Homotecia - Página 8: Teorema de Euclides

Introducción

El Teorema de Euclides se refiere a la relación entre los catetos y sus proyecciones sobre la hipotenusa en un triángulo rectángulo. Se conecta con la homotecia y la semejanza de triángulos formados al trazar la altura sobre la hipotenusa.

Teorema de Euclides

En un triángulo rectángulo \(ABC\) con ángulo recto en \(C\), y altura desde \(C\) que intersecta \(\overline{AB}\) en \(D\), se tiene: \[ AC^2 = AD \cdot AB, \quad BC^2 = BD \cdot AB, \] y además \(\; AC^2 + BC^2 = AB^2\) (Pitágoras).

Elementos Clave

• Proyección: \(D\) es la proyección de \(C\) en \(\overline{AB}\).
• Semejanza: \(\triangle ABC\), \(\triangle ACD\), \(\triangle BCD\) comparten ángulos; la homotecia relaciona estos triángulos.

Ejemplos

Ejemplo 1: Un triángulo (3,4,5). Trazas la altura al lado de 5. Se cumple \(3^2 = AD \times 5\) y \(4^2=BD \times 5\).

Ejemplo 2: Triángulo rectángulo isósceles (45°-45°-90°). La altura parte la hipotenusa en dos partes iguales.

Práctica

Contamos con 10 ejercicios (3 conceptuales + 7 prácticos) y 4 problemas.

Ejercicios

1. (Conceptual) ¿Cómo se relaciona la homotecia con la demostración del Teorema de Euclides?

   Solución: Al trazar la altura, se forman triángulos semejantes (homotéticos). Las proporciones entre catetos e hipotenusa llevan a \(AC^2 = AD\cdot AB\) y \(BC^2=BD\cdot AB\).

2. (Conceptual) ¿Qué significa “la proyección de un cateto en la hipotenusa”?

   Solución: Es el segmento en la hipotenusa “directamente debajo” del cateto, es decir, la intersección de la perpendicular trazada desde el vértice del ángulo recto.

3. (Conceptual) ¿Por qué Euclides “engloba” también el Teorema de Pitágoras?

   Solución: Sumando las relaciones \(AC^2=AD\cdot AB\) y \(BC^2=BD\cdot AB\), se obtiene \(AC^2 + BC^2=(AD + BD)\cdot AB=AB^2.\)

4. (Práctica) Dibuja un triángulo rectángulo cualquiera. Traza la altura a la hipotenusa. Mide y comprueba \(AC^2 \approx AD \cdot AB\).

   Solución: - Identifica \(C\) como el ángulo recto, \(AB\) la hipotenusa. - Dibuja \(CD\) perpendicular a \(AB\). - Mide \(\overline{AC}\), \(\overline{AD}\), \(\overline{AB}\). - Verifica que \(\overline{AC}^2 \approx \overline{AD}\times \overline{AB}\) (pequeños errores por medición manual).

5. (Práctica) Explica la semejanza entre \(\triangle ABC\) y \(\triangle ACD\).

   Solución: Ambos comparten el ángulo en \(A\), y \(\angle ACB = 90^\circ\) corresponde a \(\angle ADC\) también recto. Tienen así dos ángulos iguales, luego son semejantes.

6. (Práctica) Considera un triángulo \((6,8,10)\). Traza la altura a la hipotenusa (10). ¿Cómo hallarías \(\overline{AD}\) y \(\overline{BD}\) de forma teórica?

   Solución: \(AC=6\implies AC^2=36=AD \cdot AB=AD\cdot 10\implies AD=3.6.\) \(BC=8\implies BC^2=64=BD\cdot 10\implies BD=6.4.\) Comprueba que \(AD+BD=10.\)

7. (Práctica) Dibuja un triángulo rectángulo isósceles \((45^\circ-45^\circ-90^\circ)\) y verifica que la altura parte la hipotenusa en dos partes iguales.

   Solución: Al medir, \(\overline{AD} = \overline{DB}\). También Euclides lo confirma: \(AC^2=AD\cdot AB\) y \(BC^2=BD\cdot AB\), pero \(AC=BC\), de ahí \(\overline{AD}=\overline{BD}\).

8. (Práctica) Explica por qué \(\triangle ACD\sim \triangle ABC\sim \triangle BCD\).

   Solución: Comparten ángulos: en cada uno hay un ángulo recto, y comparten otro ángulo con el triángulo grande. Dos ángulos iguales → triángulos semejantes.

9. (Práctica) ¿Cómo se relaciona Euclides con Pitágoras en forma de áreas?

   Solución: Por Euclides, sumando \(AC^2 = AD\cdot AB\) y \(BC^2=BD\cdot AB\), \(AC^2 + BC^2=(AD+BD)\cdot AB=AB^2\), que es Pitágoras.

10. (Práctica) Describe un método gráfico para “visualizar” Euclides en un triángulo usando polígonos en las proyecciones.

    Solución: Dibuja cuadrados sobre catetos y la hipotenusa, y usa las proyecciones. Observa que el área del cuadrado del cateto coincide con el rectángulo formado por la proyección y la hipotenusa, etc.

Problemas

1. Un triángulo rectángulo \((5,12,13)\). Encuentra la proyección de 5 y 12 sobre 13. Verifica que \(\overline{AD}+\overline{BD}=13\).

   Solución: \(AC=5\implies AC^2=25=AD\cdot 13\implies AD=\frac{25}{13}\approx 1.92.\) \(BC=12\implies BC^2=144=BD\cdot 13\implies BD=\frac{144}{13}\approx 11.08.\) Suma: \(\approx 13.\)

2. Verifica que en un triángulo rectángulo isósceles de cateto \(x\), la hipotenusa es \(x\sqrt{2}\) y cada proyección mide \(\frac{x\sqrt{2}}{2}\).

   Solución (síntesis): Hipotenusa = \(x\sqrt{2}\). Altura divide la hipotenusa en dos partes iguales, cada una \(\frac{x\sqrt{2}}{2}\). Se corrobora con Euclides y semejanza.

3. ¿Cómo demuestras pictóricamente (con un dibujo) que \(AC^2 = AD \cdot AB\) a partir de la semejanza de triángulos?

   Solución (guía): - Muestra \(\triangle ACD\sim \triangle ABC\). - Escribe \(\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC}\). - Despeja \(AC^2=AD\cdot AB\). - Ese es el corazón de Euclides.

4. Un triángulo rectángulo (9,12,15). Calcula \(\overline{AD}\) y \(\overline{BD}\). ¿Cuánto vale \(\overline{CD}\)? (Altura).

   Solución: \(AC=9\implies 9^2=81=AD \cdot 15\implies AD=5.4.\) \(BC=12\implies 12^2=144=BD \cdot 15\implies BD=9.6.\) Verificar \(5.4+9.6=15.\) La altura \(CD\) se halla con área: \(\frac{1}{2}(AB)(CD)=\frac{1}{2}(AC)(BC)\implies CD=\frac{9\cdot 12}{15}=7.2.\)