Capitulo 6 sistemas de ecuaciones
8. Resolviendo Problemas con Sistemas de Ecuaciones
Resolviendo Problemas con Sistemas de Ecuaciones
Las matemáticas en acción
Hasta ahora hemos practicado procedimientos para resolver sistemas. Ahora veremos para qué sirven: los sistemas de ecuaciones permiten modelar y resolver problemas en distintos contextos, como precios, edades, cantidades, mezclas y planificación financiera.
El mapa para resolver cualquier problema
Resolver problemas de planteo
Resolver problemas con sistemas puede parecer difícil al comienzo, pero si se sigue un método ordenado, el proceso se vuelve mucho más claro.
Pasos para resolver problemas con sistemas de ecuaciones
- Leer y comprender: identifica los datos entregados y lo que se pregunta.
- Definir las incógnitas: asigna una letra a cada cantidad desconocida. Por ejemplo, \(x=\) cantidad de conejos.
- Plantear el sistema: traduce las condiciones del problema al lenguaje algebraico.
- Resolver el sistema: elige un método adecuado: sustitución, igualación o reducción.
- Responder y verificar: escribe la respuesta en el contexto del problema y comprueba si tiene sentido.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: problema de números
La suma de dos números es \(25\) y su diferencia es \(5\). ¿Cuáles son los números?
1. Incógnitas:
\[ x=\text{primer número} \]
\[ y=\text{segundo número} \]
2. Sistema:
La suma de los números es \(25\):
\[ x+y=25 \]
La diferencia entre ellos es \(5\):
\[ x-y=5 \]
3. Resolución por reducción:
\[ (x+y)+(x-y)=25+5 \]
\[ 2x=30 \]
\[ x=15 \]
Reemplazamos en \(x+y=25\):
\[ 15+y=25 \]
\[ y=10 \]
4. Respuesta: los números son \(15\) y \(10\).
Ejemplo 2: problema de edades
La edad de un padre es el triple de la edad de su hijo. Hace \(5\) años, la suma de sus edades era \(46\). ¿Qué edad tiene cada uno?
1. Incógnitas:
\[ x=\text{edad actual del hijo} \]
\[ y=\text{edad actual del padre} \]
2. Sistema:
La edad del padre es el triple de la edad del hijo:
\[ y=3x \]
Hace \(5\) años, las edades eran \(x-5\) e \(y-5\). Como la suma era \(46\):
\[ (x-5)+(y-5)=46 \]
Simplificando:
\[ x+y=56 \]
3. Resolución por sustitución:
Sustituimos \(y=3x\) en \(x+y=56\):
\[ x+3x=56 \]
\[ 4x=56 \]
\[ x=14 \]
Reemplazamos en \(y=3x\):
\[ y=3(14)=42 \]
4. Respuesta: el hijo tiene \(14\) años y el padre tiene \(42\) años.
Paso clave: entender qué representa cada letra
Antes de resolver
Antes de aplicar un método algebraico, es fundamental interpretar qué representa cada incógnita y cada término del sistema.
Situación 1: cine
En un cine, las entradas de adulto cuestan \(\$5\) y las de niño cuestan \(\$3\). Se vendieron \(400\) entradas y se recaudaron \(\$1600\). El sistema es:
\[ \begin{cases} x+y=400\\ 5x+3y=1600 \end{cases} \]
¿Qué representan \(x\), \(y\), \(5x\) y \(3y\)?
\(x\) representa la cantidad de entradas de adulto vendidas.
\(y\) representa la cantidad de entradas de niño vendidas.
\(5x\) representa el dinero recaudado por las entradas de adulto.
\(3y\) representa el dinero recaudado por las entradas de niño.
La primera ecuación cuenta el total de entradas, mientras que la segunda cuenta el total de dinero recaudado.
Situación 2: ahorro
Se invierten \(\$10000\) en dos cuentas: una al \(5\%\) y otra al \(7\%\) de interés anual. En total se ganan \(\$580\). El sistema es:
\[ \begin{cases} x+y=10000\\ 0.05x+0.07y=580 \end{cases} \]
¿Qué representan \(x\), \(y\), \(0.05x\) y \(0.07y\)?
\(x\) representa el dinero invertido en la cuenta al \(5\%\).
\(y\) representa el dinero invertido en la cuenta al \(7\%\).
\(0.05x\) representa el interés ganado por la inversión al \(5\%\).
\(0.07y\) representa el interés ganado por la inversión al \(7\%\).
La primera ecuación representa el total invertido, y la segunda representa el total de intereses obtenidos.
Ahora, a resolver problemas
Ejercicio 1
En un corral hay conejos y gallinas. En total hay \(35\) cabezas y \(100\) patas. ¿Cuántos conejos y gallinas hay?
1. Incógnitas:
\[ c=\text{cantidad de conejos} \]
\[ g=\text{cantidad de gallinas} \]
2. Sistema:
Cada animal tiene una cabeza:
\[ c+g=35 \]
Cada conejo tiene \(4\) patas y cada gallina tiene \(2\):
\[ 4c+2g=100 \]
3. Resolución:
Multiplicamos la primera ecuación por \(-2\):
\[ -2c-2g=-70 \]
Sumamos con \(4c+2g=100\):
\[ 2c=30 \]
\[ c=15 \]
Reemplazamos en \(c+g=35\):
\[ 15+g=35 \]
\[ g=20 \]
Respuesta: hay \(15\) conejos y \(20\) gallinas.
Ejercicio 2
En una tienda, \(3\) kg de manzanas y \(2\) kg de naranjas cuestan \(\$8\). Además, \(2\) kg de manzanas y \(4\) kg de naranjas cuestan \(\$10\). ¿Cuál es el precio por kg de cada fruta?
1. Incógnitas:
\[ m=\text{precio de 1 kg de manzanas} \]
\[ n=\text{precio de 1 kg de naranjas} \]
2. Sistema:
\[ \begin{cases} 3m+2n=8\\ 2m+4n=10 \end{cases} \]
3. Resolución por reducción:
Multiplicamos la primera ecuación por \(2\):
\[ 6m+4n=16 \]
Restamos la segunda ecuación:
\[ (6m+4n)-(2m+4n)=16-10 \]
\[ 4m=6 \]
\[ m=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1.5 \]
Reemplazamos en \(2m+4n=10\):
\[ 2(1.5)+4n=10 \]
\[ 3+4n=10 \]
\[ 4n=7 \]
\[ n=\frac{7}{4}=1.75 \]
Respuesta: el kg de manzanas cuesta \(\$1.50\) y el kg de naranjas cuesta \(\$1.75\).
Ejercicio 3
Un químico necesita \(10\) litros de una solución al \(20\%\) de ácido. Tiene dos soluciones: una al \(15\%\) y otra al \(30\%\). ¿Cuántos litros de cada una debe mezclar?
1. Incógnitas:
\[ x=\text{litros de solución al }15\% \]
\[ y=\text{litros de solución al }30\% \]
2. Sistema:
La mezcla total debe tener \(10\) litros:
\[ x+y=10 \]
El \(20\%\) de \(10\) litros corresponde a \(2\) litros de ácido:
\[ 0.15x+0.30y=2 \]
3. Resolución:
Despejamos \(x\) en la primera ecuación:
\[ x=10-y \]
Sustituimos en la segunda:
\[ 0.15(10-y)+0.30y=2 \]
\[ 1.5-0.15y+0.30y=2 \]
\[ 0.15y=0.5 \]
\[ y=\frac{0.5}{0.15}=\frac{10}{3} \]
Entonces:
\[ x=10-\frac{10}{3}=\frac{20}{3} \]
Respuesta: debe mezclar \(\frac{20}{3}\) litros de solución al \(15\%\), es decir aproximadamente \(6.67\) litros, y \(\frac{10}{3}\) litros de solución al \(30\%\), es decir aproximadamente \(3.33\) litros.