CAPITULO 7 funciones de R^2 en R: f(x,y)=z

1. De Ecuaciones a Gráficos: Recordando los Fundamentos

De Ecuaciones a Gráficos: Recordando los Fundamentos

En esta página, repasaremos los conceptos básicos de las ecuaciones lineales y su representación gráfica en el plano cartesiano. Esto nos servirá como base para comprender las relaciones lineales en dos variables que exploraremos en las siguientes secciones. Nos enfocaremos en dos formas de representar la ecuación de una recta: la forma general y la forma principal.

La Ecuación de la Recta: Forma Principal

Probablemente estés familiarizado con la forma principal de la ecuación de una recta:

\[y = mx + n\]

donde:

  • 'm' representa la pendiente de la recta, que indica su inclinación.
  • 'n' representa la intersección con el eje y, que es el punto donde la recta corta al eje vertical.

Esta forma es muy útil para graficar una recta, ya que podemos identificar rápidamente su pendiente y su intersección con el eje y.

De la Forma Principal a la Forma ax + by = c

Sin embargo, también podemos expresar la ecuación de una recta en la forma:

\[ax + by = c\]

donde a, b, y c son constantes. Esta forma es conocida como la forma general de la ecuación de una recta. Aunque no es tan directa para graficar como la forma principal, tiene sus propias ventajas, como veremos más adelante.

¿Cómo podemos pasar de la forma principal a la forma general? Veamos los pasos:

  1. Partimos de la forma principal: \[y = mx + n\]
  2. Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 'b' (para eliminar el denominador en caso de que 'm' sea una fracción): \[by = b(mx + n)\]
  3. Distribuimos 'b' en el lado derecho: \[by = bmx + bn\]
  4. Movemos el término 'bmx' al lado izquierdo cambiando su signo: \[-bmx + by = bn\]
  5. Ahora, podemos identificar: a = -bm, b = b, y c = bn. Por simplicidad, podemos renombrar -bm como 'a', y bn como 'c', llegando a la forma general: \[ax + by = c\]

Ejemplo:

Supongamos que tenemos la ecuación en forma principal: \[y = 2x + 3\].

Siguiendo los pasos anteriores:

  1. \[y = 2x + 3\]
  2. En este caso, no hay denominadores, así que podemos pasar directamente al siguiente paso.
  3. \[y = 2x + 3\]
  4. Movemos '2x' al lado izquierdo: \[-2x + y = 3\]
  5. Aquí, a = -2, b = 1, y c = 3.

Por lo tanto, la forma general de la ecuación es: \[-2x + y = 3\].

De la Forma ax + by = c a la Forma Principal

También podemos realizar el proceso inverso y pasar de la forma general a la forma principal. Para ello, simplemente despejamos 'y' de la ecuación:

  1. Partimos de la forma general: \[ax + by = c\]
  2. Restamos 'ax' en ambos lados: \[by = -ax + c\]
  3. Dividimos ambos lados entre 'b' (suponiendo que b ≠ 0): \[y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}\]

Ahora podemos identificar la pendiente \[m = -\frac{a}{b}\] y la intersección con el eje y \[n = \frac{c}{b}\].

Ejemplo:

Consideremos la ecuación en forma general: \[4x - 2y = 8\].

Siguiendo los pasos para despejar 'y':

  1. \[4x - 2y = 8\]
  2. Restamos 4x: \[-2y = -4x + 8\]
  3. Dividimos entre -2: \[y = 2x - 4\]

Ahora podemos ver que la pendiente es m = 2 y la intersección con el eje y es n = -4.

Ejercicios

Nivel Básico (Enteros)

  1. Convierte la ecuación \[y = -3x + 5\] a la forma general \[ax + by = c\].

  2. Convierte la ecuación \[2x + 4y = 8\] a la forma principal \[y = mx + n\] y luego grafica la recta.

  3. Dada la ecuación \[y = \frac{2}{3}x - 1\], encuentra los valores de 'a', 'b' y 'c' en la forma general y luego grafica la recta.

Nivel Intermedio (Racionales)

  1. Convierte la ecuación \[y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{4}\] a la forma general \[ax + by = c\].

  2. Convierte la ecuación \[\frac{2}{5}x - \frac{1}{3}y = 2\] a la forma principal \[y = mx + n\] y luego grafica la recta.

Nivel Avanzado (Factores Literales)

  1. Expresa la ecuación \[y = mx + n\] en la forma general \[ax + by = c\], donde 'a', 'b' y 'c' están en términos de 'm' y 'n'.

  2. Expresa la ecuación \[\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1\] en la forma principal \[y = mx + n\], donde 'm' y 'n' están en términos de 'p' y 'q'.