CAPITULO 7 funciones de R^2 en R: f(x,y)=z
7. Relaciones Lineales en Acción: Ejemplos del Mundo Real (Parte 2)
Relaciones Lineales en Acción: Ejemplos del Mundo Real (Parte 2)
Idea inicial
En la página anterior exploramos cómo las funciones lineales en dos variables permiten modelar distintos fenómenos. Ahora profundizaremos en la interpretación de los parámetros \(a\), \(b\) y \(c\) en una expresión de la forma:
\[ f(x,y)=ax+by+c \]
En este tipo de modelo, \(a\) y \(b\) indican cómo cambia el valor de la función al variar \(x\) o \(y\), mientras que \(c\) representa el valor inicial cuando \(x=0\) e \(y=0\).
Modelos simplificados
Los ejemplos de esta página usan modelos lineales simples. En la realidad, fenómenos como olas, temperatura o capas de roca pueden ser más complejos, pero estos modelos sirven para comprender la idea matemática principal.
Ejemplo 1: Propagación de Ondas en el Mar
Modelo de altura de una ola
Imagina una ola observada en una zona pequeña del mar. En un modelo simplificado, la altura de la ola en un punto puede representarse mediante una función lineal:
\[ H(x,y)=ax+by+c \]
donde:
- \(H(x,y)\) es la altura de la ola en el punto \((x,y)\).
- \(x\) es la distancia medida en una dirección de referencia.
- \(y\) es la distancia medida en una dirección perpendicular.
- \(a\) indica cuánto cambia la altura cuando aumenta \(x\), manteniendo \(y\) constante.
- \(b\) indica cuánto cambia la altura cuando aumenta \(y\), manteniendo \(x\) constante.
- \(c\) puede representar la altura inicial o nivel de referencia cuando \(x=0\) e \(y=0\).
Si \(b=0\), la altura solo depende de \(x\). Si \(a=0\), la altura solo depende de \(y\).
Pregunta del ejemplo 1
Si la función que describe la altura de una ola es \[ H(x,y)=0{,}5x+0{,}2y, \] ¿cómo interpretarías los valores de \(a\) y \(b\)?
Comparamos la función dada con la forma:
\[ H(x,y)=ax+by+c \]
En este caso:
\[ a=0{,}5,\qquad b=0{,}2,\qquad c=0 \]
El valor \(a=0{,}5\) indica que, por cada unidad que aumenta \(x\), la altura aumenta en \(0{,}5\) unidades, si \(y\) se mantiene constante.
El valor \(b=0{,}2\) indica que, por cada unidad que aumenta \(y\), la altura aumenta en \(0{,}2\) unidades, si \(x\) se mantiene constante.
Como \(0{,}5>0{,}2\), la altura cambia más rápidamente en la dirección asociada a \(x\).
Ejemplo 2: Formación de Capas de Rocas
Modelo de espesor de una capa rocosa
En geología, el espesor de una capa de roca en un punto determinado puede modelarse, de manera simplificada, mediante una función lineal:
\[ E(x,y)=ax+by+c \]
donde:
- \(E(x,y)\) es el espesor de la capa en el punto \((x,y)\).
- \(x\) es una distancia horizontal medida desde una referencia.
- \(y\) es una distancia perpendicular a esa referencia.
- \(a\) indica cuánto cambia el espesor cuando aumenta \(x\), manteniendo \(y\) constante.
- \(b\) indica cuánto cambia el espesor cuando aumenta \(y\), manteniendo \(x\) constante.
- \(c\) representa el espesor inicial en el punto \((0,0)\).
Pregunta del ejemplo 2
Si la función que describe el espesor de una capa de roca es \[ E(x,y)=-0{,}1x+0{,}05y+2, \] ¿cómo interpretarías los valores de \(a\), \(b\) y \(c\)?
Comparamos con:
\[ E(x,y)=ax+by+c \]
Entonces:
\[ a=-0{,}1,\qquad b=0{,}05,\qquad c=2 \]
El valor \(a=-0{,}1\) indica que, por cada unidad que aumenta \(x\), el espesor disminuye en \(0{,}1\) unidades, manteniendo \(y\) constante.
El valor \(b=0{,}05\) indica que, por cada unidad que aumenta \(y\), el espesor aumenta en \(0{,}05\) unidades, manteniendo \(x\) constante.
El valor \(c=2\) indica que el espesor en el punto de referencia \((0,0)\) es \(2\) unidades.
Ejemplo gráfico: líneas de igual altura de ola
Para el modelo:
\[ H(x,y)=0{,}5x+0{,}2y \]
una línea de nivel se obtiene cuando la altura \(H\) se mantiene constante. Por ejemplo, si \(H=4\), se cumple:
\[ 0{,}5x+0{,}2y=4. \]
El gráfico muestra varias líneas de igual altura.
Las rectas son paralelas porque el modelo mantiene los mismos coeficientes \(0{,}5\) y \(0{,}2\). Al cambiar el valor de \(H\), cambia la posición de la recta.
Ejercicio gráfico: interpretar una línea de nivel
En el modelo \(H(x,y)=0{,}5x+0{,}2y\), verifica si los puntos \((4,10)\) y \((0,20)\) están en la misma línea de nivel. Interpreta el resultado.
Calculamos la altura en \((4,10)\):
\[ H(4,10)=0{,}5(4)+0{,}2(10)=2+2=4. \]
Calculamos la altura en \((0,20)\):
\[ H(0,20)=0{,}5(0)+0{,}2(20)=0+4=4. \]
Ambos puntos tienen altura \(4\), por lo tanto pertenecen a la misma línea de nivel.
Interpretación: aunque los puntos están en lugares distintos del plano, el modelo les asigna la misma altura de ola.
Ejercicios
Modelo de referencia
En los siguientes ejercicios considera la función:
\[ f(x,y)=ax+by+c \]
Nivel Básico
Ejercicio 1
Si \(a=0\), ¿cómo se interpreta la función \(f(x,y)\)? ¿De qué variable depende?
Si \(a=0\), la función queda:
\[ f(x,y)=by+c \]
Esto significa que el valor de la función no depende de \(x\), sino solo de \(y\).
Por ejemplo, si dos puntos tienen el mismo valor de \(y\), tendrán el mismo valor de \(f(x,y)\), aunque sus valores de \(x\) sean distintos.
Resultado: si \(a=0\), la función depende solo de \(y\).
Ejercicio 2
Si \(b=0\), ¿cómo se interpreta la función \(f(x,y)\)? ¿De qué variable depende?
Si \(b=0\), la función queda:
\[ f(x,y)=ax+c \]
Esto significa que el valor de la función no depende de \(y\), sino solo de \(x\).
Por ejemplo, si dos puntos tienen el mismo valor de \(x\), tendrán el mismo valor de \(f(x,y)\), aunque sus valores de \(y\) sean distintos.
Resultado: si \(b=0\), la función depende solo de \(x\).
Nivel Intermedio
Ejercicio 3
Si \(a\) y \(b\) son ambos positivos, ¿qué ocurre con el valor de \(f(x,y)\) cuando aumentan \(x\) e \(y\)?
Si \(a>0\) y \(b>0\), entonces:
\[ f(x,y)=ax+by+c \]
aumenta cuando \(x\) aumenta, porque \(ax\) aumenta.
También aumenta cuando \(y\) aumenta, porque \(by\) aumenta.
Por lo tanto, si aumentan \(x\) e \(y\), el valor de la función también aumenta.
Resultado: cuando \(a\) y \(b\) son positivos, la función crece al aumentar ambas variables.
Ejercicio 4
Si \[ f(x,y)=3x+2y+5, \] ¿cuál es el valor de \(f(2,4)\)?
Reemplazamos \(x=2\) e \(y=4\) en la función:
\[ f(2,4)=3(2)+2(4)+5 \]
Calculamos:
\[ f(2,4)=6+8+5 \]
\[ f(2,4)=19 \]
Resultado: \(f(2,4)=19\).
Ejercicio 5
¿Qué se puede decir sobre las líneas de nivel de \(f(x,y)\) cuando solo cambia el valor de \(c\), manteniendo fijos \(a\) y \(b\)?
Una línea de nivel se obtiene al fijar:
\[ f(x,y)=k \]
Como:
\[ f(x,y)=ax+by+c, \]
entonces:
\[ ax+by+c=k \]
\[ ax+by=k-c \]
Si \(a\) y \(b\) se mantienen constantes, la pendiente de las líneas de nivel no cambia.
Resultado: cuando solo cambia \(c\), las líneas de nivel se desplazan paralelamente sin cambiar su inclinación.
Desafío
Ejercicio 6
Si \(a\) es positivo y \(b\) es negativo, ¿se puede saber solo mirando los cuadrantes dónde la función \[ f(x,y)=ax+by+c \] tomará valores positivos?
Si \(a>0\) y \(b<0\), entonces la función será positiva cuando:
\[ ax+by+c>0 \]
Esta desigualdad depende de los valores de \(a\), \(b\), \(c\), \(x\) e \(y\).
Por eso no basta con mirar solo el cuadrante donde está el punto.
La frontera entre valores positivos y negativos es la recta:
\[ ax+by+c=0 \]
A un lado de esa recta se cumple \(f(x,y)>0\), y al otro lado se cumple \(f(x,y)<0\).
Conclusión: la zona positiva es un semiplano determinado por la desigualdad \(ax+by+c>0\), no necesariamente un cuadrante completo.
Ejercicio 7
Si se sabe que \(f(x,y)\) representa la temperatura en un punto \((x,y)\) de una placa, y que \[ f(x,y)=2x-3y+5, \] ¿qué cambio produce avanzar \(1\) unidad en \(x\)? ¿Qué cambio produce avanzar \(1\) unidad en \(y\)?
Comparamos:
\[ f(x,y)=2x-3y+5 \]
con:
\[ f(x,y)=ax+by+c \]
Entonces:
\[ a=2,\qquad b=-3,\qquad c=5 \]
El valor \(a=2\) indica que, si \(x\) aumenta en \(1\) unidad y \(y\) se mantiene constante, la temperatura aumenta en \(2\) unidades.
El valor \(b=-3\) indica que, si \(y\) aumenta en \(1\) unidad y \(x\) se mantiene constante, la temperatura disminuye en \(3\) unidades.
Resultado: avanzar \(1\) unidad en \(x\) aumenta la temperatura en \(2\); avanzar \(1\) unidad en \(y\) disminuye la temperatura en \(3\).