CAPITULO 7 funciones de R^2 en R: f(x,y)=z
3. El Poder de 'c': Creando Tablas y Gráficos Dinámicos
El Poder de \(c\): Creando Tablas y Gráficos Dinámicos
Idea inicial
En la ecuación \[ ax+by=c, \] el valor de \(c\) tiene un efecto especial en la gráfica de la recta.
Si mantenemos \(a\) y \(b\) fijos, y cambiamos solo \(c\), se genera una familia de rectas paralelas. Cada recta representa un nivel diferente.
Relación entre \(c\) y la posición de la recta
Si \(b\neq 0\), podemos despejar \(y\):
\[ ax+by=c \]
\[ by=-ax+c \]
\[ y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b} \]
La pendiente es:
\[ m=-\frac{a}{b} \]
Como \(a\) y \(b\) se mantienen constantes, la pendiente no cambia. Lo que cambia es la intersección con el eje \(y\):
\[ n=\frac{c}{b} \]
Ejemplo inicial con enteros
Consideremos la familia:
\[ 2x+y=c \]
Despejamos \(y\):
\[ y=-2x+c \]
Si \(c=-2\), \(c=0\) y \(c=2\), se obtienen:
- \(y=-2x-2\)
- \(y=-2x\)
- \(y=-2x+2\)
Las tres rectas tienen la misma pendiente, \(m=-2\). Por eso son paralelas.
Conclusión: cambiar \(c\) mueve la recta, pero no cambia su inclinación.
Experimenta con el gráfico
Familia de rectas para \(a=-1{,}2\) y \(b=4\)
En el siguiente gráfico se muestran varias rectas de la forma:
\[ -1{,}2x+4y=c \]
Observa que, al cambiar \(c\), todas las rectas conservan la misma pendiente.
Instrucciones
- Observa las rectas representadas para distintos valores de \(c\).
- Compara sus inclinaciones.
- Fíjate en cómo cambia el punto donde cada recta corta al eje \(y\).
- Comprueba que todas las rectas son paralelas.
¿Qué observas?
Interpretación
Al variar \(c\), se generan rectas paralelas. Todas tienen la misma pendiente, porque la pendiente depende de \(a\) y \(b\), no de \(c\).
En la ecuación:
\[ -1{,}2x+4y=c \]
al despejar \(y\), se obtiene:
\[ y=0{,}3x+\frac{c}{4} \]
Entonces, la pendiente siempre es \(0{,}3\), pero la intersección con el eje \(y\) cambia según el valor de \(\frac{c}{4}\).
Atención
Aumentar \(c\) no siempre significa que la recta sube en todos los casos. Depende del signo de \(b\), porque la intersección con el eje \(y\) es:
\[ n=\frac{c}{b} \]
Si \(b>0\), al aumentar \(c\), aumenta \(n\). Si \(b<0\), al aumentar \(c\), disminuye \(n\).
Tabla de Valores
Actividad: completa la tabla
Para comprender mejor la relación entre \(c\) y la posición de la recta, completa la siguiente tabla. Usa la ecuación \[ -1{,}2x+4y=c \] y encuentra dos puntos que pertenezcan a la recta para cada valor de \(c\).
| \(c\) | \(x_1\) | \(y_1\) | \(x_2\) | \(y_2\) |
|---|---|---|---|---|
| \(1\) | ||||
| \(3\) | ||||
| \(5\) | ||||
| \(7\) | ||||
| \(9\) |
Primero despejamos \(y\):
\[ -1{,}2x+4y=c \]
\[ 4y=1{,}2x+c \]
\[ y=0{,}3x+\frac{c}{4} \]
Una forma simple de completar la tabla es elegir \(x_1=0\) y \(x_2=4\).
Si \(x=0\), entonces:
\[ y=\frac{c}{4} \]
Si \(x=4\), entonces:
\[ y=0{,}3(4)+\frac{c}{4}=1{,}2+\frac{c}{4} \]
| \(c\) | \(x_1\) | \(y_1\) | \(x_2\) | \(y_2\) |
|---|---|---|---|---|
| \(1\) | \(0\) | \(0{,}25\) | \(4\) | \(1{,}45\) |
| \(3\) | \(0\) | \(0{,}75\) | \(4\) | \(1{,}95\) |
| \(5\) | \(0\) | \(1{,}25\) | \(4\) | \(2{,}45\) |
| \(7\) | \(0\) | \(1{,}75\) | \(4\) | \(2{,}95\) |
| \(9\) | \(0\) | \(2{,}25\) | \(4\) | \(3{,}45\) |
Importante: esta no es la única tabla posible. Cada recta tiene infinitos puntos, por lo que podrían elegirse otros valores de \(x\).
Ejercicios
Nivel Básico
Ejercicio 1
Considera la ecuación \[ 2x+y=c. \] Grafica la recta para \(c=-2\), \(c=0\) y \(c=2\). ¿Qué observas?
Despejamos \(y\):
\[ 2x+y=c \]
\[ y=-2x+c \]
La pendiente siempre es \(m=-2\), por lo tanto las rectas son paralelas.
Para \(c=-2\):
\[ 2x+y=-2 \]
Dos puntos son \((0,-2)\) y \((-1,0)\), porque:
\[ 2(0)+(-2)=-2 \]
\[ 2(-1)+0=-2 \]
Para \(c=0\):
\[ 2x+y=0 \]
Dos puntos son \((0,0)\) y \((1,-2)\).
Para \(c=2\):
\[ 2x+y=2 \]
Dos puntos son \((0,2)\) y \((1,0)\).
Conclusión: las tres rectas son paralelas. Al aumentar \(c\), la intersección con el eje \(y\) aumenta.
Ejercicio 2
Considera la ecuación \[ -3x+2y=c. \] Grafica la recta para \(c=-3\), \(c=0\) y \(c=3\). ¿Qué observas?
Despejamos \(y\):
\[ -3x+2y=c \]
\[ 2y=3x+c \]
\[ y=\frac{3}{2}x+\frac{c}{2} \]
La pendiente siempre es \(m=\frac{3}{2}\), por lo tanto las rectas son paralelas.
Para \(c=-3\):
\[ -3x+2y=-3 \]
Dos puntos son \((1,0)\) y \((-1,-3)\).
Para \(c=0\):
\[ -3x+2y=0 \]
Dos puntos son \((0,0)\) y \((2,3)\).
Para \(c=3\):
\[ -3x+2y=3 \]
Dos puntos son \((1,3)\) y \((-1,0)\).
Conclusión: las tres rectas son paralelas. Al aumentar \(c\), la intersección con el eje \(y\) aumenta, porque \(n=\frac{c}{2}\).
Nivel Intermedio
Ejercicio 3
Considera la ecuación \[ \frac{1}{2}x+y=c. \] Grafica la recta para \(c=-1\), \(c=0{,}5\) y \(c=2\). Describe el patrón que observas.
Despejamos \(y\):
\[ \frac{1}{2}x+y=c \]
\[ y=-\frac{1}{2}x+c \]
La pendiente siempre es \(m=-\frac{1}{2}\), por lo tanto las rectas son paralelas.
Para \(c=-1\):
\[ \frac{1}{2}x+y=-1 \]
Dos puntos son \((0,-1)\) y \((-2,0)\).
Para \(c=0{,}5\):
\[ \frac{1}{2}x+y=0{,}5 \]
Dos puntos son \((0,0{,}5)\) y \((1,0)\).
Para \(c=2\):
\[ \frac{1}{2}x+y=2 \]
Dos puntos son \((0,2)\) y \((4,0)\).
Conclusión: al aumentar \(c\), la recta se desplaza hacia arriba, manteniendo la misma inclinación.
Ejercicio 4
Considera la ecuación \[ x-\frac{2}{3}y=c. \] Grafica la recta para \(c=-2\), \(c=0\) y \(c=2\). Describe el patrón que observas.
Despejamos \(y\):
\[ x-\frac{2}{3}y=c \]
Restamos \(x\) en ambos lados:
\[ -\frac{2}{3}y=c-x \]
Multiplicamos por \(-\frac{3}{2}\):
\[ y=\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}c \]
La pendiente siempre es \(m=\frac{3}{2}\), por lo tanto las rectas son paralelas.
Para \(c=-2\):
\[ x-\frac{2}{3}y=-2 \]
Dos puntos son \((0,3)\) y \((-2,0)\).
Para \(c=0\):
\[ x-\frac{2}{3}y=0 \]
Dos puntos son \((0,0)\) y \((2,3)\).
Para \(c=2\):
\[ x-\frac{2}{3}y=2 \]
Dos puntos son \((0,-3)\) y \((2,0)\).
Conclusión: al aumentar \(c\), la recta se desplaza paralelamente. En este caso, la intersección con el eje \(y\) disminuye, porque \(n=-\frac{3}{2}c\).
Desafío
Ejercicio 5
Considera la ecuación \[ ax+by=c. \] Manteniendo \(a\) y \(b\) constantes, ¿qué efecto tiene aumentar el valor de \(c\) en la gráfica de la recta?
Si \(b\neq 0\), despejamos \(y\):
\[ ax+by=c \]
\[ by=-ax+c \]
\[ y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b} \]
La pendiente es:
\[ m=-\frac{a}{b} \]
Como \(a\) y \(b\) se mantienen constantes, la pendiente no cambia.
El valor que sí cambia es:
\[ n=\frac{c}{b} \]
Por lo tanto, al aumentar \(c\), la recta se desplaza paralelamente a sí misma. Si \(b>0\), su intersección con el eje \(y\) aumenta; si \(b<0\), su intersección con el eje \(y\) disminuye.
Conclusión: cambiar \(c\) no cambia la inclinación de la recta, solo cambia su posición.
Ejercicio 6
¿Para qué valor de \(c\) la recta \[ ax+by=c \] pasa por el origen?
El origen es el punto \((0,0)\).
Para que la recta pase por el origen, el punto \((0,0)\) debe satisfacer la ecuación:
\[ ax+by=c \]
Reemplazamos \(x=0\) e \(y=0\):
\[ a(0)+b(0)=c \]
\[ 0=c \]
Por lo tanto:
\[ c=0 \]
Resultado: la recta pasa por el origen cuando \(c=0\).