Capitulo 5.3 las funciones
3. Función Lineal
Función Lineal
Objetivo de aprendizaje
- Comprender la función lineal de la forma \(y=mx\), interpretar su pendiente, graficarla en el plano cartesiano y resolver problemas asociados a proporcionalidad directa.
Definición y forma general
Función lineal
Una función lineal es una función cuya gráfica es una recta que pasa por el origen del plano cartesiano. Su forma general es:
\[ y=mx \]
donde:
- \(x\) es la variable independiente.
- \(y\) es la variable dependiente.
- \(m\) es una constante llamada pendiente.
Función lineal y función afín
En este material trabajaremos principalmente funciones lineales de la forma \(y=mx\), es decir, rectas que pasan por el origen.
Cuando aparece una expresión de la forma \(y=mx+b\), con \(b\neq 0\), la recta no pasa por el origen y se llama función afín.
Ejemplo visual: funciones lineales
Las funciones \(y=2x\), \(y=-x\) y \(y=\frac{1}{2}x\) son lineales porque todas pasan por el origen \((0,0)\).
Pendiente \(m\) y su interpretación
¿Qué indica la pendiente?
La pendiente \(m\) indica la inclinación de la recta. También muestra cuánto cambia \(y\) cuando \(x\) aumenta en una unidad.
- Si \(m>0\), la función es creciente.
- Si \(m<0\), la función es decreciente.
- Si \(m=0\), la función es constante. En el caso \(y=0x\), la gráfica es \(y=0\), que corresponde al eje \(x\).
- Mientras mayor sea \(|m|\), mayor será la inclinación de la recta.
Ejemplo visual: efecto de la pendiente
Compara las siguientes rectas. Todas son lineales, pero tienen distinta pendiente.
Cálculo de la pendiente con dos puntos
Si conocemos dos puntos de una recta, \((x_1,y_1)\) y \((x_2,y_2)\), la pendiente se calcula con:
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \]
Esta fórmula representa el cambio vertical dividido por el cambio horizontal.
Gráfica de funciones lineales
Procedimiento para graficar \(y=mx\)
- Elegir algunos valores de \(x\).
- Calcular los valores de \(y\) usando la ecuación \(y=mx\).
- Formar pares ordenados \((x,y)\).
- Ubicar los puntos en el plano cartesiano.
- Trazar la recta que pasa por esos puntos.
Ejemplo: graficar \(y=2x\)
Para graficar la función:
\[ y=2x \]
elegimos algunos valores de \(x\) y calculamos \(y\):
| \(x\) | \(y=2x\) | Punto |
|---|---|---|
| \(-1\) | \(2(-1)=-2\) | \((-1,-2)\) |
| \(0\) | \(2(0)=0\) | \((0,0)\) |
| \(1\) | \(2(1)=2\) | \((1,2)\) |
Conclusión: la gráfica es una recta que pasa por el origen.
Determinación de la ecuación a partir de dos puntos
Condición importante
Si buscamos una función lineal de la forma \(y=mx\), la recta debe pasar por el origen. Por eso, no basta con calcular la pendiente: también debemos verificar que los puntos sean compatibles con una recta que pasa por \((0,0)\).
Ejemplo: función lineal que pasa por dos puntos
Encuentra la función lineal que pasa por los puntos \((1,2)\) y \((3,6)\).
Calculamos la pendiente:
\[ m=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}{2}=2 \]
Probamos con la forma \(y=mx\):
\[ y=2x \]
Verificamos con \((1,2)\):
\[ 2=2(1) \]
Verificamos con \((3,6)\):
\[ 6=2(3) \]
Por lo tanto:
\[ y=2x \]
Cuando los puntos no forman una función lineal \(y=mx\)
Por ejemplo, los puntos \((2,5)\) y \((4,9)\) tienen pendiente \(2\), pero no pertenecen a la recta \(y=2x\), porque \(5\neq 2(2)\).
La recta que pasa por esos puntos es \(y=2x+1\), que es una función afín, no lineal en el sentido \(y=mx\).
Situaciones problemáticas modelables con función lineal
Proporcionalidad directa
Una función lineal \(y=mx\) modela situaciones de proporcionalidad directa. Esto significa que si \(x=0\), entonces \(y=0\).
Por ejemplo, si cada hora de servicio cuesta \(\$500\), el costo total puede modelarse como:
\[ y=500x \]
donde \(x\) representa la cantidad de horas e \(y\) el costo total.
Ejemplo 1: costo por hora
Un servicio cobra \(\$500\) por cada hora de uso. Si \(x\) representa el tiempo en horas e \(y\) el costo total en pesos, entonces:
\[ y=500x \]
a) ¿Cuánto costará un servicio de \(2\) horas?
\[ y=500(2)=1000 \]
Costará \(\$1000\).
b) Si un servicio costó \(\$2500\), ¿cuántas horas duró?
\[ 2500=500x \]
\[ x=5 \]
Duró \(5\) horas.
Ejemplo 2: costo de producción proporcional
El costo de producción de un artículo es de \(\$10\) por unidad. Si \(x\) es la cantidad de unidades producidas e \(y\) el costo total, entonces:
\[ y=10x \]
a) ¿Cuál es el costo de producir \(50\) unidades?
\[ y=10(50)=500 \]
El costo es \(\$500\).
b) Si el costo fue de \(\$1200\), ¿cuántas unidades se produjeron?
\[ 1200=10x \]
\[ x=120 \]
Se produjeron \(120\) unidades.
Cuidado con los costos fijos
Si una situación tiene un costo fijo, como “\(\$500\) de base más \(\$50\) por producto”, entonces el modelo es de la forma \(y=mx+b\). Esa expresión es una función afín, no una función lineal de la forma \(y=mx\).
Ejercicios
Nivel 1
Ejercicio 1
Dadas las funciones lineales, completa las tablas y luego grafica.
a) \(y=4x\)
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| \(-2\) | |
| \(-1\) | |
| \(0\) | |
| \(1\) | |
| \(2\) |
b) \(y=-3x\)
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| \(-2\) | |
| \(-1\) | |
| \(0\) | |
| \(1\) | |
| \(2\) |
a) Para \(y=4x\):
| \(x\) | \(y=4x\) | Punto |
|---|---|---|
| \(-2\) | \(4(-2)=-8\) | \((-2,-8)\) |
| \(-1\) | \(4(-1)=-4\) | \((-1,-4)\) |
| \(0\) | \(4(0)=0\) | \((0,0)\) |
| \(1\) | \(4(1)=4\) | \((1,4)\) |
| \(2\) | \(4(2)=8\) | \((2,8)\) |
b) Para \(y=-3x\):
| \(x\) | \(y=-3x\) | Punto |
|---|---|---|
| \(-2\) | \(-3(-2)=6\) | \((-2,6)\) |
| \(-1\) | \(-3(-1)=3\) | \((-1,3)\) |
| \(0\) | \(-3(0)=0\) | \((0,0)\) |
| \(1\) | \(-3(1)=-3\) | \((1,-3)\) |
| \(2\) | \(-3(2)=-6\) | \((2,-6)\) |
Nivel 2
Ejercicio 2
Identifica la pendiente de las siguientes funciones lineales:
- \(y=3x\)
- \(y=-x\)
- \(y=\frac{1}{2}x\)
- \(y=-2x\)
- \(y=\frac{3}{4}x\)
- \(y=5x\)
En una función lineal de la forma \(y=mx\), la pendiente es el número que multiplica a \(x\).
- \(m=3\)
- \(m=-1\)
- \(m=\frac{1}{2}\)
- \(m=-2\)
- \(m=\frac{3}{4}\)
- \(m=5\)
Ejercicio 3
Grafica las siguientes funciones lineales usando una tabla de valores:
- \(y=x\)
- \(y=-2x\)
- \(y=3x\)
- \(y=\frac{1}{2}x\)
- \(y=-\frac{1}{3}x\)
- \(y=-x\)
Como todas son de la forma \(y=mx\), todas pasan por el origen. Además, se puede usar la pendiente para comparar su inclinación.
Respuesta: las rectas con pendiente positiva son crecientes y las rectas con pendiente negativa son decrecientes.
Ejercicio 4
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
- La función \(y=-4x\) es creciente.
- La gráfica de \(y=x\) pasa por el origen.
- La pendiente de \(y=7x\) es \(7\).
- La función \(y=\frac{1}{5}x\) es decreciente.
- La gráfica de una función lineal \(y=mx\) siempre es una línea recta.
- La pendiente de \(y=x\) es igual a la pendiente de \(y=-x\).
- Falso. Es decreciente porque su pendiente es \(-4\).
- Verdadero. Si \(x=0\), entonces \(y=0\).
- Verdadero. En \(y=7x\), la pendiente es \(m=7\).
- Falso. Es creciente porque \(\frac{1}{5}>0\).
- Verdadero. Su gráfica es una recta que pasa por el origen.
- Falso. \(y=x\) tiene pendiente \(1\), mientras que \(y=-x\) tiene pendiente \(-1\). Tienen el mismo valor absoluto, pero distinto signo.
Nivel 3
Ejercicio 5
Determina si las siguientes funciones son crecientes, decrecientes o constantes:
- \(y=4x\)
- \(y=-3x\)
- \(y=0\)
- \(y=\frac{2}{3}x\)
- \(y=-x\)
- \(y=-6x\)
Observamos el signo de la pendiente \(m\).
- Creciente, porque \(m=4>0\).
- Decreciente, porque \(m=-3<0\).
- Constante, porque \(m=0\).
- Creciente, porque \(m=\frac{2}{3}>0\).
- Decreciente, porque \(m=-1<0\).
- Decreciente, porque \(m=-6<0\).
Ejercicio 6
Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos:
- \((2,5)\) y \((4,9)\)
- \((-1,3)\) y \((2,-3)\)
- \((0,0)\) y \((3,6)\)
- \((1,-2)\) y \((3,-8)\)
- \((-2,4)\) y \((0,0)\)
- \((5,2)\) y \((7,6)\)
Usamos la fórmula:
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \]
- \[ m=\frac{9-5}{4-2}=\frac{4}{2}=2 \]
- \[ m=\frac{-3-3}{2-(-1)}=\frac{-6}{3}=-2 \]
- \[ m=\frac{6-0}{3-0}=\frac{6}{3}=2 \]
- \[ m=\frac{-8-(-2)}{3-1}=\frac{-6}{2}=-3 \]
- \[ m=\frac{0-4}{0-(-2)}=\frac{-4}{2}=-2 \]
- \[ m=\frac{6-2}{7-5}=\frac{4}{2}=2 \]
Ejercicio 7
Identifica la pendiente y el punto de corte con el eje \(y\) para las siguientes funciones:
- \(y=6x\)
- \(y=-4x\)
- \(y=\frac{5}{2}x\)
- \(y=-x\)
- \(y=\frac{1}{3}x\)
- \(y=10x\)
Toda función lineal \(y=mx\) corta el eje \(y\) en \((0,0)\).
- Pendiente \(m=6\), corte con eje \(y\): \((0,0)\).
- Pendiente \(m=-4\), corte con eje \(y\): \((0,0)\).
- Pendiente \(m=\frac{5}{2}\), corte con eje \(y\): \((0,0)\).
- Pendiente \(m=-1\), corte con eje \(y\): \((0,0)\).
- Pendiente \(m=\frac{1}{3}\), corte con eje \(y\): \((0,0)\).
- Pendiente \(m=10\), corte con eje \(y\): \((0,0)\).
Ejercicio 8
Si \(f(x)=5x\), encuentra:
- \(f(3)\)
- \(f(-2)\)
- \[ f(3)=5(3)=15 \]
- \[ f(-2)=5(-2)=-10 \]
Respuestas: \(f(3)=15\) y \(f(-2)=-10\).
Ejercicio 9
Dada cada función, halla el valor de \(x\).
- Si \(g(x)=-2x\) y \(g(x)=4\).
- Si \(g(x)=-2x\) y \(g(x)=-6\).
- Si \(f(x)=7x\) y \(f(x)=14\).
- Si \(f(x)=7x\) y \(f(x)=-21\).
- Si \(h(x)=-\frac{1}{2}x\) y \(h(x)=4\).
- Si \(h(x)=-\frac{1}{2}x\) y \(h(x)=-3\).
- Si \(f(x)=ax\) y \(f(x)=b\), con \(a\neq 0\).
- \[ -2x=4 \Rightarrow x=-2 \]
- \[ -2x=-6 \Rightarrow x=3 \]
- \[ 7x=14 \Rightarrow x=2 \]
- \[ 7x=-21 \Rightarrow x=-3 \]
- \[ -\frac{1}{2}x=4 \Rightarrow x=-8 \]
- \[ -\frac{1}{2}x=-3 \Rightarrow x=6 \]
- \[ ax=b \Rightarrow x=\frac{b}{a},\quad a\neq 0 \]
Nivel 4
Ejercicio 10
Determina si la recta que pasa por cada par de puntos corresponde a una función lineal de la forma \(y=mx\). Si corresponde, escribe su ecuación. Si no corresponde, indica que es una función afín.
- \((1,4)\) y \((3,10)\)
- \((-2,-1)\) y \((2,7)\)
- \((0,0)\) y \((5,-5)\)
- \((-3,6)\) y \((3,-6)\)
- \((1,2)\) y \((4,8)\)
- \((-2,-6)\) y \((0,0)\)
Para que sea función lineal de la forma \(y=mx\), la recta debe pasar por el origen.
-
\[ m=\frac{10-4}{3-1}=\frac{6}{2}=3 \]
Con \(m=3\), la función lineal sería \(y=3x\), pero \((1,4)\) no cumple \(4=3(1)\). Entonces no es lineal de la forma \(y=mx\). La recta es afín: \(y=3x+1\).
-
\[ m=\frac{7-(-1)}{2-(-2)}=\frac{8}{4}=2 \]
Con \(m=2\), \(y=2x\), pero \((-2,-1)\) no cumple \(-1=2(-2)\). No es lineal de la forma \(y=mx\). La recta es afín: \(y=2x+3\).
-
\[ m=\frac{-5-0}{5-0}=-1 \]
Como uno de los puntos es \((0,0)\), sí corresponde a una función lineal:
\[ y=-x \]
-
\[ m=\frac{-6-6}{3-(-3)}=\frac{-12}{6}=-2 \]
La recta pasa por el origen, por lo tanto:
\[ y=-2x \]
-
\[ m=\frac{8-2}{4-1}=\frac{6}{3}=2 \]
Verificamos con \((1,2)\): \(2=2(1)\). Sí es lineal:
\[ y=2x \]
-
\[ m=\frac{0-(-6)}{0-(-2)}=\frac{6}{2}=3 \]
Como pasa por \((0,0)\), sí es lineal:
\[ y=3x \]
Ejercicio 11
Una función lineal \(f(x)\) cumple que \(f(2)=6\) y \(f(4)=12\). Determina la función lineal.
Los datos corresponden a los puntos \((2,6)\) y \((4,12)\).
Calculamos la pendiente:
\[ m=\frac{12-6}{4-2}=\frac{6}{2}=3 \]
Probamos la función lineal:
\[ f(x)=3x \]
Verificamos:
\[ f(2)=3(2)=6 \]
\[ f(4)=3(4)=12 \]
Respuesta: \(f(x)=3x\).
Ejercicio 12
Una función lineal \(f(x)\) cumple que \(f(-1)=-5\) y \(f(4)=10\). Determina si existe una función lineal de la forma \(f(x)=mx\) que cumpla ambas condiciones.
Los datos corresponden a los puntos \((-1,-5)\) y \((4,10)\).
Calculamos la pendiente:
\[ m=\frac{10-(-5)}{4-(-1)}=\frac{15}{5}=3 \]
Si fuera lineal de la forma \(f(x)=3x\), entonces:
\[ f(-1)=3(-1)=-3 \]
Pero el dato indica que \(f(-1)=-5\). Por lo tanto, no existe una función lineal \(f(x)=mx\) que cumpla ambas condiciones.
La recta que sí pasa por esos puntos es una función afín:
\[ f(x)=3x-2 \]
Respuesta: no es función lineal de la forma \(f(x)=mx\); es función afín \(f(x)=3x-2\).
Ejercicio 13
Encuentra la ecuación de la función que tiene pendiente \(m=4\) y pasa por el punto \((2,5)\). Indica si es lineal o afín.
Una función lineal de pendiente \(4\) sería:
\[ y=4x \]
Pero el punto \((2,5)\) no pertenece a esa recta, porque:
\[ 5\neq 4(2) \]
Entonces usamos la forma afín:
\[ y=4x+b \]
Sustituimos el punto \((2,5)\):
\[ 5=4(2)+b \]
\[ 5=8+b \]
\[ b=-3 \]
Por lo tanto:
\[ y=4x-3 \]
Respuesta: la función es \(y=4x-3\), y es una función afín.
Ejercicio 14
Dada la función \(f(x)=ax\), donde \(a\) es una constante, se sabe que \(f(2)=8\). Encuentra el valor de \(a\) y escribe la ecuación de la función.
Sustituimos \(x=2\) y \(f(2)=8\):
\[ 8=a(2) \]
\[ a=4 \]
Entonces:
\[ f(x)=4x \]
Respuesta: \(a=4\) y \(f(x)=4x\).
Ejercicio 15
Si \(g(x)=kx\) es una función lineal y \(g(3)=-9\), ¿cuál es el valor de \(k\) y la ecuación de la función?
Sustituimos \(x=3\) y \(g(3)=-9\):
\[ -9=k(3) \]
\[ k=-3 \]
Entonces:
\[ g(x)=-3x \]
Respuesta: \(k=-3\) y \(g(x)=-3x\).
Ejercicio 16
Un vendedor recibe una comisión de \(\$50\) por cada producto vendido, sin sueldo base. Escribe la función lineal que representa el pago total \(y\) en función del número de productos vendidos \(x\).
Si por cada producto recibe \(\$50\), entonces el pago total es proporcional a la cantidad de productos vendidos:
\[ y=50x \]
Si vende \(0\) productos, recibe \(\$0\), por lo que la función pasa por el origen.
Respuesta: \(y=50x\).
Ejercicio 17
Un vendedor tiene un sueldo base de \(\$500\) más una comisión de \(\$50\) por cada producto vendido. Escribe la función que representa el sueldo total \(y\) en función del número de productos vendidos \(x\). Indica si es lineal o afín.
El sueldo total tiene dos partes:
- \(\$500\) fijos.
- \(\$50\) por cada producto vendido, es decir, \(50x\).
Entonces:
\[ y=50x+500 \]
Como no pasa por el origen, no es lineal de la forma \(y=mx\). Es una función afín.
Respuesta: \(y=50x+500\), función afín.
Ejercicio 18
El costo de alquilar un auto es de \(\$1000\) por día. Escribe la función lineal que representa el costo total \(y\) en función del número de días de alquiler \(x\).
Si cada día cuesta \(\$1000\), entonces el costo total es:
\[ y=1000x \]
Si \(x=0\), entonces \(y=0\), por lo que es una función lineal.
Respuesta: \(y=1000x\).
Cierre
La función lineal \(y=mx\) modela relaciones de proporcionalidad directa. Su gráfica siempre es una recta que pasa por el origen, y su pendiente permite interpretar si la función crece, decrece o se mantiene constante.