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Capitulo 5.3 las funciones

3. Función Lineal

Función Lineal

Definición y Forma General

Una función lineal es una función polinómica de primer grado, cuya representación gráfica en el plano cartesiano es una línea recta. La forma general de una función lineal es:

\[ y = mx \]

donde:

  • \(x\) es la variable independiente.
  • \(y\) es la variable dependiente.
  • \(m\) es una constante llamada pendiente.
Aquí va una imagen que ilustre la forma general de la función lineal y = mx, con la variable independiente, la variable dependiente y la pendiente señaladas.

Pendiente (m) y su Interpretación

La pendiente (\(m\)) de una función lineal indica la inclinación de la recta que la representa. Nos dice cuánto cambia la variable dependiente (\(y\)) por cada unidad que cambia la variable independiente (\(x\)).

  • Si \(m > 0\), la función es creciente (la recta sube de izquierda a derecha).
  • Si \(m < 0\), la función es decreciente (la recta baja de izquierda a derecha).
  • Si \(m = 0\), la función es constante (la recta es horizontal). En este caso particular la función sería \(y=0\) y representa el eje x.
  • Cuanto mayor sea el valor absoluto de \(m\), mayor será la inclinación de la recta.
Aquí va una imagen que muestre varias funciones lineales con diferentes pendientes (positivas, negativas y cero), para visualizar el efecto de m en la inclinación de la recta.

La pendiente se puede calcular a partir de dos puntos \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\) que pertenezcan a la recta, usando la siguiente fórmula:

\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Gráfica de Funciones Lineales

Para graficar una función lineal, podemos seguir estos pasos:

  1. Elegir al menos dos valores de \(x\) y calcular los correspondientes valores de \(y\) usando la ecuación \(y = mx\). Organizar estos valores en una tabla.
  2. Representar los puntos \((x, y)\) obtenidos en el plano cartesiano.
  3. Trazar una línea recta que pase por los puntos representados.

Ejemplo:

Graficar la función \(y = 2x\).

  1. Elegimos tres valores de \(x\), por ejemplo, \(x = -1\), \(x = 0\) y \(x = 1\), y calculamos los valores de y:
    x y = 2x
    -1 -2
    0 0
    1 2
  2. Representamos los puntos (-1, -2), (0, 0) y (1, 2) en el plano cartesiano.
  3. Trazamos una línea recta que pase por estos tres puntos.
Aquí va una imagen que muestre el proceso de graficar la función y = 2x, incluyendo la tabla de valores, los puntos (-1, -2), (0, 0) y (1, 2) y la recta que pasa por ellos.

Determinación de la Ecuación a partir de Dos Puntos

Si conocemos dos puntos \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\) que pertenecen a una recta, podemos determinar la ecuación de la función lineal que la representa. Para ello, seguimos estos pasos:

  1. Calcular la pendiente \(m\) usando la fórmula: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
  2. Sustituir el valor de \(m\) en la ecuación \(y = mx\).
  3. Sustituir uno de los puntos (por ejemplo, \((x_1, y_1)\)) en la ecuación \(y = mx\) y resolver para \(y\).
    • \(y_1 = m x_1\)

Ejemplo:

Encontrar la ecuación de la función lineal que pasa por los puntos (1, 2) y (3, 6).

  1. Calculamos la pendiente: \[ m = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2 \]
  2. Sustituimos \(m = 2\) en la ecuación: \(y = 2x\)
  3. Usamos el punto (1, 2) y la ecuación \(y = 2x\):
    • \(2 = 2(1)\) (Verdadero)

Por lo tanto, la ecuación de la función lineal es \(y = 2x\).

Situaciones Problemáticas Modelables con Función Lineal

Muchos problemas de la vida real se pueden modelar utilizando funciones lineales. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1:

Un taxista cobra una tarifa base de \$500 por usar el taximetro. La variable \(x\) representa el tiempo transcurrido en horas, mientras que la variable \(y\) representa el costo del viaje en pesos. La relación entre el tiempo y el costo se puede expresar mediante la función lineal \(y = 500x\).

  • a) ¿Cuánto costará un viaje de 2 horas?

    Sustituimos \(x = 2\) en la ecuación: \(y = 500(2) = 1000\). El viaje costará \$1000.

  • b) Si un viaje costó \$2500, ¿cuántas horas duró?

    Sustituimos \(y = 2500\) en la ecuación: \(2500 = 500x\). Resolviendo para \(x\), obtenemos \(x = 5\). El viaje duró 5 horas.

Ejemplo 2:

El costo de producción de un artículo (\(y\)) en función del número de unidades producidas (\(x\)) se puede modelar con la función lineal \(y = 10x\).

  • a) ¿Cuál es el costo de producir 50 unidades?

    Sustituimos \(x = 50\) en la ecuación: \(y = 10(50) = 500\). El costo es de \$500.

  • b) Si el costo de producción fue de \$1200, ¿cuántas unidades se produjeron?

    Sustituimos \(y = 1200\) en la ecuación: \(1200 = 10x\). Resolviendo para \(x\), obtenemos \(x = 120\). Se produjeron 120 unidades.

Ejercicios

Nivel 1

  1. Dada la función lineal, completa la tabla y luego grafica:
    • a) \(y = 4x\)
      • x y
      -2
      -1
      0
      1
      2
    • b) \(y = -3x\)
      • x y
      -2
      -1
      0
      1
      2

Nivel 2

  1. Identifica la pendiente de las siguientes funciones lineales:
    • a) \(y = 3x\)
    • b) \(y = -x\)
    • c) \(y = \frac{1}{2}x\)
    • d) \(y = -2x\)
    • e) \(y = \frac{3}{4}x\)
    • f) \(y = 5x\)
  2. Grafica las siguientes funciones lineales (usa una tabla de valores):
    • a) \(y = x\)
    • b) \(y = -2x\)
    • c) \(y = 3x\)
    • d) \(y = \frac{1}{2}x\)
    • e) \(y = -\frac{1}{3}x\)
    • f) \(y = -x\)
  3. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
    • a) La función \(y = -4x\) es creciente.
    • b) La gráfica de \(y = x\) pasa por el origen.
    • c) La pendiente de \(y = 7x\) es 7.
    • d) La función \(y = \frac{1}{5}x\) es decreciente.
    • e) La gráfica de una función lineal siempre es una línea recta.
    • f) La pendiente de la función \(y = x\) es igual a la pendiente de la función \(y=-x\)

Nivel 3

  1. Determina si las siguientes funciones son crecientes, decrecientes o constantes:
    • a) \(y = 4x\)
    • b) \(y = -3x\)
    • c) \(y = 0\)
    • d) \(y = \frac{2}{3}x\)
    • e) \(y = -x\)
    • f) \(y = -6x\)
  2. Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos:
    • a) (2, 5) y (4, 9)
    • b) (-1, 3) y (2, -3)
    • c) (0, 0) y (3, 6)
    • d) (1, -2) y (3, -8)
    • e) (-2, 4) y (0, 0)
    • f) (5, 2) y (7, 6)
  3. Identifica la pendiente y el punto de corte con el eje y (cuando x=0) para las siguientes funciones:
    • a) \(y = 6x\)
    • b) \(y = -4x\)
    • c) \(y = \frac{5}{2}x\)
    • d) \(y = -x\)
    • e) \(y = \frac{1}{3}x\)
    • f) \(y = 10x\)
  4. Si \(f(x) = 5x\), encuentra:
    • a) \(f(3)\)
    • b) \(f(-2)\)
  5. Dada la función propuesta, halla el valor de x:
    • sea: \(g(x) = -2x\)
      • a) \(g(x) = 4\)
      • b) \(g(x) = -6\)
    • sea: \(f(x) = 7x\),
      •  c) \(f(x) = 14\)
      •  d) \(f(x) = -21\)
    • sea: \(h(x) = -\frac{1}{2}x\), 
      • e) \(h(x) = 4\)
      • f) \(h(x) = -3\)
    • sea: \(f(x) = ax\), 
      • g) \(f(x) = b\)

Nivel 4

  1. Encuentra la ecuación de la función lineal que pasa por los puntos:
    • a) (1, 4) y (3, 10)
    • b) (-2, -1) y (2, 7)
    • c) (0, 0) y (5, -5)
    • d) (-3, 6) y (3, -6)
    • e) (1, 2) y (4, 8)
    • f) (-2, -6) y (0, 0)
  2. Una función lineal \(f(x)\) cumple que \(f(2) = 6\) y \(f(4) = 12\). Determina la función lineal.
  3. Una función lineal \(f(x)\) cumple que \(f(-1) = -5\) y \(f(4) = 10\). Determina la función lineal.
  4. Encuentra la ecuación de la función lineal que tiene pendiente \(m = 4\) y pasa por el punto (2, 5).
  5. Dada la función \(f(x) = ax\), donde \(a\) es una constante, se sabe que \(f(2) = 8\). Encuentra el valor de \(a\) y escribe la ecuación de la función.
  6. Si \(g(x) = kx\) es una función lineal y \(g(3) = -9\), ¿cuál es el valor de \(k\) y la ecuación de la función?
  7. Un vendedor tiene un sueldo base de \$500 más una comisión de \$50 por cada producto vendido. Escribe la función lineal que representa el sueldo total Sí en función del número de productos vendidos (x).
  8. El costo de alquilar un auto es de \$1000 por día. Escribe la función lineal que representa el costo total Sí en función del número de días de alquiler (x).