Homotecia - Página 9: Vectores y Homotecia

Introducción

La homotecia puede verse como una operación vectorial: \(\overrightarrow{OP'} = k \cdot \overrightarrow{OP}\). Si \(\vec{v}=(x,y)\), al multiplicarlo por \(k\) obtenemos \((kx, ky)\). Aquí estudiamos la conexión entre vectores y homotecia.

Conceptos de Vectores

• Magnitud: \(\|\vec{v}\|\) es su “longitud”.
• Dirección y Sentido: Dónde apunta el vector en el plano.
• Multiplicación por \(k\): Escala la magnitud y puede invertir el sentido si \(k<0\).

Elementos Clave

• Centro en el Origen: Asumimos \((0,0)\) como centro \(O\).
• Coordenadas: \(\vec{OP}=(x,y)\rightarrow \vec{OP'}=(kx,ky)\).

Ejemplos

Ejemplo 1: \(P=(2,3)\). Con \(k=2\), \(P'=(4,6)\). La magnitud se duplica, la dirección se mantiene.

Ejemplo 2: \(P=(1,4)\). Con \(k=-1\), \(P'=(-1,-4)\). La magnitud sigue \(\|\vec{v}\|\), pero se invierte el sentido.

Práctica

Incluimos 10 ejercicios (3 conceptuales, 7 prácticos) + 4 problemas.

Ejercicios

1. (Conceptual) ¿Por qué \(\overrightarrow{OP'} = k \cdot \overrightarrow{OP}\) expresa una homotecia con centro en \(O\)?

   Solución: Multiplicar un vector por \(k\) significa escalar la distancia a \(O\) por \(|k|\) y, si \(k<0\), invertir la dirección. Esto coincide con la definición de homotecia.

2. (Conceptual) Explica la diferencia entre “magnitud” y “dirección” de un vector.

   Solución: La magnitud es el “largo” numérico, la distancia. La dirección es la línea sobre la que se ubica y el “ángulo” en el plano. El sentido especifica hacia qué lado de la línea apunta.

3. (Conceptual) ¿Qué ocurre con un vector si \(k=0\)?

   Solución: El vector resultante es \((0,0)\), se “colapsa” en el origen. Es una “homotecia degenerada”.

4. (Práctica) Si \(\overrightarrow{OP}=(3,5)\) y \(k=2\), halla \(\overrightarrow{OP'}\). ¿Cuál será su magnitud?

   Solución: \(P'=(6,10)\). Magnitud previa: \(\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{9+25}= \sqrt{34}\). Nueva magnitud: \(\sqrt{6^2+10^2}= \sqrt{36+100}= \sqrt{136}=2\sqrt{34}\).

5. (Práctica) Dibuja \(\vec{v}=(2,2)\) en un eje cartesiano y su imagen \(\vec{v}'\) tras aplicar \(k=-1\).

   Solución: \(\vec{v}'=(-2,-2)\). Se dibujan flechas: “\(\vec{v}\)” en el primer cuadrante, “\(\vec{v}'\)” en el tercero, mismo largo, dirección opuesta.

6. (Práctica) ¿Cómo verificar que un factor negativo invierte el sentido del vector en términos de ángulos?

   Solución: Si \(\vec{v}\) forma un ángulo \(\theta\) con el eje, al multiplicar por -1 pasa a formar \(\theta + 180^\circ\). O sea, apunta en la dirección contraria.

7. (Práctica) Si \(\vec{v}=(4,3)\) y al aplicar homotecia obtengo \(\vec{v}'=(2,1.5)\), ¿qué factor se usó? Explica tu cálculo.

   Solución: Comparando componentes: \(2=4k \implies k=0.5\). También \(\;1.5=3(0.5)\). Factor \(k=0.5\).

8. (Práctica) Describe un ejemplo en que multiplicar un vector por \(k\) suponga agrandar su representación en el plano cartesiano.

   Solución: Si \(\vec{v}=(1,3)\) y lo multiplico por 4, obtengo (4,12). Pasa de longitud \(\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\) a \(\sqrt{4^2+12^2}=\sqrt{16+144}= \sqrt{160}=4\sqrt{10}\). Se ve claramente un “agrandamiento”.

9. (Práctica) Explica cómo se vería la homotecia vectorial en un software de dibujo cuando escalas toda una figura respecto del origen.

   Solución: Cada punto \((x,y)\) se convierte en \((kx,ky)\). Esto se ve como un “zoom” alrededor del (0,0). Si \(k<0\), la imagen se voltea atravesando el origen.

10. (Práctica) Menciona un contexto físico donde multiplicar un vector por un escalar sea interpretado como homotecia.

    Solución: Por ejemplo, escalas de fuerza o de velocidad. Si duplicas la magnitud de una fuerza (mismo ángulo), es una homotecia en el espacio vectorial de fuerzas.

Problemas

1. Si \(\overrightarrow{OP}=(2,5)\) y se aplica \(k=-3\), halla \(\overrightarrow{OP'}\). Interpreta el cambio de magnitud y dirección.

   Solución: \(P'=(-6,-15)\). La magnitud se triplica, la dirección se invierte (180° + el ángulo inicial).

2. Considera \(\vec{v}=(6,4)\). ¿Qué \(k\) hace que \(\vec{v}'=(9,6)\)? ¿Cuáles son las magnitudes de \(\vec{v}\) y \(\vec{v}'\)?

   Solución: \(9=6k \implies k=1.5\). \(\|\vec{v}\|=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{36+16}= \sqrt{52}.\) \(\|\vec{v}'\|= \sqrt{9^2+6^2}=\sqrt{81+36}= \sqrt{117}=\sqrt{52}\times 1.5.\)

3. Dibuja un polígono con vértices \((1,0)\), \((2,1)\), \((1,2)\). Aplica \(k=\frac{1}{2}\). Escribe las nuevas coordenadas y compáralas.

   Solución: \((0.5,0), (1,0.5), (0.5,1)\). Cada coordenada se redujo a la mitad, la figura se ve más cercana al origen y más pequeña.

4. Si un vector \(\vec{v}=(x,y)\) está en el primer cuadrante, ¿en qué cuadrante cae \(\vec{v}'\) si \(k<0\)? Pon un ejemplo numérico.

   Solución: Si \(x>0, y>0\), y \(k<0\), entonces \(kx<0, ky<0\). El vector cae en el tercer cuadrante. Ej: \((2,1)\) con \(k=-2 \to (-4,-2)\).