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Capitulo 5.3 las funciones

4. Función Afín

Función Afín

Definición y Forma General

Una función afín es una función cuya representación gráfica en el plano cartesiano es una línea recta. Se diferencia de la función lineal en que la función afín puede tener un desplazamiento vertical respecto al origen. La forma general de una función afín es:

\[ y = mx + n \]

donde:

  • \(x\) es la variable independiente.
  • \(y\) es la variable dependiente.
  • \(m\) es la pendiente de la recta.
  • \(n\) es el coeficiente de posición o intercepto con el eje y.
Aquí va una imagen que ilustre la forma general de la función afín y = mx + n, con la variable independiente, la variable dependiente, la pendiente y el coeficiente de posición señalados.

Pendiente (m) y Coeficiente de Posición No

La pendiente (\(m\)) en una función afín tiene el mismo significado que en una función lineal: indica la inclinación de la recta.

  • Si \(m > 0\), la función es creciente.
  • Si \(m < 0\), la función es decreciente.
  • Si \(m = 0\), la función es constante (una línea horizontal).

El coeficiente de posición (\(n\)) indica el punto donde la recta corta al eje \(y\). Es decir, cuando \(x = 0\), el valor de \(y\) es igual a \(n\).

Aquí va una imagen que muestre varias funciones afines con diferentes valores de m y n, para visualizar el efecto de estos parámetros en la gráfica.

Función Constante

Un caso especial de la función afín es la función constante. Se produce cuando la pendiente es cero (\(m = 0\)). En este caso, la ecuación se reduce a:

\[ y = n \]

La gráfica de una función constante es una línea horizontal que corta al eje \(y\) en el punto (0, \(n\)).

Aquí va una imagen que muestre la gráfica de una función constante, y = n.

Gráfica de Funciones Afines

Para graficar una función afín, podemos seguir estos pasos:

  1. Identificar la pendiente (\(m\)) y el coeficiente de posición (\(n\)).
  2. Ubicar el punto (0, \(n\)) en el plano cartesiano (el intercepto con el eje \(y\)).
  3. A partir del punto (0, \(n\)), usar la pendiente para encontrar al menos otro punto. Recuerda que la pendiente indica el cambio en \(y\) por cada unidad que cambia \(x\).
  4. Trazar una línea recta que pase por los puntos encontrados.

Ejemplo:

Graficar la función \(y = 2x + 1\).

  1. La pendiente es \(m = 2\) y el coeficiente de posición es \(n = 1\).
  2. Ubicamos el punto (0, 1) en el plano cartesiano.
  3. Como la pendiente es 2, por cada unidad que nos movemos a la derecha en el eje \(x\), nos movemos 2 unidades hacia arriba en el eje \(y\). Así, podemos encontrar otro punto, por ejemplo, (1, 3).
  4. Trazamos una línea recta que pase por los puntos (0, 1) y (1, 3).
Aquí va una imagen que muestre el proceso de graficar la función y = 2x + 1, incluyendo los puntos (0, 1) y (1, 3) y la recta que pasa por ellos.

Determinación de la Ecuación a partir de Dos Puntos

Si conocemos dos puntos \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\) que pertenecen a una recta, podemos determinar la ecuación de la función afín que la representa. Para ello, seguimos estos pasos:

  1. Calcular la pendiente \(m\) usando la fórmula: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
  2. Sustituir el valor de \(m\) en la ecuación \(y = mx + n\).
  3. Sustituir uno de los puntos (por ejemplo, \((x_1, y_1)\)) en la ecuación \(y = mx + n\) y resolver para \(n\).
  4. Escribir la ecuación de la función afín con los valores de \(m\) y \(n\) encontrados.

Ejemplo:

Encontrar la ecuación de la función afín que pasa por los puntos (2, 5) y (4, 9).

  1. Calculamos la pendiente: \[ m = \frac{9 - 5}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2 \]
  2. Sustituimos \(m = 2\) en la ecuación: \(y = 2x + n\)
  3. Usamos el punto (2, 5) en la ecuación \(y = 2x + n\): \[ 5 = 2(2) + n \Rightarrow 5 = 4 + n \Rightarrow n = 1 \]
  4. La ecuación de la función afín es \(y = 2x + 1\).

Ejercicios

Nivel 1

  1. Dada la función afín, completa la tabla y luego grafica:
    • a) \(y = 3x - 2\)
      • x y
      -2
      -1
      0
      1
      2
    • b) \(y = -x + 4\)
      • x y
      -2
      -1
      0
      1
      2

Nivel 2

  1. Identifica la pendiente (m) y el coeficiente de posición No de las siguientes funciones afines:
    • a) \(y = 2x + 5\)
    • b) \(y = -x - 3\)
    • c) \(y = \frac{1}{2}x + 1\)
    • d) \(y = -3x + \frac{2}{5}\)
    • e) \(y = 4 - x\)
    • f) \(y = 7\)
  2. Grafica las siguientes funciones afines:
    • a) \(y = x + 2\)
    • b) \(y = -2x + 1\)
    • c) \(y = \frac{1}{3}x - 2\)
    • d) \(y = 5\)
  3. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
    • a) La función \(y = -4x + 7\) es decreciente.
    • b) La gráfica de \(y = 2x - 3\) pasa por el punto (0, -3).
    • c) La pendiente de \(y = 9 - x\) es 9.
    • d) La función \(y = \frac{1}{2}x + 5\) es creciente.
    • e) La gráfica de una función constante es una línea vertical.

Nivel 3

  1. Calcula la pendiente y el coeficiente de posición de la recta que pasa por los puntos:
    • a) (1, 3) y (3, 7)
    • b) (-2, 5) y (2, 1)
    • c) (0, 4) y (2, 0)
    • d) (3, -1) y (6, -1)
  2. Determina la función afín que cumple con las siguientes condiciones:
    • a) Tiene pendiente 4 y pasa por el punto (1, 6)
    • b) Pasa por los puntos (-1, 2) y (3, 0)
    • c) Corta al eje y en 5 y tiene pendiente -2
    • d) Es paralela a \(y = 3x - 1\) y pasa por el punto (0, 2)
  3. Dada la función, halla el valor de x para el cual:
    • a) \(f(x) = 2x + 1\), \(f(x) = 7\)
    • b) \(f(x) = 2x + 1\), \(f(x) = 0\)
    • c) \(g(x) = -x + 5\), \(g(x) = 2\)
    • d) \(g(x) = -x + 5\), \(g(x) = -3\)
    • e) \(h(x) = \frac{1}{2}x - 3\), \(h(x) = -1\)
    • f) \(h(x) = \frac{1}{2}x - 3\), \(h(x) = 0\)
    • g) \(f(x) = mx + n\), \(f(x) = p\)

Nivel 4

  1. Encuentra la ecuación de la función afín que pasa por los puntos:
    • a) (0, 3) y (2, 7)
    • b) (-3, 1) y (3, -1)
    • c) (1, -2) y (4, 4)
    • d) (-2, 0) y (2, 8)
  2. Una función afín \(f(x)\) cumple que \(f(1) = 5\) y \(f(3) = 9\). Determina la función afín.
  3. Una función afín \(f(x)\) cumple que \(f(-2) = 1\) y \(f(2) = 7\). Determina la función afín.
  4. Encuentra la ecuación de la función afín que tiene pendiente \(m = -2\) y pasa por el punto (3, 1).
  5. Dada la función \(f(x) = 2x + b\), donde \(b\) es una constante, se sabe que \(f(3) = 5\). Encuentra el valor de \(b\) y escribe la ecuación de la función.
  6. Si \(g(x) = mx - 1\) es una función afín y \(g(2) = 3\), ¿cuál es el valor de \(m\) y la ecuación de la función?
  7. Un vendedor tiene un sueldo base de \$300 más una comisión de \$20 por cada producto vendido. Escribe la función afín que representa el sueldo total Sí en función del número de productos vendidos (x).
  8. El costo de alquilar un auto es de \$100 más \$50 por cada día de uso. Escribe la función afín que representa el costo total Sí en función del número de días de alquiler (x).
  9. Un estanque contiene 500 litros de agua. Se abre un grifo que vierte agua en el estanque a razón de 25 litros por minuto. Escribe la función afín que representa la cantidad de agua en el estanque Sí en función del tiempo transcurrido en minutos (x).
  10. Un técnico cobra \$50 por la visita más \$30 por cada hora de trabajo. Escribe la función afín que representa el costo total Sí en función del número de horas trabajadas (x). ¿Cuánto cobrará por un trabajo de 4 horas?