prueba guerreros z

1. ensayocorregido

Instrucciones generales

La prueba consta de 18 preguntas de selección única.
Marque una sola alternativa correcta por pregunta.
Cada pregunta vale 2 puntos. Puntaje total: 36 puntos.
Tiempo disponible: 75 minutos.
Se permite el uso de calculadora básica.
Considere que \(X\sim N(\mu,\sigma)\), donde \(\mu\) es la media y \(\sigma\) es la desviación estándar.
Puede utilizar la fórmula \(z=\frac{x-\mu}{\sigma}\) y realizar los despejes que sean necesarios.
Las probabilidades se expresan con cuatro decimales y los porcentajes con dos decimales, cuando corresponda.
Utilice los valores de referencia que se entregan a continuación.

Valores de la distribución normal estándar

La función \(\Phi(z)=P(Z\lt z)\) representa la probabilidad acumulada a la izquierda.

\(\Phi(-1{,}5)=0{,}0668\)

\(\Phi(-1)=0{,}1587\)

\(\Phi(1)=0{,}8413\)

\(\Phi(1{,}5)=0{,}9332\)

\(\Phi(2)=0{,}9772\)

Percentiles de referencia:

\(z_{90}\approx1{,}28\), \(z_{95}\approx1{,}65\)

Una variable aleatoria sigue una distribución normal con media \(\mu=80\). ¿Qué porcentaje de los valores se encuentra por debajo de \(80\)?

\(25\%\)
\(68\%\)
\(50\%\)
\(100\%\)

¿Cuál de las siguientes variables es continua y podría modelarse aproximadamente mediante una distribución normal si presenta una distribución simétrica con forma de campana?

La masa, en gramos, de productos fabricados por una máquina.
La cantidad de estudiantes ausentes cada día.
El número de respuestas correctas en una prueba de 20 preguntas.
La cantidad de automóviles que posee una familia.

Dos distribuciones normales tienen la misma media, pero la distribución A tiene desviación estándar \(5\) y la distribución B tiene desviación estándar \(15\). ¿Qué diferencia existe entre ambas curvas?

La curva B se encuentra desplazada hacia la derecha.
La curva B es más estrecha y alta.
La curva A deja de ser simétrica.
La curva B es más ancha y menos alta.

Los puntajes de una evaluación tienen media \(70\) y desviación estándar \(4\). ¿Cuál es el puntaje Z de un estudiante que obtuvo \(78\) puntos?

\(z=-2\)
\(z=2\)
\(z=8\)
\(z=0{,}5\)

Los tiempos de atención de un servicio tienen media \(50\) minutos y desviación estándar \(4\) minutos. ¿Cuál es el puntaje Z correspondiente a una atención de \(44\) minutos?

\(z=1{,}5\)
\(z=-6\)
\(z=-0{,}67\)
\(z=-1{,}5\)

Sea \(X\sim N(70,10)\). ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a la estandarización correcta del evento \(P(60\lt X\lt 85)\)?

\(P(-1\lt Z\lt 1{,}5)\)
\(P(1\lt Z\lt 1{,}5)\)
\(P(-1\lt Z\lt 1)\)
\(P(60\lt Z\lt 85)\)

Una distribución normal tiene media \(\mu=65\) y desviación estándar \(\sigma=8\). Si un dato tiene puntaje Z igual a \(-1{,}25\), ¿cuál es su valor original?

\(75\)
\(55\)
\(65\)
\(56{,}875\)

En una distribución normal, un valor \(x=83\) tiene puntaje Z igual a \(1{,}5\). Si la desviación estándar es \(6\), ¿cuál es la media de la distribución?

\(92\)
\(81{,}5\)
\(74\)
\(77\)

Una prueba tiene puntaje promedio \(70\). Un estudiante obtiene \(88\) puntos, correspondientes a un puntaje \(z=1{,}5\). ¿Cuál es la desviación estándar de los puntajes?

\(12\)
\(27\)
\(18\)
\(1{,}5\)

La duración de cierto tipo de batería se modela como \(X\sim N(70,12)\), en horas. ¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure menos de \(82\) horas?

\(0{,}1587\)
\(0{,}5000\)
\(0{,}8413\)
\(0{,}9332\)

El tiempo que tarda una persona en completar una tarea se modela como \(X\sim N(40,10)\), en minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que tarde más de \(55\) minutos?

\(0{,}9332\)
\(0{,}8413\)
\(0{,}1587\)
\(0{,}0668\)

Los resultados de un instrumento de medición se modelan como \(X\sim N(50,7)\). ¿Cuál es la probabilidad de obtener un valor entre \(43\) y \(57\)?

\(1{,}0000\)
\(0{,}6826\)
\(0{,}8413\)
\(0{,}1587\)

Los puntajes de una prueba se modelan como \(X\sim N(100,10)\). ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante obtenga entre \(85\) y \(120\) puntos?

\(0{,}9104\)
\(0{,}8185\)
\(0{,}9772\)
\(0{,}0668\)

Los puntajes de una evaluación de selección se modelan como \(X\sim N(80,12)\). Se desea encontrar el puntaje correspondiente al percentil \(90\). ¿Cuál es su valor aproximado?

\(81{,}28\)
\(92\)
\(64{,}64\)
\(95{,}36\)

Una institución quiere premiar al \(5\%\) de los estudiantes con mayores puntajes en una evaluación cuyos resultados siguen \(X\sim N(50,8)\). ¿Cuál debe ser aproximadamente el puntaje de corte para ingresar a ese grupo?

\(36{,}8\)
\(63{,}2\)
\(58\)
\(51{,}65\)

Dos estudiantes rinden pruebas diferentes. El estudiante A obtiene \(84\) puntos en una prueba con media \(72\) y desviación estándar \(6\). El estudiante B obtiene \(90\) puntos en una prueba con media \(78\) y desviación estándar \(8\). ¿Cuál obtuvo un mejor desempeño relativo a su grupo?

El estudiante B, porque su puntaje original fue mayor.
Ambos, porque superaron sus promedios en \(12\) puntos.
El estudiante A, porque su puntaje Z es \(2\), mientras que el de B es \(1{,}5\).
Ambos, porque sus puntajes Z son iguales.

Un estudiante desea calcular \(P(-1\lt Z\lt 2)\) y realiza el siguiente procedimiento: \(\Phi(2)-\Phi(1)=0{,}9772-0{,}8413=0{,}1359\). ¿Cuál es la corrección adecuada?

Debe utilizar \(\Phi(-1)\) en lugar de \(\Phi(1)\). El resultado correcto es \(0{,}8185\).
El procedimiento es correcto, pues siempre se restan las probabilidades acumuladas de los valores positivos.
Debe sumar \(\Phi(2)+\Phi(-1)\), obteniendo \(1{,}1359\).
Debe calcular \(1-\Phi(2)\), obteniendo \(0{,}0228\).

Dos máquinas producen piezas con longitud media de \(200\) mm. La máquina A tiene desviación estándar \(5\) mm y la máquina B tiene desviación estándar \(10\) mm. Se aceptan piezas cuya longitud esté entre \(190\) y \(210\) mm. Suponiendo distribuciones normales, ¿cuál máquina conviene elegir para obtener una mayor proporción de piezas aceptables?

La máquina B, porque su mayor desviación estándar aumenta la probabilidad de aceptación.
La máquina A, porque aproximadamente el \(95{,}44\%\) de sus piezas serán aceptables, frente al \(68{,}26\%\) de la máquina B.
Ambas son equivalentes, porque tienen el mismo promedio de longitud.
La máquina A, pero ambas tendrán exactamente un \(95{,}44\%\) de piezas aceptables.