Datos generales de corrección

• Curso: 4° medio diferenciado.
• Asignatura: Probabilidades y Estadística Descriptiva e Inferencial.
• Unidad: Distribución normal y puntaje Z.
• Tiempo: 75 minutos.
• Total de preguntas: 18.
• Puntaje por pregunta: 2 puntos.
• Puntaje total: 36 puntos.
• Porcentaje de aprobación: 60%.
• Puntaje mínimo de aprobación: 22 puntos.

Pregunta 1

Alternativa correcta: C

Justificación: La distribución normal es simétrica respecto de su media. Por ello, la mitad del área bajo la curva se encuentra a cada lado del promedio.

\(P(X<80)=0{,}5=50\%\)

Pregunta 2

Alternativa correcta: A

Justificación: La masa de un producto es una variable continua, pues puede tomar cualquier valor real dentro de un intervalo. Además, cuando las masas presentan una distribución aproximadamente simétrica con forma de campana, puede utilizarse un modelo normal.

Las otras alternativas representan cantidades que se cuentan y, por tanto, corresponden a variables discretas.

Pregunta 3

Alternativa correcta: D

Justificación: Las dos distribuciones tienen la misma media, pero presentan distintas desviaciones estándar.

\(\sigma_A=5,\qquad \sigma_B=15\)

La distribución B posee una desviación estándar mayor, por lo que sus valores están más dispersos alrededor de la media. Su curva normal es más ancha y tiene una altura máxima menor.

Pregunta 4

Alternativa correcta: B

Justificación: Utilizamos la fórmula del puntaje Z:

\(z=\frac{x-\mu}{\sigma}\)

\(z=\frac{78-70}{4}\)

\(z=\frac{8}{4}=2\)

El estudiante obtuvo un puntaje ubicado dos desviaciones estándar sobre la media.

Pregunta 5

Alternativa correcta: D

Justificación: Estandarizamos el tiempo observado:

\(z=\frac{44-50}{4}\)

\(z=\frac{-6}{4}=-1{,}5\)

El signo negativo indica que el tiempo de atención está bajo el promedio, específicamente a \(1{,}5\) desviaciones estándar de la media.

Pregunta 6

Alternativa correcta: A

Justificación: Debemos estandarizar ambos extremos del intervalo.

Para el límite inferior:

\(z_1=\frac{60-70}{10}=-1\)

Para el límite superior:

\(z_2=\frac{85-70}{10}=1{,}5\)

Por lo tanto, el evento equivalente es:

\(P(60

Pregunta 7

Alternativa correcta: B

Justificación: Se conoce el puntaje Z y debemos recuperar el valor original. Despejamos \(x\):

\(z=\frac{x-\mu}{\sigma}\)

\(z\sigma=x-\mu\)

\(x=\mu+z\sigma\)

Sustituyendo:

\(x=65+(-1{,}25)\cdot8\)

\(x=65-10=55\)

El valor original es \(55\).

Pregunta 8

Alternativa correcta: C

Justificación: En esta situación la incógnita es la media de la distribución.

Partimos de:

\(z=\frac{x-\mu}{\sigma}\)

Multiplicamos por \(\sigma\):

\(z\sigma=x-\mu\)

Despejamos:

\(\mu=x-z\sigma\)

Reemplazamos los datos:

\(\mu=83-1{,}5\cdot6\)

\(\mu=83-9=74\)

La media de la distribución es \(74\).

Pregunta 9

Alternativa correcta: A

Justificación: Se debe determinar la desviación estándar a partir del valor observado, la media y el puntaje Z.

\(z=\frac{x-\mu}{\sigma}\)

Despejando:

\(z\sigma=x-\mu\)

\(\sigma=\frac{x-\mu}{z}\)

Reemplazando:

\(\sigma=\frac{88-70}{1{,}5}\)

\(\sigma=\frac{18}{1{,}5}=12\)

La desviación estándar es \(12\) puntos.

Pregunta 10

Alternativa correcta: C

Justificación: La duración de las baterías se modela mediante una distribución normal con media \(70\) y desviación estándar \(12\).

Estandarizamos \(82\):

\(z=\frac{82-70}{12}=1\)

Entonces:

\(P(X<82)=P(Z<1)\)

De la tabla normal estándar:

\(P(Z<1)=0{,}8413\)

La probabilidad es \(0{,}8413\), equivalente al \(84{,}13\%\).

Pregunta 11

Alternativa correcta: D

Justificación: Se solicita una probabilidad de cola derecha.

Estandarizamos:

\(z=\frac{55-40}{10}=1{,}5\)

La tabla entrega la probabilidad acumulada a la izquierda:

\(P(Z<1{,}5)=0{,}9332\)

Utilizamos el complemento:

\(P(Z>1{,}5)=1-0{,}9332\)

\(P(Z>1{,}5)=0{,}0668\)

La probabilidad de tardar más de \(55\) minutos es \(6{,}68\%\).

Pregunta 12

Alternativa correcta: B

Justificación: Estandarizamos ambos límites del intervalo.

\(z_1=\frac{43-50}{7}=-1\)

\(z_2=\frac{57-50}{7}=1\)

Entonces:

\(P(43

Utilizamos las probabilidades acumuladas:

\(P(-1

\(=0{,}8413-0{,}1587\)

\(=0{,}6826\)

La probabilidad es \(68{,}26\%\), consistente con la regla aproximada del \(68\%\).

Pregunta 13

Alternativa correcta: A

Justificación: Se solicita una probabilidad entre dos valores que no están a igual distancia de la media.

Estandarizamos el límite inferior:

\(z_1=\frac{85-100}{10}=-1{,}5\)

Estandarizamos el límite superior:

\(z_2=\frac{120-100}{10}=2\)

Por lo tanto:

\(P(85

\(=\Phi(2)-\Phi(-1{,}5)\)

\(=0{,}9772-0{,}0668\)

\(=0{,}9104\)

La probabilidad de obtener un puntaje entre \(85\) y \(120\) es \(91{,}04\%\).

Pregunta 14

Alternativa correcta: D

Justificación: El percentil \(90\) corresponde al valor que deja aproximadamente al \(90\%\) de los resultados bajo él.

Se conoce:

\(z_{90}\approx1{,}28\)

Usamos la fórmula inversa:

\(x=\mu+z\sigma\)

\(x=80+1{,}28\cdot12\)

\(x=80+15{,}36\)

\(x=95{,}36\)

El percentil \(90\) corresponde aproximadamente a \(95{,}36\) puntos.

Pregunta 15

Alternativa correcta: B

Justificación: Seleccionar al \(5\%\) superior equivale a determinar el percentil \(95\), ya que el \(95\%\) de la distribución queda bajo el punto de corte.

Según los datos:

\(z_{95}\approx1{,}65\)

Calculamos:

\(x=\mu+z\sigma\)

\(x=50+1{,}65\cdot8\)

\(x=50+13{,}2\)

\(x=63{,}2\)

El punto de corte aproximado es \(63{,}2\) puntos.

Pregunta 16

Alternativa correcta: C

Justificación: Para comparar desempeños en distribuciones diferentes, se deben calcular los puntajes Z.

Estudiante A:

\(z_A=\frac{84-72}{6}\)

\(z_A=\frac{12}{6}=2\)

Estudiante B:

\(z_B=\frac{90-78}{8}\)

\(z_B=\frac{12}{8}=1{,}5\)

Como \(2>1{,}5\), el estudiante A obtuvo un desempeño relativo superior.

Esto demuestra que un puntaje original mayor no implica necesariamente una mejor posición respecto del grupo.

Pregunta 17

Alternativa correcta: A

Justificación: El estudiante comete un error al utilizar \(\Phi(1)\) en lugar de \(\Phi(-1)\).

Para calcular el área entre \(-1\) y \(2\), debemos restar el área acumulada hasta \(-1\) del área acumulada hasta \(2\).

\(P(-1

\(=0{,}9772-0{,}1587\)

\(=0{,}8185\)

El resultado correcto es \(0{,}8185\), equivalente al \(81{,}85\%\).

Pregunta 18

Alternativa correcta: B

Justificación: Se comparan las probabilidades de que cada máquina produzca piezas dentro del intervalo de aceptación.

Máquina A:

\(\mu_A=200,\quad\sigma_A=5\)

Estandarizamos ambos extremos:

\(z_1=\frac{190-200}{5}=-2\)

\(z_2=\frac{210-200}{5}=2\)

Por lo tanto:

\(P_A=\Phi(2)-\Phi(-2)\)

Por simetría:

\(\Phi(-2)=1-0{,}9772=0{,}0228\)

\(P_A=0{,}9772-0{,}0228=0{,}9544\)

Máquina B:

\(\mu_B=200,\quad\sigma_B=10\)

Estandarizamos:

\(z_1=\frac{190-200}{10}=-1\)

\(z_2=\frac{210-200}{10}=1\)

Por lo tanto:

\(P_B=\Phi(1)-\Phi(-1)\)

\(P_B=0{,}8413-0{,}1587=0{,}6826\)

Decisión: conviene elegir la máquina A, porque aproximadamente el \(95{,}44\%\) de sus piezas cumplen el rango de aceptación, frente al \(68{,}26\%\) de la máquina B.

Resumen de claves correctas

1) C, 2) A, 3) D, 4) B, 5) D, 6) A, 7) B, 8) C, 9) A, 10) C, 11) D, 12) B, 13) A, 14) D, 15) B, 16) C, 17) A, 18) B.