Capitulo 5.3 las funciones
4. Función Afín
Función Afín
Objetivo de aprendizaje
- Comprender la función afín de la forma \(y=mx+n\), interpretar su pendiente y coeficiente de posición, graficarla y resolver problemas modelados mediante funciones afines.
Definición y Forma General
Función afín
Una función afín es una función cuya representación gráfica en el plano cartesiano es una línea recta. Su forma general es:
\[ y=mx+n \]
donde:
- \(x\) es la variable independiente.
- \(y\) es la variable dependiente.
- \(m\) es la pendiente de la recta.
- \(n\) es el coeficiente de posición o intercepto con el eje \(y\).
Diferencia con la función lineal
La función lineal tiene la forma \(y=mx\) y siempre pasa por el origen \((0,0)\).
La función afín tiene la forma \(y=mx+n\). Si \(n\neq 0\), la recta no pasa por el origen, sino que corta el eje \(y\) en \((0,n)\).
Ejemplo visual: función afín \(y=2x+1\)
En la función:
\[ y=2x+1 \]
- La pendiente es \(m=2\).
- El coeficiente de posición es \(n=1\).
- La recta corta al eje \(y\) en el punto \((0,1)\).
Pendiente \(m\) y Coeficiente de Posición \(n\)
Pendiente
La pendiente \(m\) indica la inclinación de la recta y cómo cambia \(y\) cuando \(x\) aumenta.
- Si \(m>0\), la función es creciente.
- Si \(m<0\), la función es decreciente.
- Si \(m=0\), la función es constante.
Coeficiente de posición
El coeficiente de posición \(n\) indica el punto donde la recta corta al eje \(y\). Cuando \(x=0\):
\[ y=m(0)+n=n \]
Por lo tanto, el intercepto con el eje \(y\) es:
\[ (0,n) \]
Ejemplo visual: efecto de \(m\) y \(n\)
Las siguientes funciones tienen diferentes pendientes y coeficientes de posición:
Función Constante
Caso \(m=0\)
Un caso especial de la función afín es la función constante. Se produce cuando la pendiente es cero:
\[ m=0 \]
Entonces la función queda:
\[ y=n \]
Su gráfica es una línea horizontal que corta al eje \(y\) en \((0,n)\).
Ejemplo visual: función constante
La función \(y=4\) es constante porque su pendiente es \(0\). Para cualquier valor de \(x\), el valor de \(y\) siempre es \(4\).
Gráfica de Funciones Afines
Procedimiento para graficar \(y=mx+n\)
- Identificar la pendiente \(m\) y el coeficiente de posición \(n\).
- Ubicar el punto \((0,n)\) en el plano cartesiano.
- Usar la pendiente para encontrar otro punto.
- Trazar la recta que pasa por los puntos encontrados.
Ejemplo: graficar \(y=2x+1\)
En la función:
\[ y=2x+1 \]
la pendiente es \(m=2\) y el coeficiente de posición es \(n=1\).
Primero ubicamos el punto \((0,1)\). Como la pendiente es \(2\), al avanzar \(1\) unidad en \(x\), subimos \(2\) unidades en \(y\). Así obtenemos el punto \((1,3)\).
Conclusión: la gráfica es una recta creciente que corta al eje \(y\) en \((0,1)\).
Determinación de la Ecuación a partir de Dos Puntos
Procedimiento
- Calcular la pendiente usando: \[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \]
- Sustituir \(m\) en la ecuación \(y=mx+n\).
- Usar uno de los puntos para encontrar \(n\).
- Escribir la ecuación final.
Ejemplo: encontrar una función afín con dos puntos
Encuentra la función afín que pasa por los puntos \((2,5)\) y \((4,9)\).
Calculamos la pendiente:
\[ m=\frac{9-5}{4-2}=\frac{4}{2}=2 \]
Entonces la función tiene la forma:
\[ y=2x+n \]
Usamos el punto \((2,5)\):
\[ 5=2(2)+n \]
\[ 5=4+n \]
\[ n=1 \]
Por lo tanto:
\[ y=2x+1 \]
Ejercicios
Nivel 1
Ejercicio 1
Dadas las funciones afines, completa las tablas y luego grafica.
a) \(y=3x-2\)
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| \(-2\) | |
| \(-1\) | |
| \(0\) | |
| \(1\) | |
| \(2\) |
b) \(y=-x+4\)
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| \(-2\) | |
| \(-1\) | |
| \(0\) | |
| \(1\) | |
| \(2\) |
a) Para \(y=3x-2\):
| \(x\) | \(y=3x-2\) | Punto |
|---|---|---|
| \(-2\) | \(3(-2)-2=-8\) | \((-2,-8)\) |
| \(-1\) | \(3(-1)-2=-5\) | \((-1,-5)\) |
| \(0\) | \(3(0)-2=-2\) | \((0,-2)\) |
| \(1\) | \(3(1)-2=1\) | \((1,1)\) |
| \(2\) | \(3(2)-2=4\) | \((2,4)\) |
b) Para \(y=-x+4\):
| \(x\) | \(y=-x+4\) | Punto |
|---|---|---|
| \(-2\) | \(-(-2)+4=6\) | \((-2,6)\) |
| \(-1\) | \(-(-1)+4=5\) | \((-1,5)\) |
| \(0\) | \(-(0)+4=4\) | \((0,4)\) |
| \(1\) | \(-(1)+4=3\) | \((1,3)\) |
| \(2\) | \(-(2)+4=2\) | \((2,2)\) |
Nivel 2
Ejercicio 2
Identifica la pendiente \(m\) y el coeficiente de posición \(n\) de las siguientes funciones afines:
- \(y=2x+5\)
- \(y=-x-3\)
- \(y=\frac{1}{2}x+1\)
- \(y=-3x+\frac{2}{5}\)
- \(y=4-x\)
- \(y=7\)
Comparamos cada expresión con la forma \(y=mx+n\).
- \(m=2\), \(n=5\).
- \(m=-1\), \(n=-3\).
- \(m=\frac{1}{2}\), \(n=1\).
- \(m=-3\), \(n=\frac{2}{5}\).
- \(y=4-x=-x+4\), por lo tanto \(m=-1\), \(n=4\).
- \(y=7=0x+7\), por lo tanto \(m=0\), \(n=7\).
Ejercicio 3
Grafica las siguientes funciones afines:
- \(y=x+2\)
- \(y=-2x+1\)
- \(y=\frac{1}{3}x-2\)
- \(y=5\)
Para cada función ubicamos el intercepto con el eje \(y\), es decir, \((0,n)\), y luego usamos la pendiente para trazar la recta.
Respuesta: las rectas quedan representadas según sus pendientes y coeficientes de posición.
Ejercicio 4
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
- La función \(y=-4x+7\) es decreciente.
- La gráfica de \(y=2x-3\) pasa por el punto \((0,-3)\).
- La pendiente de \(y=9-x\) es \(9\).
- La función \(y=\frac{1}{2}x+5\) es creciente.
- La gráfica de una función constante es una línea vertical.
- Verdadero. Su pendiente es \(m=-4<0\), por eso es decreciente.
- Verdadero. Su coeficiente de posición es \(n=-3\), por lo tanto corta al eje \(y\) en \((0,-3)\).
- Falso. \(y=9-x=-x+9\), por lo tanto la pendiente es \(-1\).
- Verdadero. Su pendiente es \(\frac{1}{2}>0\), por eso es creciente.
- Falso. La gráfica de una función constante es una línea horizontal.
Nivel 3
Ejercicio 5
Calcula la pendiente y el coeficiente de posición de la recta que pasa por los puntos:
- \((1,3)\) y \((3,7)\)
- \((-2,5)\) y \((2,1)\)
- \((0,4)\) y \((2,0)\)
- \((3,-1)\) y \((6,-1)\)
-
\[ m=\frac{7-3}{3-1}=\frac{4}{2}=2 \]
Usamos \((1,3)\):
\[ 3=2(1)+n \Rightarrow n=1 \]
Función: \(y=2x+1\).
-
\[ m=\frac{1-5}{2-(-2)}=\frac{-4}{4}=-1 \]
Usamos \((-2,5)\):
\[ 5=-1(-2)+n \Rightarrow 5=2+n \Rightarrow n=3 \]
Función: \(y=-x+3\).
-
\[ m=\frac{0-4}{2-0}=\frac{-4}{2}=-2 \]
Como pasa por \((0,4)\), entonces \(n=4\).
Función: \(y=-2x+4\).
-
\[ m=\frac{-1-(-1)}{6-3}=\frac{0}{3}=0 \]
Como la pendiente es cero, la función es constante:
\[ y=-1 \]
Entonces \(n=-1\).
Ejercicio 6
Determina la función afín que cumple con las siguientes condiciones:
- Tiene pendiente \(4\) y pasa por el punto \((1,6)\).
- Pasa por los puntos \((-1,2)\) y \((3,0)\).
- Corta al eje \(y\) en \(5\) y tiene pendiente \(-2\).
- Es paralela a \(y=3x-1\) y pasa por el punto \((0,2)\).
-
La función tiene forma \(y=4x+n\). Usamos \((1,6)\):
\[ 6=4(1)+n \Rightarrow n=2 \]
\[ y=4x+2 \]
-
Calculamos la pendiente:
\[ m=\frac{0-2}{3-(-1)}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} \]
Usamos \((-1,2)\):
\[ 2=-\frac{1}{2}(-1)+n \]
\[ 2=\frac{1}{2}+n \Rightarrow n=\frac{3}{2} \]
\[ y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2} \]
-
Si corta al eje \(y\) en \(5\), entonces \(n=5\). Como la pendiente es \(-2\):
\[ y=-2x+5 \]
-
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Como \(y=3x-1\) tiene pendiente \(3\), la función buscada tiene forma:
\[ y=3x+n \]
Como pasa por \((0,2)\), entonces \(n=2\):
\[ y=3x+2 \]
Ejercicio 7
Dada la función, halla el valor de \(x\) para el cual:
- \(f(x)=2x+1\), con \(f(x)=7\).
- \(f(x)=2x+1\), con \(f(x)=0\).
- \(g(x)=-x+5\), con \(g(x)=2\).
- \(g(x)=-x+5\), con \(g(x)=-3\).
- \(h(x)=\frac{1}{2}x-3\), con \(h(x)=-1\).
- \(h(x)=\frac{1}{2}x-3\), con \(h(x)=0\).
- \(f(x)=mx+n\), con \(f(x)=p\), considerando \(m\neq 0\).
- \[ 2x+1=7 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3 \]
- \[ 2x+1=0 \Rightarrow 2x=-1 \Rightarrow x=-\frac{1}{2} \]
- \[ -x+5=2 \Rightarrow -x=-3 \Rightarrow x=3 \]
- \[ -x+5=-3 \Rightarrow -x=-8 \Rightarrow x=8 \]
- \[ \frac{1}{2}x-3=-1 \Rightarrow \frac{1}{2}x=2 \Rightarrow x=4 \]
- \[ \frac{1}{2}x-3=0 \Rightarrow \frac{1}{2}x=3 \Rightarrow x=6 \]
- \[ mx+n=p \Rightarrow mx=p-n \Rightarrow x=\frac{p-n}{m},\quad m\neq 0 \]
Nivel 4
Ejercicio 8
Encuentra la ecuación de la función afín que pasa por los puntos:
- \((0,3)\) y \((2,7)\)
- \((-3,1)\) y \((3,-1)\)
- \((1,-2)\) y \((4,4)\)
- \((-2,0)\) y \((2,8)\)
-
\[ m=\frac{7-3}{2-0}=2 \]
Como pasa por \((0,3)\), \(n=3\):
\[ y=2x+3 \]
-
\[ m=\frac{-1-1}{3-(-3)}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3} \]
Usamos \((-3,1)\):
\[ 1=-\frac{1}{3}(-3)+n \Rightarrow 1=1+n \Rightarrow n=0 \]
\[ y=-\frac{1}{3}x \]
-
\[ m=\frac{4-(-2)}{4-1}=\frac{6}{3}=2 \]
Usamos \((1,-2)\):
\[ -2=2(1)+n \Rightarrow n=-4 \]
\[ y=2x-4 \]
-
\[ m=\frac{8-0}{2-(-2)}=\frac{8}{4}=2 \]
Usamos \((-2,0)\):
\[ 0=2(-2)+n \Rightarrow n=4 \]
\[ y=2x+4 \]
Ejercicio 9
Una función afín \(f(x)\) cumple que \(f(1)=5\) y \(f(3)=9\). Determina la función afín.
Los datos corresponden a los puntos \((1,5)\) y \((3,9)\).
Calculamos la pendiente:
\[ m=\frac{9-5}{3-1}=\frac{4}{2}=2 \]
La función tiene forma:
\[ f(x)=2x+n \]
Usamos el punto \((1,5)\):
\[ 5=2(1)+n \]
\[ n=3 \]
Respuesta: \(f(x)=2x+3\).
Ejercicio 10
Una función afín \(f(x)\) cumple que \(f(-2)=1\) y \(f(2)=7\). Determina la función afín.
Los datos corresponden a los puntos \((-2,1)\) y \((2,7)\).
Calculamos la pendiente:
\[ m=\frac{7-1}{2-(-2)}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} \]
La función tiene forma:
\[ f(x)=\frac{3}{2}x+n \]
Usamos el punto \((-2,1)\):
\[ 1=\frac{3}{2}(-2)+n \]
\[ 1=-3+n \]
\[ n=4 \]
Respuesta: \(f(x)=\frac{3}{2}x+4\).
Ejercicio 11
Encuentra la ecuación de la función afín que tiene pendiente \(m=-2\) y pasa por el punto \((3,1)\).
Como la pendiente es \(-2\), la función tiene forma:
\[ y=-2x+n \]
Usamos el punto \((3,1)\):
\[ 1=-2(3)+n \]
\[ 1=-6+n \]
\[ n=7 \]
Respuesta: \(y=-2x+7\).
Ejercicio 12
Dada la función \(f(x)=2x+b\), donde \(b\) es una constante, se sabe que \(f(3)=5\). Encuentra el valor de \(b\) y escribe la ecuación de la función.
Sustituimos \(x=3\) y \(f(3)=5\):
\[ 5=2(3)+b \]
\[ 5=6+b \]
\[ b=-1 \]
Respuesta: \(f(x)=2x-1\).
Ejercicio 13
Si \(g(x)=mx-1\) es una función afín y \(g(2)=3\), ¿cuál es el valor de \(m\) y la ecuación de la función?
Sustituimos \(x=2\) y \(g(2)=3\):
\[ 3=m(2)-1 \]
\[ 4=2m \]
\[ m=2 \]
Respuesta: \(g(x)=2x-1\).
Ejercicio 14
Un vendedor tiene un sueldo base de \(\$300\) más una comisión de \(\$20\) por cada producto vendido. Escribe la función afín que representa el sueldo total \(y\) en función del número de productos vendidos \(x\).
El sueldo total tiene dos partes:
- Sueldo base: \(\$300\).
- Comisión: \(\$20\) por cada producto, es decir, \(20x\).
Entonces:
\[ y=20x+300 \]
Respuesta: \(y=20x+300\).
Ejercicio 15
El costo de alquilar un auto es de \(\$100\) más \(\$50\) por cada día de uso. Escribe la función afín que representa el costo total \(y\) en función del número de días de alquiler \(x\).
El costo fijo es \(\$100\), y por cada día se agregan \(\$50\).
Entonces:
\[ y=50x+100 \]
Respuesta: \(y=50x+100\).
Ejercicio 16
Un estanque contiene \(500\) litros de agua. Se abre un grifo que vierte agua en el estanque a razón de \(25\) litros por minuto. Escribe la función afín que representa la cantidad de agua en el estanque \(y\) en función del tiempo transcurrido \(x\), en minutos.
La cantidad inicial de agua es \(500\) litros. Cada minuto aumenta en \(25\) litros.
Entonces:
\[ y=25x+500 \]
Respuesta: \(y=25x+500\).
Ejercicio 17
Un técnico cobra \(\$50\) por la visita más \(\$30\) por cada hora de trabajo. Escribe la función afín que representa el costo total \(y\) en función del número de horas trabajadas \(x\). ¿Cuánto cobrará por un trabajo de \(4\) horas?
El costo fijo es \(\$50\), y por cada hora se agregan \(\$30\).
La función es:
\[ y=30x+50 \]
Para \(x=4\):
\[ y=30(4)+50 \]
\[ y=120+50=170 \]
Respuesta: la función es \(y=30x+50\), y por \(4\) horas cobrará \(\$170\).
Cierre
La función afín \(y=mx+n\) permite modelar situaciones con una parte variable y una parte fija. La pendiente \(m\) indica el cambio por unidad, mientras que \(n\) representa el valor inicial o intercepto con el eje \(y\).