Homotecia - Página 11: Coordenadas de Vectores Transformados

Introducción

Cuando aplicamos una homotecia de factor \(k\) en el plano cartesiano con centro en el origen, todo punto \((x,y)\) pasa a \((kx,\; ky)\). Esta “regla” simplifica la construcción de figuras e imágenes transformadas.

Transformación en Coordenadas

Para \(P=(x,y)\) y la homotecia \(H_{O,k}\) con \(O=(0,0)\), tenemos \(P'=(kx,ky)\). Si \(k<0\), se añade la inversión de dirección respecto al origen.

Elementos Clave

• Figuras Completas: Basta transformar cada vértice para dibujar la imagen.
• Escala en Ejes: Multiplicar \(x,y\) por \(k\) es como un “zoom” isotrópico en el plano con centro (0,0).

Ejemplos

Ejemplo 1: Un cuadrado con vértices \((0,0)\), \((2,0)\), \((2,2)\), \((0,2)\). Si \(k=3\), los nuevos vértices son \((0,0)\), \((6,0)\), \((6,6)\), \((0,6)\).

Ejemplo 2: Un triángulo \((1,1), (2,1), (2,2)\). Con \(k=-1\), los vértices se vuelven \((-1,-1), (-2,-1), (-2,-2)\).

Práctica

Contamos con 10 ejercicios (3 conceptuales + 7 prácticos) y 4 problemas.

Ejercicios

1. (Conceptual) ¿Por qué aplicar \(H_{O,k}\) con \(O=(0,0)\) en un punto \((x,y)\) se reduce a \((kx,ky)\)?

   Solución: Porque \(\overrightarrow{OP'}=k\cdot \overrightarrow{OP}=(kx, ky)\), de acuerdo a la definición vectorial: \(\vec{v}=(x,y)\to(kx,ky)\).

2. (Conceptual) ¿Qué implica si \(k=0\) para todos los puntos \((x,y)\)?

   Solución: Todo se transforma en \((0,0)\). El plano “colapsa” en el origen.

3. (Conceptual) ¿Cómo distingues un “zoom en 2D” (homotecia) de un estiramiento “solo en x o solo en y”?

   Solución: Un zoom isotrópico multiplica ambos ejes por el mismo \(k\). Un estiramiento no uniforme podría ser \((x,y)\to(ax, by)\), con \(a\neq b\). Eso no es una homotecia pura.

4. (Práctica) Si \((x,y)\to (3x,3y)\), ¿qué factor de homotecia se aplica?

   Solución: \(k=3\). Se triplican las distancias al origen.

5. (Práctica) Dibuja el punto \((2,1)\) y su imagen con \(k=-2\). Escribe las coordenadas resultantes.

   Solución: \((2,1)\to(-4,-2)\). Se ve reflejado en el origen y multiplicado por 2 en magnitud.

6. (Práctica) Considera un rectángulo \((0,0), (4,0), (4,2), (0,2)\). Aplica \(k=0.5\). Escribe las nuevas coordenadas y describe el cambio.

   Solución: \((0,0)\to(0,0), (4,0)\to(2,0), (4,2)\to(2,1), (0,2)\to(0,1)\). Se reduce a la mitad, acercándose al origen.

7. (Práctica) Si en la gráfica una figura se “aleja” del origen, ¿qué puede decirse de \(|k|\)?

   Solución: \(|k|>1\). Se ha producido un agrandamiento en todas las direcciones con respecto al (0,0).

8. (Práctica) Si \((3,4)\) se transformó en \((1.5,2)\), deduce \(k\). Verifica con ambas coordenadas.

   Solución: \(1.5=3k\implies k=0.5.\) Verifica la segunda: \(2=4\times 0.5.\)

9. (Práctica) Describe cómo dibujar una figura homotética en un sistema de ejes si tienes las coordenadas de cada vértice.

   Solución: Para cada vértice \((x_i,y_i)\), calculas \((kx_i, ky_i)\). Unes los nuevos puntos en el mismo orden. Obtendrás la figura escalada (o invertida) respecto del origen.

10. (Práctica) Menciona un ejemplo donde el centro de homotecia no esté en (0,0). ¿Qué habría que hacer?

    Solución: Si el centro es \((x_0,y_0)\), primero trasladas el plano para que \((x_0,y_0)\) quede en el origen, aplicas la homotecia \((kx,ky)\), y luego regresas la traslación. No es solo multiplicar las coordenadas directamente.

Problemas

1. Un polígono con vértices \((0,0), (1,0), (1,2), (0,2)\) se homoteca con \(k=3\). Indica las nuevas coordenadas y describe el nuevo polígono.

   Solución: \((0,0)\to(0,0), (1,0)\to(3,0), (1,2)\to(3,6), (0,2)\to(0,6).\) Es un rectángulo 3 veces más ancho y 3 veces más alto, a 3 veces la distancia del origen.

2. Si \((2,5)\) pasó a \((4,10)\), halla \(k\). ¿Qué ocurre si un tercer punto \((3,5)\) se transformó en \((6,10)\)? ¿Refuerza la misma homotecia?

   Solución: De \((2,5)\) a \((4,10)\), \(4=2k\implies k=2, 10=5k\implies k=2.\) Luego \((3,5)\to(6,10)\) también sugiere \(k=2\). Confirma la misma homotecia.

3. Un triángulo \((1,0),(3,0),(3,2)\). Aplica \(k=-1\). Escribe las nuevas coordenadas. ¿Cómo se ve la figura?

   Solución: \((1,0)\to(-1,0), (3,0)\to(-3,0), (3,2)\to(-3,-2)\). El triángulo se refleja respecto al origen, manteniendo la forma y duplicando la posición en dirección opuesta (en este caso, factor -1 se conserva magnitud).

4. Describe un ejemplo donde \((x,y)\) se transforma en \((0.25x,\;0.25y)\). ¿Qué sucede si \((x,y)\) está en el cuadrante II, por ejemplo \((-4,2)\)?

   Solución: Esto es un factor \(k=0.25\). \((-4,2)\to(-1,0.5)\), se acerca más al origen, manteniendo la dirección (sigue en el cuadrante II), pero la magnitud se reduce a la cuarta parte.