Capitulo 6 sistemas de ecuaciones
5. Sistemas de Ecuaciones: Método de Igualación
Sistemas de Ecuaciones: Método de Igualación
¿Qué es el método de igualación?
El método de igualación es un procedimiento algebraico para resolver sistemas de ecuaciones. Su lógica es directa: si dos expresiones representan la misma incógnita, entonces esas expresiones deben ser iguales entre sí.
En un sistema, se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y luego se igualan los resultados. Así se obtiene una ecuación con una sola incógnita.
Procedimiento paso a paso
Pasos para resolver un sistema por igualación
- Despejar la misma incógnita: elige una incógnita y despéjala en ambas ecuaciones.
- Igualar: forma una nueva ecuación igualando las dos expresiones obtenidas.
- Resolver: resuelve la nueva ecuación para encontrar el valor de una incógnita.
- Encontrar la segunda incógnita: reemplaza el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones despejadas.
- Verificar: comprueba que el par ordenado obtenido satisface ambas ecuaciones originales.
¿Cuándo conviene usar este método?
El método de igualación conviene especialmente cuando la misma incógnita ya está despejada en ambas ecuaciones o cuando es fácil despejarla en las dos.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: despejando \(y\) con una fracción
Resolvamos el sistema:
\[ \begin{cases} 3x+2y=8\\ x-y=1 \end{cases} \]
1. Despejar la misma incógnita: despejamos \(y\) en ambas ecuaciones.
\[ 3x+2y=8 \Rightarrow 2y=8-3x \Rightarrow y=\frac{8-3x}{2} \]
\[ x-y=1 \Rightarrow -y=1-x \Rightarrow y=x-1 \]
2. Igualar las expresiones:
\[ \frac{8-3x}{2}=x-1 \]
3. Resolver para \(x\):
\[ 8-3x=2(x-1) \]
\[ 8-3x=2x-2 \]
\[ 10=5x \]
\[ x=2 \]
4. Encontrar \(y\): reemplazamos \(x=2\) en \(y=x-1\).
\[ y=2-1=1 \]
Verificación gráfica: las rectas se intersectan en \((2,1)\).
Solución: \((2,1)\).
Ejemplo 2: despejando \(x\) de forma sencilla
Resolvamos el sistema:
\[ \begin{cases} x-2y=4\\ x+3y=9 \end{cases} \]
1. Despejar la misma incógnita: en este caso, conviene despejar \(x\) en ambas ecuaciones.
\[ x-2y=4 \Rightarrow x=4+2y \]
\[ x+3y=9 \Rightarrow x=9-3y \]
2. Igualar las expresiones:
\[ 4+2y=9-3y \]
3. Resolver para \(y\):
\[ 2y+3y=9-4 \]
\[ 5y=5 \]
\[ y=1 \]
4. Encontrar \(x\): reemplazamos \(y=1\) en \(x=4+2y\).
\[ x=4+2(1)=6 \]
Verificación gráfica: al escribir ambas ecuaciones como funciones, se obtiene \(y=\frac{x}{2}-2\) y \(y=-\frac{x}{3}+3\).
Solución: \((6,1)\).
Ejemplo 3: despeje con coeficientes en todas las incógnitas
Resolvamos el sistema:
\[ \begin{cases} 4x+3y=10\\ 2x-5y=-8 \end{cases} \]
1. Despejar la misma incógnita: despejamos \(x\) en ambas ecuaciones.
\[ 4x+3y=10 \Rightarrow 4x=10-3y \Rightarrow x=\frac{10-3y}{4} \]
\[ 2x-5y=-8 \Rightarrow 2x=5y-8 \Rightarrow x=\frac{5y-8}{2} \]
2. Igualar las expresiones:
\[ \frac{10-3y}{4}=\frac{5y-8}{2} \]
Tip para eliminar denominadores
Para resolver más fácilmente, se puede multiplicar toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. En este caso, multiplicamos por \(4\).
3. Resolver para \(y\):
\[ 4\cdot \left(\frac{10-3y}{4}\right)=4\cdot \left(\frac{5y-8}{2}\right) \]
\[ 10-3y=2(5y-8) \]
\[ 10-3y=10y-16 \]
\[ 26=13y \]
\[ y=2 \]
4. Encontrar \(x\): reemplazamos \(y=2\) en \(x=\frac{5y-8}{2}\).
\[ x=\frac{5(2)-8}{2} \]
\[ x=\frac{10-8}{2}=\frac{2}{2}=1 \]
Verificación gráfica: al escribir ambas ecuaciones como funciones, se obtiene \(y=-\frac{4}{3}x+\frac{10}{3}\) y \(y=\frac{2}{5}x+\frac{8}{5}\).
Solución: \((1,2)\).
Ejercicios propuestos
Parte 1: Ejercicios con números enteros y racionales
Ejercicio 1
Resuelve por igualación:
\[ \begin{cases} x+y=7\\ x-y=3 \end{cases} \]
Despejamos \(x\) en ambas ecuaciones:
\[ x=7-y \]
\[ x=3+y \]
Igualamos ambas expresiones:
\[ 7-y=3+y \]
Resolvemos:
\[ 4=2y \]
\[ y=2 \]
Reemplazamos en \(x=7-y\):
\[ x=7-2=5 \]
Solución: \((5,2)\).
Ejercicio 2
Resuelve por igualación:
\[ \begin{cases} 3x-y=1\\ 2x+2y=10 \end{cases} \]
Despejamos \(y\) en ambas ecuaciones:
\[ 3x-y=1 \Rightarrow y=3x-1 \]
\[ 2x+2y=10 \Rightarrow 2y=10-2x \Rightarrow y=5-x \]
Igualamos:
\[ 3x-1=5-x \]
Resolvemos:
\[ 4x=6 \]
\[ x=\frac{3}{2} \]
Reemplazamos en \(y=5-x\):
\[ y=5-\frac{3}{2} \]
\[ y=\frac{10}{2}-\frac{3}{2}=\frac{7}{2} \]
Solución: \(\left(\frac{3}{2},\frac{7}{2}\right)\).
Ejercicio 3
Resuelve por igualación:
\[ \begin{cases} 5x-y=1\\ 2x+3y=8 \end{cases} \]
Despejamos \(y\) en ambas ecuaciones:
\[ 5x-y=1 \Rightarrow y=5x-1 \]
\[ 2x+3y=8 \Rightarrow 3y=8-2x \Rightarrow y=\frac{8-2x}{3} \]
Igualamos:
\[ 5x-1=\frac{8-2x}{3} \]
Multiplicamos por \(3\):
\[ 15x-3=8-2x \]
Resolvemos:
\[ 17x=11 \]
\[ x=\frac{11}{17} \]
Reemplazamos en \(y=5x-1\):
\[ y=5\left(\frac{11}{17}\right)-1 \]
\[ y=\frac{55}{17}-\frac{17}{17}=\frac{38}{17} \]
Solución: \(\left(\frac{11}{17},\frac{38}{17}\right)\).
Ejercicio 4
Resuelve por igualación:
\[ \begin{cases} \frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1\\ \frac{x}{4}-y=-\frac{7}{4} \end{cases} \]
Despejamos \(y\) en ambas ecuaciones:
\[ \frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1 \]
\[ \frac{y}{3}=1-\frac{x}{2} \]
\[ y=3-\frac{3x}{2} \]
Ahora despejamos \(y\) en la segunda ecuación:
\[ \frac{x}{4}-y=-\frac{7}{4} \]
\[ -y=-\frac{7}{4}-\frac{x}{4} \]
\[ y=\frac{x}{4}+\frac{7}{4} \]
Igualamos:
\[ 3-\frac{3x}{2}=\frac{x}{4}+\frac{7}{4} \]
Multiplicamos por \(4\):
\[ 12-6x=x+7 \]
Resolvemos:
\[ -7x=-5 \]
\[ x=\frac{5}{7} \]
Reemplazamos en \(y=\frac{x}{4}+\frac{7}{4}\):
\[ y=\frac{\frac{5}{7}}{4}+\frac{7}{4} \]
\[ y=\frac{5}{28}+\frac{49}{28}=\frac{54}{28}=\frac{27}{14} \]
Solución: \(\left(\frac{5}{7},\frac{27}{14}\right)\).
Parte 2: Ejercicios con coeficientes literales
Ejercicio 5
Resuelve para \(x\) e \(y\):
\[ \begin{cases} x+y=a\\ x-y=b \end{cases} \]
Despejamos \(x\) en ambas ecuaciones:
\[ x=a-y \]
\[ x=b+y \]
Igualamos:
\[ a-y=b+y \]
Resolvemos para \(y\):
\[ a-b=2y \]
\[ y=\frac{a-b}{2} \]
Reemplazamos en \(x=a-y\):
\[ x=a-\frac{a-b}{2} \]
\[ x=\frac{2a-(a-b)}{2} \]
\[ x=\frac{a+b}{2} \]
Solución: \(\left(\frac{a+b}{2},\frac{a-b}{2}\right)\).
Ejercicio 6
Resuelve para \(x\) e \(y\):
\[ \begin{cases} ax-y=1\\ x+ay=1 \end{cases} \]
Despejamos \(y\) en la primera ecuación:
\[ ax-y=1 \]
\[ -y=1-ax \]
\[ y=ax-1 \]
Sustituimos esta expresión en la segunda ecuación:
\[ x+a(ax-1)=1 \]
Resolvemos:
\[ x+a^2x-a=1 \]
\[ x(a^2+1)=a+1 \]
\[ x=\frac{a+1}{a^2+1} \]
Ahora reemplazamos en \(y=ax-1\):
\[ y=a\left(\frac{a+1}{a^2+1}\right)-1 \]
\[ y=\frac{a^2+a}{a^2+1}-\frac{a^2+1}{a^2+1} \]
\[ y=\frac{a^2+a-a^2-1}{a^2+1} \]
\[ y=\frac{a-1}{a^2+1} \]
Solución: \(\left(\frac{a+1}{a^2+1},\frac{a-1}{a^2+1}\right)\).