Homotecia - Página 7: Modelos a Escala

Introducción

Un modelo a escala representa un objeto real de modo semejante (aumentado o reducido). Por ejemplo, en maquetas, planos de arquitectura, mapas, etc.

Definición

La escala es la razón entre una medida en el modelo (maqueta, plano) y la medida correspondiente en el objeto real. Por ejemplo, 1:50 indica que 1 cm en el modelo equivale a 50 cm en la realidad.

Elementos Clave

• Factor de Reducción/Aumento (\(k\)): Si \(k>1\), es ampliación; si \(0, reducción.<="" li="">
• Áreas y Volúmenes: Se escalan con \(k^2\) y \(k^3\), respectivamente.

Ejemplos

Ejemplo 1: Una maqueta de un edificio a escala 1:100: 1 cm en la maqueta = 100 cm (1 m) en la realidad.

Ejemplo 2: Un mapa a escala 1:25.000: 1 cm en el mapa = 25.000 cm en el terreno = 250 m.

Práctica

Ahora, 10 ejercicios (3 conceptuales + 7 prácticos) y 4 problemas.

Ejercicios

1. (Conceptual) ¿Por qué los modelos a escala son un caso de homotecia con \(|k|<1\) (generalmente), y cómo se justifica que la forma se conserva?

   Solución: En la mayoría de casos, \(|k|<1\) pues se reduce. Se conserva la forma porque se multiplican todas las medidas lineales por el mismo factor, manteniendo los ángulos.

2. (Conceptual) Explica la relación “1:50” en un plano, indicando por qué se ve como un “factor de homotecia”.

   Solución: 1 cm en el plano equivale a 50 cm en la realidad. Es un factor de 1/50 si vas de la realidad al plano, y 50 si vas del plano a la realidad. La homotecia escalona todas las medidas lineales en esa razón.

3. (Conceptual) ¿Por qué se dice que las “leyendas” o “escalas gráficas” en un mapa también reflejan la idea de homotecia?

   Solución: Una barra dibujada (por ej. 1 cm = 100 km) es una forma visual de homotecia: cualquier distancia “x cm” en el mapa corresponde a “x*100 km” en la realidad.

4. (Práctica) Si la escala de un plano es 1:75, y en el plano un muro mide 4 cm, ¿cuál es la longitud real en metros?

   Solución: 4 cm * 75 = 300 cm = 3 m.

5. (Práctica) Una maqueta está hecha a escala 1:10. El edificio real mide 60 m de altura, ¿cuánto mide la maqueta?

   Solución: Primero pasa 60 m a 6000 cm, a escala 1:10 → 6000/10 = 600 cm = 6 m en la maqueta. (Ojo, es un “factor mayor a 1” si vas de la maqueta a la realidad, pero la escala se expresa 1:10 en el plano de la maqueta.)

6. (Práctica) Si tienes un auto de juguete con escala 1:25 que mide 20 cm de largo, halla la longitud del auto real.

   Solución: 20 cm * 25 = 500 cm = 5 m.

7. (Práctica) Explica por qué un “zoom digital” en una computadora también puede verse como homotecia en la pantalla.

   Solución: Todas las coordenadas (píxeles) se multiplican por un factor \(|k|\) que agranda o reduce la imagen, manteniendo la forma (proporcionalidad).

8. (Práctica) ¿Cómo obtienes la escala si conoces una medida del modelo y la medida real del objeto?

   Solución: Escala = (medida del modelo) : (medida real). Por ejemplo, si en el modelo son 2 cm y en la realidad 100 cm, es 1:50.

9. (Práctica) Describe la relación entre el factor lineal \(|k|\) y el factor de las áreas \(k^2\) en un plano arquitectónico.

   Solución: Si la escala es 1:n en longitud, las áreas reales se reducen en 1:n² en el plano. Por ejemplo, 1:100 hace que un área de 10000 cm² en plano represente 10000 × 100 = 1.000.000 cm² en la realidad.

10. (Práctica) Si un diseñador pasa de escala 1:100 a 1:50, ¿qué factor de ampliación está aplicando sobre el plano original?

    Solución: Se duplica cada dimensión. Pasar de 1:100 a 1:50 multiplica todas las medidas por 2.

Problemas

1. Un plano está a escala 1:200. Si un salón mide 4 cm en ese plano, ¿cuál es la medida real en metros?

   Solución: 4 cm * 200 = 800 cm = 8 m.

2. Necesitas dibujar un edificio de 25 m de alto en un plano donde 1 cm = 5 m. ¿Cuántos cm ocupará ese edificio en el papel?

   Solución: \(\frac{25 \text{ m}}{5 \text{ m/cm}}=5 \text{ cm}.\)

3. Diseña una actividad de clase para que los estudiantes construyan un “plano” de la sala de clases a escala 1:50.

   Solución (sugerencia): - Miden el largo y ancho reales con una huincha. - Convierten esas medidas a cm en el plano usando \(\frac{1}{50}\). - Dibujan puertas, ventanas, muebles, etc. manteniendo la escala.

4. Un diseñador de maquetas usa 1:25 para un auto que mide 5 m. Por algún error, la maqueta resultó de 18 cm. ¿Cuál debería haber sido la medida correcta? ¿En qué factor se equivocó?

   Solución: Debería ser \(5 \text{ m }=500 \text{ cm}\). Escala 1:25 \(\implies \frac{500}{25}=20\) cm. Construyó 18 cm en vez de 20. Se equivocó en un factor \(\frac{18}{20}=0.9\) (10% menos).