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3. Homotecia - Página 3
Homotecia - Página 3: Construcción y Modelos Concretos
Introducción
En esta página, vamos a aprender a construir homotecias a mano, usando regla y compás. También veremos cómo algunos objetos y experimentos de la vida real, como la proyección de sombras, nos pueden ayudar a entender mejor este concepto. ¡Manos a la obra!
Modelos Concretos de Homotecia
Hay varios experimentos y objetos que nos ayudan a visualizar la homotecia, si todavia no logras comprender este fenomeno te invito a realizar alguno de estos experimentos:
- Proyección de sombras: Una lámpara o linterna actúa como el centro de homotecia. Un objeto (como un lápiz o un bloque) se coloca entre la lámpara y una pared (la "pantalla"). La sombra que se proyecta en la pared es una figura homotética del objeto. Si acercas el objeto a la lámpara, la sombra se agranda (el factor de homotecia aumenta). Si alejas el objeto de la lámpara, la sombra se reduce.
- Varillas y bloques (o cartón): Puedes usar varillas delgadas (como palillos de brocheta) para representar los "rayos" que salen del centro de homotecia (una linterna o un punto marcado en un papel). Coloca un bloque (o un trozo de cartón con una forma recortada) entre la fuente de luz y una superficie. Las varillas te ayudarán a visualizar cómo se proyectan los vértices del objeto y cómo se forma la sombra homotética.
- Cámara oscura: Una caja con un pequeño agujero. La luz entra por el orificio, y la imagen del exterior, invertida, se proyecta en la pared contraria.
Construcción Manual de una Homotecia (con Regla y Compás)
Para construir la imagen de una figura \(F\) después de aplicarle una homotecia con centro \(O\) y factor \(k\), sigue estos pasos:
- Elige un punto como centro \(O\). Puede estar dentro, fuera o sobre la figura.
- Traza líneas rectas. Desde el centro \(O\), traza una línea recta que pase por cada uno de los vértices (esquinas) de la figura \(F\). Estas líneas son como "rayos" que salen de \(O\).
- Mide y multiplica. Para cada vértice \(P\) de la figura original:
- Mide la distancia entre el centro \(O\) y el vértice \(P\) (la distancia \(OP\)).
- Multiplica esa distancia por el valor absoluto de \(k\) (\(|k|\)). Esto te dará la distancia a la que estará el nuevo punto \(P'\).
-
¿Dónde colocar \(P'\)?
- Si \(k\) es positivo, el nuevo punto \(P'\) estará en la *misma dirección* que \(P\) respecto a \(O\), sobre la línea que ya dibujaste.
- Si \(k\) es negativo, el nuevo punto \(P'\) estará en la *dirección opuesta* a \(P\) respecto a \(O\). Es decir, estará al otro lado de \(O\), pero sobre la misma línea.
- Marca el nuevo punto \(P'\) a la distancia calculada.
- Repite. Haz lo mismo con todos los demás vértices de la figura original.
- Une los puntos. Une los nuevos puntos (\(P'\), etc.) en el mismo orden en que estaban unidos los puntos originales. Así obtendrás la figura transformada \(F'\).
Consejo: Si usas un compás, puedes medir la distancia \(OP\) y luego "transportarla" a lo largo de la línea la cantidad de veces que indique \(|k|\). Si \(k\) es una fracción, como \(\frac{1}{2}\), divide la distancia \(OP\) en el número de partes que indica el denominador (en este caso, 2) y toma la cantidad de partes que indica el numerador (en este caso, 1).
Ejemplos
Ejemplo de Construcción:
Queremos construir la imagen de un triángulo \(ABC\) después de aplicarle una homotecia con centro \(O\) (un punto fuera del triángulo) y factor \(k = 1.5\).
- Dibujamos el triángulo \(ABC\) y el punto \(O\).
- Dibujamos líneas rectas desde \(O\) hasta cada uno de los vértices \(A\), \(B\) y \(C\).
- Medimos la distancia \(OA\). La multiplicamos por 1.5. Marcamos el punto \(A'\) sobre la línea \(OA\), a esa nueva distancia de \(O\).
- Repetimos el paso 3 para los puntos \(B\) y \(C\), obteniendo \(B'\) y \(C'\).
- Unimos los puntos \(A'\), \(B'\) y \(C'\) para formar el triángulo \(A'B'C'\), que es la imagen homotética de \(ABC\).
Práctica
¡A practicar!
Ejercicios de HomoteciaEjercicios Prácticos de Homotecia
Instrucciones: Utiliza regla y compás para realizar las construcciones. Describe los pasos y la figura resultante.
Ejercicios
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Triángulo simple, *k* > 1:
Dibuja un triángulo ABC con vértices en A, B y C. Elige un punto O fuera del triángulo. Construye la imagen homotética del triángulo ABC con centro O y factor de homotecia k = 2. Describe detalladamente los pasos, y describe como es la figura resultante en relacion a la original.
Solución (Pasos detallados):
- Dibujo el triángulo ABC y elijo un punto O fuera de él.
- Trazo una línea recta desde O hasta el vértice A.
- Con el compás, tomo la distancia OA.
- Manteniendo la abertura del compás, coloco la punta metálica en A y trazo un arco que corte la prolongación de la línea OA . El punto de intersección es A', que está a una distancia 2 * OA de O.
- Repito los pasos 2, 3 y 4 para los vértices B y C, obteniendo los puntos B' y C'.
- Uno los puntos A', B' y C' en el mismo orden en que estaban unidos los vértices originales (A, B, C). Así obtengo el cuadrilátero A'B'C', que es la imagen homotética de ABC.
La figura resultante A'B'C' es un triangulo, con la misma forma que el triangulo original, sus lados paralelos correspondientes son paralelos, y cada lado del nuevo triangulo mide el doble que el lado correspondiente del triangulo original. Ademas A'B'C' se encuentra en la misma direccion con respecto al centro O que el triangulo original.
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Cuadrilátero, *k* < -1:
Dibuja un cuadrilátero irregular ABCD. Elige un punto O fuera del cuadrilátero. Construye la imagen homotética de ABCD con centro O y factor k = -1.5. Describe como es la figura resultante en relacion a la original
Solución (Pasos):
- Dibujo el cuadrilatero ABCD y elijo un punto O fuera de él.
- Trazo una línea recta desde O hasta el punto A.
- Mido la distancia OA.
- Multiplico esa distancia por 1.5 (porque |k| = 1.5).
- Como k es negativo, marco el punto A' a la distancia 1.5 * OA de O, pero en el lado opuesto de O respecto a A, sobre la línea que ya tracé.
- Repito los pasos 2, 3, 4 y 5 para el punto B, C y D obteniendo el punto B',C' y D'.
- Uno los puntos A' , B', C' y D' para obtener el cuadrilatero A'B'C'D', que es la imagen homotética de ABCD.
La figura resultante es un cuadrilatero con la misma forma que ABCD, sus lados correspondientes son paralelos y, ademas sus lados miden 1.5 veces el tamaño de los lados del cuadrilatero original. Con respecto a la ubicacion relativa al centro de homotecia, la figura resultante esta al otro lado del centro de homotecia O.
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Triángulo, 0 < *k* < 1:
Dibuja un triángulo PQR. Elige un punto O dentro del triángulo. Construye la imagen homotética de PQR con centro O y factor k = 1/2. Describe como es la figura resultante en relacion a la original.
Solución (Pasos):
- Dibujo el triángulo PQR y elijo un punto O *dentro* del triángulo.
- Trazo líneas rectas desde O hasta cada uno de los vértices P, Q y R.
- Para cada vértice X:
- Mido la distancia OX con la regla.
- Divido esa distancia entre 2 (porque k = 1/2).
- Marco un punto X' sobre la línea OX, a la distancia OX/2 de O. Como O está dentro del triángulo, X' también estará dentro del triángulo, más cerca de O que de X.
- Uno los puntos P', Q' y R' para formar el triángulo P'Q'R', que es la imagen homotética de PQR.
El triangulo resultante es semejante al original, es decir, sus angulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales (paralelos) , en este caso cada lado del nuevo triangulo mide la mitad del original. Con respecto al centro de homotecia, ambos se encuentra del mismo lado, y la imagen homotetica se encuentra al interior del triangulo original.
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Pentágono, *k* = 1 (Caso especial):
Dibuja un pentágono irregular ABCDE. Elige un punto O cualquiera. Construye la imagen homotética con centro O y factor k = 1. ¿Qué observas?
Solución:
Si sigues los pasos de la construcción, notarás que cada punto imagen P' coincide exactamente con el punto original P. Esto se debe a que multiplicar cualquier distancia por 1 da como resultado la misma distancia. La figura homotética es *idéntica* a la original y está *superpuesta* a ella.
Observacion: Al aplicar una homotecia con k=1 la figura resultante es congruente con la original, y se encuentra superpuesta.
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Segmento, *k* negativo, centro en el segmento:
Dibuja un segmento de recta AB. Elige un punto O que esté sobre el segmento AB (entre A y B). Construye la imagen homotética del segmento AB con centro O y factor k = -2. Describe como es la figura resultante en relacion a la original.
Solución (Pasos):
- Dibujo el segmento AB y elijo un punto O sobre él.
- Trazo una línea recta que contiene al segmento desde O hasta el punto A. Como O esta sobre AB, extiendo la recta.
- Mido la distancia OA.
- Multiplico esa distancia por 2 (porque |k| = 2).
- Como k es negativo, marco el punto A' a la distancia 2 * OA de O, pero en el lado opuesto de O respecto a A, sobre la línea que ya tracé.
- Repito los pasos 2, 3, 4 y 5 para el punto B, obteniendo el punto B'.
- El segmento A'B', es la imagen homotética de AB.
La figura resultante es un segmento, colineal con el segmento original, pero de tamaño doble. Ademas, el punto O divide tambien al segmento resultante A'B' de la misma forma que divide al segmento AB.
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Triangulo Rectangulo con k fraccionario
Dibuja un triangulo rectangulo ABC, donde A es el vertice del angulo recto. Elije un punto O fuera del triangulo. Construye la imagen homotetica de ABC con centro O y factor k=2/3. Describe como es la figura resultante en relacion a la original.
Solución (Pasos):
- Dibujo el triangulo ABC y elijo un punto O fuera de él.
- Trazo una línea recta desde O hasta el vértice A.
- Con el compás, tomo la distancia OA.
- Manteniendo la abertura del compás, coloco la punta metálica en O y trazo un arco que corte la prolongación de la línea OA . El punto de intersección lo llamaremos P.
- Manteniendo la abertura del compás, coloco la punta metálica en P y trazo un arco que corte la prolongación de la línea OA . El punto de intersección lo llamaremos Q.
- Ahora, con el compas tomo la distancia de O hasta Q. Con esta abertura, corto la linea OA desde el punto O, obteniendo el punto A'.
- Repito los pasos 2 a 6 para los vertices B y C
- Uno los puntos A',B' y C'.
La figura resultante es un triangulo rectangulo, donde el vertice del angulo recto es A'. Sus lados son paralelos a los del triangulo original, y cada lado mide 2/3 del lado correspondiente del triangulo original.
Problemas
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Determinación del Centro (Triángulo):
Imagen: Dos triángulos, ABC y A'B'C', que son homotéticos. Las líneas AA', BB' y CC' deben ser claramente *no* paralelas, y deben concurrir en un punto O (que el estudiante debe encontrar). Los triángulos no deben ser congruentes. Se te dan dos triángulos, ABC y A'B'C', que se sabe que son homotéticos. Describe detalladamente cómo encontrarías el centro de homotecia O usando solo regla y compás. Además, explica cómo determinarías si el factor de homotecia k es positivo o negativo, y cómo estimarías su valor (sin necesidad de una medición precisa, solo una estimación razonable).
Solución:
Encontrar el centro de homotecia (O):
- Traza una línea recta que conecte un par de puntos correspondientes, por ejemplo, A y A'.
- Traza otra línea recta que conecte otro par de puntos correspondientes, por ejemplo, B y B'.
- El punto donde se intersecan estas dos líneas es el centro de homotecia, O.
- (Verificación) Traza la línea que conecta C y C'. Esta línea *debe* pasar también por O. Si no pasa por O, hay un error en la construcción o las figuras no son realmente homotéticas.
Determinar el signo y estimar el valor de k:
- Signo: Si A y A' están del *mismo lado* de O, entonces k es positivo. Si están en *lados opuestos* de O, entonces k es negativo.
- Valor (estimación):
- Si k es positivo: Compara visualmente la longitud de OA' con la longitud de OA. Si OA' parece ser el doble de largo que OA, entonces k es aproximadamente 2. Si OA' parece ser la mitad de OA, entonces k es aproximadamente 1/2. Usa esta comparación visual para estimar k.
- Si k es negativo: Haz lo mismo que en el caso positivo, pero compara las *magnitudes* de las distancias (ignorando la dirección). El valor de k será el negativo de tu estimación. Por ejemplo, si OA' parece ser tres veces OA, pero en dirección opuesta, entonces k es aproximadamente -3.
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Determinación del Centro (Cuadrilátero, *k* negativo):
Imagen: Dos cuadriláteros, ABCD y A'B'C'D', homotéticos. El centro O debe estar *entre* las dos figuras. Las líneas AA', BB', CC' y DD' deben concurrir en O. Se te dan dos cuadriláteros, ABCD y A'B'C'D', que son homotéticos, y se sabe que el factor de homotecia k es negativo. Describe cómo encontrarías el centro de homotecia O usando regla y compás.
Solución:
El procedimiento es el mismo que en el problema anterior, a pesar de que k sea negativo. La clave es que las líneas que conectan puntos correspondientes *siempre* concurren en el centro de homotecia, sin importar el signo de k.
- Traza una línea recta que conecte un par de puntos correspondientes, por ejemplo, A y A'.
- Traza otra línea recta que conecte otro par de puntos correspondientes, por ejemplo, B y B'.
- El punto donde se intersecan estas dos líneas es el centro de homotecia, O.
- (Verificación) Traza las lineas que unen los vertices correspondientes restantes. Todas deben pasar por O.
Como k es negativo, el centro O estará *entre* las dos figuras.
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Construccion y descripcion
Dibuja un hexagono irregular ABCDEF. Elije un punto O dentro del hexagono. Realiza 3 homotecias con centro en O, con factores k=1/3, k=1 y k=-2. Describe cada figura resultante en relacion a la original.
Solución:
Se debe aplicar el procedimiento de homotecia a cada vertice del hexagono, para cada uno de los factores k dados.k = 1/3:
- La figura resultante será un hexágono semejante al original (mismos ángulos, lados proporcionales).
- Cada lado del nuevo hexágono medirá 1/3 del lado correspondiente del hexágono original.
- El nuevo hexágono estará ubicado entre el centro O y el hexágono original.
- Todos los puntos correspondientes (vértices y cualquier punto dentro del hexágono) estarán alineados con el centro O.
k = 1:
- La figura resultante es identica al hexagono original, superpuesta a él.
k = -2:
- La figura resultante será un hexágono semejante al original.
- Cada lado del nuevo hexágono medirá el doble del lado correspondiente del hexágono original.
- El nuevo hexágono estará ubicado al otro lado del centro O, con respecto al hexágono original. Estará "invertido" con respecto a O.
- Todos los puntos correspondientes estarán alineados con el centro O, pero en direcciones opuestas desde O.