CAPITULO 7 funciones de R^2 en R: f(x,y)=z
8. Dominando las Relaciones Lineales: Ejercicios y Herramientas
Dominando las Relaciones Lineales: Ejercicios y Herramientas
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Has llegado a la última página de esta serie. Aquí encontrarás ejercicios de repaso para poner a prueba tus conocimientos sobre relaciones lineales.
Ejercicios de Repaso
Conceptos clave
- La ecuación de una recta en su forma \(ax+by=c\).
- La pendiente de la recta: \[ m=-\frac{a}{b} \] cuando \(b\neq 0\).
- El significado de \(a\), \(b\) y \(c\) en distintos contextos.
- Cómo graficar rectas a partir de su ecuación.
- Cómo interpretar líneas de nivel y su relación con la pendiente.
- Cómo modelar fenómenos simples con funciones lineales de dos variables.
Nivel Básico
Ejercicio 1
Dada la ecuación \[ 3x-2y=6, \] encuentra la pendiente y la intersección con el eje \(y\). Luego, indica dos puntos que permitan graficar la recta.
Identificamos los coeficientes:
\[ a=3,\qquad b=-2,\qquad c=6 \]
La pendiente es:
\[ m=-\frac{a}{b} \]
Reemplazamos:
\[ m=-\frac{3}{-2}=\frac{3}{2} \]
Para encontrar la intersección con el eje \(y\), usamos \(x=0\):
\[ 3(0)-2y=6 \]
\[ -2y=6 \]
\[ y=-3 \]
Entonces, la recta corta al eje \(y\) en:
\[ (0,-3) \]
Como la pendiente es \(\frac{3}{2}\), desde \((0,-3)\) avanzamos \(2\) unidades a la derecha y subimos \(3\) unidades:
\[ (2,0) \]
Resultado: la pendiente es \(\frac{3}{2}\), la intersección con el eje \(y\) es \((0,-3)\), y se puede graficar usando los puntos \((0,-3)\) y \((2,0)\).
Ejercicio 2
Dada la ecuación \[ 2x+y=4, \] escribe dos puntos de la recta e indica si asciende o desciende de izquierda a derecha.
Primero despejamos \(y\):
\[ 2x+y=4 \]
\[ y=-2x+4 \]
La pendiente es:
\[ m=-2 \]
Como la pendiente es negativa, la recta desciende de izquierda a derecha.
Para encontrar puntos, podemos elegir valores de \(x\).
Si \(x=0\):
\[ y=-2(0)+4=4 \]
Entonces, un punto es \((0,4)\).
Si \(x=2\):
\[ y=-2(2)+4=0 \]
Entonces, otro punto es \((2,0)\).
Resultado: dos puntos de la recta son \((0,4)\) y \((2,0)\). La recta desciende de izquierda a derecha.
Ejercicio 3
Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos \((2,1)\) y \((4,5)\) en la forma \[ ax+by=c. \]
Primero calculamos la pendiente:
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \]
Reemplazamos los puntos \((2,1)\) y \((4,5)\):
\[ m=\frac{5-1}{4-2} \]
\[ m=\frac{4}{2}=2 \]
Usamos la forma punto-pendiente con el punto \((2,1)\):
\[ y-1=2(x-2) \]
Distribuimos:
\[ y-1=2x-4 \]
Sumamos \(1\) en ambos lados:
\[ y=2x-3 \]
Para llevarla a la forma \(ax+by=c\), movemos \(2x\) al lado izquierdo:
\[ -2x+y=-3 \]
Resultado: la ecuación es \[ -2x+y=-3. \]
Nivel Intermedio
Ejercicio 4
Un conjunto de líneas de nivel se describe mediante la ecuación \[ -2x+y=c. \] Si una de las líneas de nivel pasa por el punto \((3,4)\), ¿cuál es el valor de \(c\) para esa línea?
Como la línea pasa por el punto \((3,4)\), reemplazamos:
\[ x=3,\qquad y=4 \]
en la ecuación:
\[ -2x+y=c \]
Entonces:
\[ -2(3)+4=c \]
\[ -6+4=c \]
\[ -2=c \]
Resultado: el valor de \(c\) es \(-2\).
Ejercicio 5
La temperatura en una placa de metal está dada por la función \[ T(x,y)=10+3x-2y. \] Encuentra la ecuación de la línea de nivel que corresponde a una temperatura de \(20^\circ\text{C}\).
Una línea de nivel se obtiene fijando el valor de la función. En este caso:
\[ T(x,y)=20 \]
Reemplazamos en la función:
\[ 20=10+3x-2y \]
Restamos \(10\) en ambos lados:
\[ 10=3x-2y \]
Ordenamos:
\[ 3x-2y=10 \]
Resultado: la línea de nivel correspondiente a \(20^\circ\text{C}\) es \[ 3x-2y=10. \]
Ejercicio 6
Considera la familia de rectas \[ 2x-5y=c. \] ¿Cuál es la pendiente de todas las rectas de esta familia? ¿Son paralelas entre sí?
En una ecuación de la forma:
\[ ax+by=c, \]
la pendiente es:
\[ m=-\frac{a}{b} \]
Para la ecuación:
\[ 2x-5y=c \]
se tiene:
\[ a=2,\qquad b=-5 \]
Entonces:
\[ m=-\frac{2}{-5}=\frac{2}{5} \]
Como \(a\) y \(b\) se mantienen fijos, todas las rectas de la familia tienen la misma pendiente.
Resultado: todas las rectas tienen pendiente \(\frac{2}{5}\), por lo tanto son paralelas entre sí.
Desafío
Ejercicio 7
Considera la función \[ f(x,y)=ax+by, \] donde \(a\) y \(b\) son constantes. Si \(f(1,0)=2\) y \(f(0,1)=-3\), ¿cuáles son los valores de \(a\) y \(b\)?
Usamos la función:
\[ f(x,y)=ax+by \]
Primero, como \(f(1,0)=2\), reemplazamos \(x=1\) e \(y=0\):
\[ a(1)+b(0)=2 \]
\[ a=2 \]
Luego, como \(f(0,1)=-3\), reemplazamos \(x=0\) e \(y=1\):
\[ a(0)+b(1)=-3 \]
\[ b=-3 \]
Resultado:
\[ a=2,\qquad b=-3 \]
Ejercicio 8
Un haz de rectas paralelas está dado por la ecuación \[ 2x-5y=c. \] ¿Existe una recta de este haz que sea perpendicular a la recta \[ x+4y=7? \] Justifica tu respuesta.
Primero calculamos la pendiente de las rectas del haz:
\[ 2x-5y=c \]
Despejamos \(y\):
\[ -5y=-2x+c \]
Dividimos por \(-5\):
\[ y=\frac{2}{5}x-\frac{c}{5} \]
Entonces, todas las rectas del haz tienen pendiente:
\[ m_1=\frac{2}{5} \]
Ahora calculamos la pendiente de la recta:
\[ x+4y=7 \]
Despejamos \(y\):
\[ 4y=-x+7 \]
\[ y=-\frac{1}{4}x+\frac{7}{4} \]
Su pendiente es:
\[ m_2=-\frac{1}{4} \]
Para que dos rectas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser \(-1\):
\[ m_1\cdot m_2=-1 \]
Pero:
\[ \frac{2}{5}\cdot\left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{2}{20} = -\frac{1}{10} \]
Como \(-\frac{1}{10}\neq -1\), ninguna recta de ese haz es perpendicular a \(x+4y=7\).
Resultado: no existe una recta del haz \(2x-5y=c\) que sea perpendicular a la recta \(x+4y=7\).
Práctica gráfica final
Del cálculo al plano cartesiano
En estos ejercicios finales, no basta con calcular. La idea es conectar la ecuación con su representación gráfica: puntos, intersecciones, pendiente y líneas de nivel.
Ejercicio 9: relacionar rectas con ecuaciones
Observa el gráfico y relaciona cada recta con su ecuación.
Las ecuaciones son:
- \(y=-x+4\)
- \(y=\frac{1}{2}x+1\)
- \(y=2x-3\)
La recta descendente tiene pendiente negativa, por lo tanto corresponde a \(y=-x+4\).
Entre las dos rectas ascendentes, la más inclinada corresponde a \(y=2x-3\), porque su pendiente es \(2\).
La recta ascendente más suave corresponde a \(y=\frac{1}{2}x+1\).
Según la leyenda del gráfico:
- \(A: y=-x+4\)
- \(B: y=\frac{1}{2}x+1\)
- \(C: y=2x-3\)
Ejercicio 10: leer líneas de nivel
En el gráfico se representan líneas de nivel de la función \(f(x,y)=2x+y\).
Responde:
- ¿Qué línea representa mayor valor de \(f(x,y)\)?
- ¿Los puntos \((2,6)\) y \((4,2)\) están en la misma línea de nivel?
La línea de mayor valor es \(f=14\), porque representa todos los puntos donde \(2x+y=14\).
Verificamos los puntos:
\[ f(2,6)=2(2)+6=10 \]
\[ f(4,2)=2(4)+2=10 \]
Ambos puntos tienen el mismo valor, por lo tanto están en la línea de nivel \(f=10\).
Ejercicio 11: construir una recta desde dos puntos
Grafica mentalmente o en tu cuaderno la recta que pasa por \((0,2)\) y \((3,5)\). Luego encuentra su ecuación en la forma \(y=mx+n\).
Calculamos la pendiente:
\[ m=\frac{5-2}{3-0}=\frac{3}{3}=1. \]
Como la recta pasa por \((0,2)\), su intersección con el eje \(y\) es \(n=2\).
Entonces la ecuación es:
\[ y=x+2. \]
En el plano cartesiano, esto significa que la recta sube una unidad por cada unidad que avanza hacia la derecha.
Herramientas para Seguir Aprendiendo
Recursos útiles
- GeoGebra: herramienta para graficar funciones, rectas y explorar relaciones geométricas de manera dinámica.
- Khan Academy: plataforma con lecciones y ejercicios sobre álgebra, ecuaciones lineales y funciones.
- Wolfram Alpha: herramienta para verificar cálculos, resolver ecuaciones y explorar gráficos.
Cierre
Sigue practicando y explorando. Las relaciones lineales en dos variables aparecen en geometría, modelos de temperatura, costos, líneas de nivel y muchas otras situaciones.