Capitulo 5.3 las funciones
5. Obtención de la Ecuación de una Recta
Obtención de la Ecuación de una Recta
En esta página, repasaremos los métodos para obtener la ecuación de una recta a partir de diferentes datos, como dos puntos, un punto y la pendiente, y la relación con rectas paralelas y perpendiculares. La ecuación de una recta se puede expresar en la forma punto-pendiente \(y - y_1 = m(x - x_1)\) o en la forma pendiente-ordenada al origen \(y = mx + n\).
A partir de dos puntos
Si conocemos dos puntos \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\) que pertenecen a una recta, podemos determinar su ecuación siguiendo estos pasos:
- Calcular la pendiente \(m\) usando la fórmula: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
- Sustituir la pendiente \(m\) y uno de los puntos, por ejemplo \((x_1, y_1)\), en la forma punto-pendiente: \[y - y_1 = m(x - x_1)\]
- Simplificar la ecuación a la forma pendiente-ordenada al origen, si se desea: \[y = mx + n\]
Ejemplo:
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, 3) y (4, 9).
- Calculamos la pendiente: \[ m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2 \]
- Sustituimos \(m = 2\) y el punto (1, 3) en la forma punto-pendiente: \[y - 3 = 2(x - 1)\]
- Simplificamos a la forma pendiente-ordenada al origen: \[y - 3 = 2x - 2 \Rightarrow y = 2x + 1\]
La ecuación de la recta es \(y = 2x + 1\).
A partir de un punto y la pendiente
Si conocemos un punto \((x_1, y_1)\) que pertenece a una recta y su pendiente \(m\), podemos determinar su ecuación siguiendo estos pasos:
- Sustituir la pendiente \(m\) y el punto \((x_1, y_1)\) en la forma punto-pendiente: \[y - y_1 = m(x - x_1)\]
- Simplificar la ecuación a la forma pendiente-ordenada al origen, si se desea: \[y = mx + n\]
Ejemplo:
Encontrar la ecuación de la recta que tiene pendiente \(m = -3\) y pasa por el punto (2, -1).
- Sustituimos \(m = -3\) y el punto (2, -1) en la forma punto-pendiente: \[y - (-1) = -3(x - 2)\]
- Simplificamos a la forma pendiente-ordenada al origen: \[y + 1 = -3x + 6 \Rightarrow y = -3x + 5\]
La ecuación de la recta es \(y = -3x + 5\).
Rectas Paralelas y Perpendiculares
Rectas Paralelas
Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Es decir, si la ecuación de una recta es \(y = m_1x + n_1\) y la ecuación de otra recta es \(y = m_2x + n_2\), las rectas son paralelas si \(m_1 = m_2\).
Ejemplo:
Encontrar la ecuación de la recta que es paralela a \(y = 4x - 3\) y pasa por el punto (1, 2).
- Como la recta buscada es paralela a \(y = 4x - 3\), su pendiente es \(m = 4\).
- Sustituimos \(m = 4\) y el punto (1,2) en la forma punto-pendiente: \[y - 2 = 4(x-1)\]
- Simplificamos: \[y - 2 = 4x - 4 \Rightarrow y = 4x -2\]
La ecuación de la recta es \(y = 4x - 2\).
Rectas Perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1. Es decir, si la ecuación de una recta es \(y = m_1x + n_1\) y la ecuación de otra recta es \(y = m_2x + n_2\), las rectas son perpendiculares si \(m_1 \cdot m_2 = -1\), o equivalentemente, \(m_2 = -\frac{1}{m_1}\).
Ejemplo:
Encontrar la ecuación de la recta que es perpendicular a \(y = \frac{1}{2}x + 5\) y pasa por el punto (-2, 3).
- La pendiente de la recta dada es \(m_1 = \frac{1}{2}\). La pendiente de la recta perpendicular es \(m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{\frac{1}{2}} = -2\).
- Sustituimos \(m = -2\) y el punto (-2,3) en la forma punto-pendiente: \[y - 3 = -2(x-(-2))\]
- Simplificamos: \[y - 3 = -2x - 4 \Rightarrow y = -2x -1\]
La ecuación de la recta es \(y = -2x - 1\).
Ejercicios
Nivel 1
- Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos:
- a) (2, 4) y (5, 10)
- b) (-1, 3) y (2, 0)
- c) (0, -2) y (4, 2)
- Encuentra la ecuación de la recta con la pendiente y el punto dados:
- a) \(m = 3\), punto (1, 5)
- b) \(m = -2\), punto (-2, 4)
- c) \(m = \frac{1}{2}\), punto (0, -3)
Nivel 2
- Encuentra la ecuación de la recta que es paralela a la recta dada y pasa por el punto indicado:
- a) Paralela a \(y = 2x - 5\), pasa por (1, 4)
- b) Paralela a \(y = -x + 3\), pasa por (-2, 1)
- c) Paralela a \(y = \frac{1}{3}x + 2\), pasa por (0, -2)
- Encuentra la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta dada y pasa por el punto indicado:
- a) Perpendicular a \(y = 3x + 1\), pasa por (3, 2)
- b) Perpendicular a \(y = -\frac{1}{2}x - 4\), pasa por (-1, 5)
- c) Perpendicular a \(y = -x + 6\), pasa por (0, 0)
Nivel 3
- Dadas las siguientes ecuaciones de rectas, determina si son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos:
- a) \(y = 4x - 3\) y \(y = 4x + 1\)
- b) \(y = -2x + 5\) y \(y = \frac{1}{2}x - 2\)
- c) \(y = x + 3\) y \(y = -x - 1\)
- d) \(y = 3x\) y \(y = -\frac{1}{3}x + 4\)
- Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es:
- a) Paralela al eje x
- b) Paralela al eje y
- Determina el valor de \(k\) para que las rectas \(y = 2x + 5\) y \(y = kx - 3\) sean:
- a) Paralelas
- b) Perpendiculares