,1)\), resulta:

\(3(x-(-2))-2(y-1)+(z-3)=0\).

Esto equivale a \(3(x+2)-2(y-1)+(z-3)=0\).

Pregunta 10

Alternativa correcta: A

Justificación: En la ecuación punto-normal, los coeficientes que multiplican a los paréntesis son las componentes de un vector normal.

En \(2(x-3)-5(y+2)+4(z-1)=0\), esos coeficientes son \(2\), \(-5\) y \(4\). Por lo tanto, \(\vec n=(2,-5,4)\).

Pregunta 11

Alternativa correcta: B

Justificación: Con el punto \((1,2,-1)\) y el vector normal \((2,1,3)\), se escribe:

\(2(x-1)+(y-2)+3(z+1)=0\).

Al desarrollar: \(2x-2+y-2+3z+3=0\).

Al reducir los términos constantes se obtiene \(2x+y+3z-1=0\).

Pregunta 12

Alternativa correcta: D

Justificación: Un punto pertenece al plano si sus coordenadas satisfacen la ecuación. Para \((3,2,1)\):

\(x+2y-z=3+2\cdot2-1=6\).

Las alternativas A, B y C producen, respectivamente, \(5\), \(3\) y \(3\), por lo que no satisfacen la ecuación.

Pregunta 13

Alternativa correcta: A

Justificación: En una ecuación cartesiana \(ax+by+cz=d\), el vector \((a,b,c)\) es normal al plano.

Por lo tanto, para \(4x-3y+2z=7\), un vector normal es \((4,-3,2)\).

Pregunta 14

Alternativa correcta: C

Justificación: Se utiliza el punto \((-1,3,2)\) y el vector normal \((1,-2,2)\):

\((x+1)-2(y-3)+2(z-2)=0\).

Al desarrollar: \(x+1-2y+6+2z-4=0\).

La ecuación simplificada es \(x-2y+2z+3=0\).

Pregunta 15

Alternativa correcta: D

Justificación: Como \(Q_0\) y \(Q\) son puntos distintos del plano, el vector \(Q-Q_0\) tiene una dirección contenida en él. El vector normal es perpendicular a esa dirección.

El producto punto de dos vectores perpendiculares es cero; por eso, \((Q-Q_0)\cdot\vec n=0\).

Pregunta 16

Alternativa correcta: B

Justificación: Se reemplazan las coordenadas de \((2,2,1)\) en el lado izquierdo de la ecuación:

\(2x-y+3z=2\cdot2-2+3\cdot1=5\).

Por lo tanto, el punto pertenece al plano. Las alternativas A, C corregida y D producen, respectivamente, \(4\), \(2\) y \(6\), por lo que no pertenecen al plano.

Pregunta 17

Alternativa correcta: B

Justificación: Se aplica la propiedad distributiva, respetando los signos:

\(3(x+1)-2(y-4)+4(z-2)=3x+3-2y+8+4z-8\).

Los términos constantes suman \(3+8-8=3\). Por lo tanto, la ecuación es \(3x-2y+4z+3=0\).

Pregunta 18

Alternativa correcta: A

Justificación: Se restan las coordenadas de \(P_0\) a las de \(P\), conservando el orden:

\(P-P_0=(4-(-2),-1-3,5-1)=(6,-4,4)\).

Este vector representa el desplazamiento desde \(P_0\) hasta \(P\).

Resumen de claves correctas

1) C, 2) A, 3) D, 4) B, 5) A, 6) C, 7) B, 8) D, 9) C, 10) A, 11) B, 12) D, 13) A, 14) C, 15) D, 16) B, 17) B, 18) A.