Capitulo 6 sistemas de ecuaciones
6. Sistemas de Ecuaciones: Método de Reducción
Sistemas de Ecuaciones: Método de Reducción
¿Qué es el método de reducción?
También conocido como método de suma y resta o eliminación, el método de reducción consiste en transformar una o ambas ecuaciones para que una incógnita tenga coeficientes opuestos.
Por ejemplo, si en una ecuación aparece \(+3y\) y en la otra aparece \(-3y\), al sumar ambas ecuaciones la incógnita \(y\) se elimina. Así queda una ecuación con una sola variable.
Procedimiento paso a paso
Pasos para resolver un sistema por reducción
- Preparar las ecuaciones: observa los coeficientes de \(x\) e \(y\). Decide qué incógnita quieres eliminar.
- Multiplicar si es necesario: multiplica una o ambas ecuaciones por números convenientes para que los coeficientes de una incógnita queden iguales y con signo contrario.
- Sumar las ecuaciones: suma verticalmente las ecuaciones modificadas. Si el procedimiento está bien hecho, una incógnita se cancela.
- Resolver: resuelve la ecuación resultante para encontrar el valor de una incógnita.
- Encontrar la segunda incógnita: reemplaza el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones originales.
- Verificar: comprueba que el par ordenado obtenido satisface ambas ecuaciones iniciales.
El truco del estratega
Este método suele ser rápido cuando los coeficientes ya son opuestos, como \(+2y\) y \(-2y\), o cuando uno es múltiplo del otro, como \(3x\) y \(6x\).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: eliminación directa
Resolvamos el sistema:
\[ \begin{cases} x+y=5\\ x-y=1 \end{cases} \]
1. Preparar: no es necesario multiplicar. Los coeficientes de \(y\) ya son opuestos: \(+y\) y \(-y\).
2. Sumar las ecuaciones:
\[ (x+y)+(x-y)=5+1 \]
\[ 2x=6 \]
3. Resolver para \(x\):
\[ x=3 \]
4. Encontrar \(y\): reemplazamos \(x=3\) en la primera ecuación original.
\[ 3+y=5 \]
\[ y=2 \]
Verificación gráfica: las rectas se intersectan en \((3,2)\).
Solución: \((3,2)\).
Ejemplo 2: multiplicando una ecuación
Resolvamos el sistema:
\[ \begin{cases} 2x+3y=7\\ 4x-y=5 \end{cases} \]
1. Preparar: queremos eliminar \(y\). En la primera ecuación aparece \(+3y\), por lo tanto necesitamos \(-3y\) en la segunda.
Multiplicamos la segunda ecuación por \(3\):
\[ 3(4x-y)=3(5) \]
\[ 12x-3y=15 \]
El sistema equivalente queda:
\[ \begin{cases} 2x+3y=7\\ 12x-3y=15 \end{cases} \]
2. Sumar las ecuaciones:
\[ (2x+3y)+(12x-3y)=7+15 \]
\[ 14x=22 \]
3. Resolver para \(x\):
\[ x=\frac{22}{14}=\frac{11}{7} \]
4. Encontrar \(y\): reemplazamos \(x=\frac{11}{7}\) en la segunda ecuación original.
\[ 4\left(\frac{11}{7}\right)-y=5 \]
\[ \frac{44}{7}-y=5 \]
\[ -y=5-\frac{44}{7} \]
\[ -y=\frac{35}{7}-\frac{44}{7}=-\frac{9}{7} \]
\[ y=\frac{9}{7} \]
Verificación gráfica: al escribir ambas ecuaciones como funciones, se obtiene \(y=-\frac{2}{3}x+\frac{7}{3}\) y \(y=4x-5\).
Solución: \(\left(\frac{11}{7},\frac{9}{7}\right)\).
Ejemplo 3: multiplicando ambas ecuaciones
Resolvamos el sistema:
\[ \begin{cases} 3x+2y=8\\ 5x-3y=7 \end{cases} \]
1. Preparar: eliminemos \(y\). Como los coeficientes son \(2\) y \(-3\), buscamos \(+6y\) y \(-6y\).
Multiplicamos la primera ecuación por \(3\):
\[ 3(3x+2y)=3(8) \]
\[ 9x+6y=24 \]
Multiplicamos la segunda ecuación por \(2\):
\[ 2(5x-3y)=2(7) \]
\[ 10x-6y=14 \]
2. Sumar las ecuaciones:
\[ (9x+6y)+(10x-6y)=24+14 \]
\[ 19x=38 \]
3. Resolver para \(x\):
\[ x=2 \]
4. Encontrar \(y\): reemplazamos \(x=2\) en la primera ecuación original.
\[ 3(2)+2y=8 \]
\[ 6+2y=8 \]
\[ 2y=2 \]
\[ y=1 \]
Verificación gráfica: las rectas se intersectan en \((2,1)\).
Solución: \((2,1)\).
Ejercicios propuestos
Parte 1: Ejercicios con números enteros y racionales
Ejercicio 1
Resuelve por reducción:
\[ \begin{cases} x+3y=10\\ 2x-y=6 \end{cases} \]
Queremos eliminar \(y\). En la primera ecuación aparece \(+3y\) y en la segunda aparece \(-y\).
Multiplicamos la segunda ecuación por \(3\):
\[ 3(2x-y)=3(6) \]
\[ 6x-3y=18 \]
Sumamos con la primera ecuación:
\[ (x+3y)+(6x-3y)=10+18 \]
\[ 7x=28 \]
\[ x=4 \]
Reemplazamos en \(x+3y=10\):
\[ 4+3y=10 \]
\[ 3y=6 \]
\[ y=2 \]
Solución: \((4,2)\).
Ejercicio 2
Resuelve por reducción:
\[ \begin{cases} \frac{1}{2}x+y=3\\ x-2y=0 \end{cases} \]
Multiplicamos la primera ecuación por \(2\):
\[ 2\left(\frac{1}{2}x+y\right)=2(3) \]
\[ x+2y=6 \]
El sistema equivalente es:
\[ \begin{cases} x+2y=6\\ x-2y=0 \end{cases} \]
Sumamos ambas ecuaciones:
\[ (x+2y)+(x-2y)=6+0 \]
\[ 2x=6 \]
\[ x=3 \]
Reemplazamos en \(x-2y=0\):
\[ 3-2y=0 \]
\[ 3=2y \]
\[ y=\frac{3}{2} \]
Solución: \(\left(3,\frac{3}{2}\right)\).
Ejercicio 3
Resuelve por reducción:
\[ \begin{cases} x+\frac{y}{3}=2\\ 2x-3y=-5 \end{cases} \]
Primero eliminamos la fracción de la primera ecuación multiplicando por \(3\):
\[ 3\left(x+\frac{y}{3}\right)=3(2) \]
\[ 3x+y=6 \]
Ahora queremos eliminar \(y\). Multiplicamos esta ecuación por \(3\):
\[ 3(3x+y)=3(6) \]
\[ 9x+3y=18 \]
Sumamos con la segunda ecuación original:
\[ (9x+3y)+(2x-3y)=18+(-5) \]
\[ 11x=13 \]
\[ x=\frac{13}{11} \]
Reemplazamos en \(3x+y=6\):
\[ 3\left(\frac{13}{11}\right)+y=6 \]
\[ \frac{39}{11}+y=\frac{66}{11} \]
\[ y=\frac{27}{11} \]
Solución: \(\left(\frac{13}{11},\frac{27}{11}\right)\).
Parte 2: Ejercicios con coeficientes literales
Ejercicio 4
Resuelve para \(x\) e \(y\):
\[ \begin{cases} x+y=a\\ x-y=b \end{cases} \]
Sumamos ambas ecuaciones:
\[ (x+y)+(x-y)=a+b \]
\[ 2x=a+b \]
\[ x=\frac{a+b}{2} \]
Para encontrar \(y\), restamos la segunda ecuación a la primera:
\[ (x+y)-(x-y)=a-b \]
\[ 2y=a-b \]
\[ y=\frac{a-b}{2} \]
Solución: \(\left(\frac{a+b}{2},\frac{a-b}{2}\right)\).
Ejercicio 5
Resuelve para \(x\) e \(y\), con \(a^2\neq 1\):
\[ \begin{cases} ax+y=1\\ x+ay=1 \end{cases} \]
Queremos eliminar \(y\). Multiplicamos la primera ecuación por \(-a\):
\[ -a(ax+y)=-a(1) \]
\[ -a^2x-ay=-a \]
Sumamos esta ecuación con la segunda ecuación original:
\[ (-a^2x-ay)+(x+ay)=-a+1 \]
\[ x-a^2x=1-a \]
\[ x(1-a^2)=1-a \]
Como \(a^2\neq 1\), entonces \(1-a^2\neq 0\). Por lo tanto:
\[ x=\frac{1-a}{1-a^2} \]
Factorizamos el denominador:
\[ 1-a^2=(1-a)(1+a) \]
Entonces:
\[ x=\frac{1-a}{(1-a)(1+a)}=\frac{1}{1+a} \]
Reemplazamos en la segunda ecuación original:
\[ \frac{1}{1+a}+ay=1 \]
\[ ay=1-\frac{1}{1+a} \]
\[ ay=\frac{1+a}{1+a}-\frac{1}{1+a} \]
\[ ay=\frac{a}{1+a} \]
Como \(a^2\neq 1\), en particular \(a\neq 0\) no es necesario para la validez de la solución final, pero esta expresión permite ver que:
\[ y=\frac{1}{1+a} \]
Solución: \(\left(\frac{1}{a+1},\frac{1}{a+1}\right)\).