Homotecia - Página 10: Producto de un Vector por un Escalar

Introducción

El producto de un vector por un escalar (un número real) describe un escalamiento de su magnitud. Cuando el escalar es negativo, también hay inversión de sentido. Esta operación está en la base de la homotecia vectorial.

Definición

Dado un vector \(\vec{v}=(x,y)\) y un escalar real \(\alpha\), \(\alpha \vec{v} = (\alpha x, \alpha y)\). - \(|\alpha|>1\) alarga el vector. - \(0<|\alpha|<1\) lo acorta. - \(\alpha<0\) invierte el sentido.

Elementos Clave

• Magnitud resultante: \(\|\alpha \vec{v}\| = |\alpha|\cdot \|\vec{v}\|\).
• Dirección: Se mantiene si \(\alpha>0\), se invierte si \(\alpha<0\).

Ejemplos

Ejemplo 1: \(\alpha=2\), \(\vec{v}=(3,-1)\) \(\to 2\cdot (3,-1)=(6,-2)\). Se duplica la magnitud.

Ejemplo 2: \(\alpha=-\frac{1}{2}\), \(\vec{v}=(4,2)\) \(\to (-2,-1)\). Se reduce la longitud a la mitad y se invierte.

Práctica

Se incluyen 10 ejercicios (3 conceptuales + 7 prácticos) + 4 problemas.

Ejercicios

1. (Conceptual) ¿Por qué multiplicar un vector por un escalar \(\alpha\) es la misma idea que “aplicar una homotecia” en términos de vectores?

   Solución: Se está escalando la distancia desde el origen por \(|\alpha|\), con posible cambio de sentido si \(\alpha<0\). Eso coincide con la definición de homotecia (centro en el origen).

2. (Conceptual) Explica el efecto de \(\alpha=0\) en el vector.

   Solución: Se anula, convirtiéndose en \((0,0)\). Se “colapsa” en el origen sin dirección ni magnitud.

3. (Conceptual) ¿Por qué \(\alpha<0\) no solo cambia la longitud sino que invierte la dirección del vector?

   Solución: Multiplicar por un negativo hace que ambos componentes cambien de signo, apuntando 180° diferente en el plano.

4. (Práctica) Calcula \(\ 3\cdot (2,4)\). Indica la magnitud antes y después.

   Solución: \(\vec{v}=(2,4)\implies 3\cdot (2,4)=(6,12).\) \(\|\vec{v}\|= \sqrt{4+16}= \sqrt{20}.\) \(\|(6,12)\|= \sqrt{36+144}= \sqrt{180}= \sqrt{20}\times 3.\)

5. (Práctica) Si \(\alpha=-2\) y \(\vec{v}=(1,-3)\), halla \(\alpha\vec{v}\).

   Solución: \((-2)\cdot (1,-3)=(-2,6).\) Invertido (antes apuntaba con y<0, ahora y>0) y magnitud duplicada.

6. (Práctica) Menciona un ejemplo en que \(\alpha=\frac{1}{2}\). ¿Cómo interpretas eso geométricamente?

   Solución: Si \(\vec{v}=(6,2)\), \(\frac{1}{2}\vec{v}=(3,1)\). La longitud se reduce a la mitad, apuntando en la misma dirección.

7. (Práctica) Da un ejemplo donde \(0<\alpha<1\) y uno con \(|\alpha|>1\), ilustrando el cambio de magnitud.

   Solución: - \(\alpha=\frac{1}{3}\), \(\vec{v}=(3,0)\implies \vec{v}'=(1,0)\) (se reduce). - \(\alpha=2,\vec{v}=(3,2)\implies \vec{v}'=(6,4)\) (se duplica).

8. (Práctica) ¿Cómo comprobar que si \(\alpha\) es fraccionario, la magnitud se hace menor?

   Solución: \(\|\alpha\vec{v}\|=|\alpha|\|\vec{v}\|\). Si \(0<|\alpha|<1\), \(\|\alpha\vec{v}\|\) < \(\|\vec{v}\|\). Ejemplo: \(\alpha=\frac{1}{2}, \|\vec{v}\|=10\implies \|\alpha\vec{v}\|=5.\)

9. (Práctica) ¿Cómo representarías la operación \(\alpha \cdot \vec{v}\) en un diagrama geométrico?

   Solución: Dibuja la flecha \(\vec{v}\). Para \(\alpha>0\), alarga/acorta en la misma línea, multiplicando la longitud. Para \(\alpha<0\), la dibujas en la dirección opuesta. Magnitud = \(|\alpha|\|\vec{v}\|\).

10. (Práctica) Si \(\alpha\vec{v}=\vec{v}\), ¿qué significa geométricamente para \(\alpha\)?

    Solución: \(\alpha=1\). El vector no cambia ni en longitud ni en dirección, es la homotecia identidad (no hay transformación).

Problemas

1. Calcula \(\ 2.5\cdot(2,-2)\). ¿Qué pasa con la magnitud y la dirección?

   Solución: \(= (5, -5)\). Se multiplica el largo por 2.5; la dirección se mantiene (apunta donde \((2,-2)\) apuntaba) pues \(\alpha>0\).

2. Un vector \(\vec{v}=(x,y)\). ¿Qué \(\alpha\) hace que \(\alpha\vec{v}=(0.5x,\;0.5y)\)?

   Solución: \(\alpha=0.5\). Es la mitad. Se reduce la magnitud a la mitad.

3. Dibuja un triángulo con vértices representados por vectores \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\). Aplica \(\alpha=3\) a cada uno. ¿Cómo se ve la figura resultante?

   Solución: Multiplicas \(\vec{a}\to 3\vec{a}\), \(\vec{b}\to 3\vec{b}\), \(\vec{c}\to 3\vec{c}\). El triángulo se agranda al triple de distancia del origen, manteniendo la forma y ángulos.

4. Si \(\|\vec{v}\|=10\), y \(\alpha=-2\), ¿cuál es \(\|\alpha \vec{v}\|\)? ¿Cómo interpretas el resultado?

   Solución: \(\|\alpha \vec{v}\|=|-2|\times 10=20.\) Se duplica la magnitud y se invierte la dirección. El negativo no afecta el módulo, solo el sentido.