Homotecia - Página 1: Introducción y Proporcionalidad

Introducción

La homotecia es una transformación geométrica que “amplía” o “reduce” figuras manteniendo su forma. Se define por un centro y un factor (\(k\)), y está asociada al concepto de proporcionalidad de segmentos.

Definición

Dada una homotecia \(H_{O,k}\), para cada punto \(P\) se define su imagen \(P'\) de modo que \(O, P, P'\) estén alineados y \(OP' = |k|\cdot OP\). Si \(k<0\), la figura se invierte con respecto al centro \(O\).

Elementos Clave

• Centro \(O\): Punto desde el cual “nace” la transformación.
• Factor \(k\): Escala las distancias; si \(|k|>1\), hay un agrandamiento; si \(|k|<1\), reducción.
• Conservación de Ángulos y Proporcionalidad: Los ángulos no cambian y las longitudes se multiplican por el mismo factor, conservando las razones entre segmentos.

Ejemplos

Ejemplo 1: Triángulo \(ABC\) con homotecia de centro \(O\) y factor \(k=2\). Cada lado se duplica.

Ejemplo 2: Si \(k=-\frac{1}{2}\), no solo se reduce a la mitad sino que también se “voltea” respecto de \(O\).

Práctica

En la siguiente sección encontrarás 10 ejercicios (los primeros 3 enfocados en conceptos y los siguientes 7 en la práctica concreta), más 4 problemas.

Ejercicios

1. (Conceptual) ¿En qué consiste el factor de homotecia? ¿Qué ocurre si es mayor que 1 o entre 0 y 1?

   Solución: El factor \(k\) indica cuánto se agranda o reduce la figura respecto del centro. Si \(|k|>1\), la figura se agranda; si \(0<|k|<1\), se reduce. Si \(k<0\), además se invierte la orientación.

2. (Conceptual) Explica por qué la homotecia conserva la forma de la figura original.

   Solución: Conserva los ángulos y la proporción entre los lados (todos se multiplican por la misma constante), por lo que la “forma” no cambia, solo el tamaño.

3. (Conceptual) ¿Qué significa que los puntos \(O, P, P'\) estén alineados en la definición de homotecia?

   Solución: Indica que \(P'\) se ubica en la prolongación del segmento \(OP\). Todo punto y su imagen se encuentran sobre la misma recta que pasa por el centro \(O\).

4. (Práctica) Dibuja (en tu cuaderno) un cuadrado de lado 2 cm. Aplica una homotecia de factor 3 y centro fuera de la figura. ¿Cuál es la medida del nuevo lado?

   Solución: El lado pasa a medir \(2 \times 3 = 6\) cm. El centro se ubica en cualquier punto, pero la distancia desde ese centro a cada vértice se triplica.

5. (Práctica) Menciona un objeto de la vida real que pueda verse como resultado de una homotecia con \(k>1\).

   Solución: Un proyector ampliando una imagen en la pared, o una lupa que agranda un objeto.

6. (Práctica) ¿Cómo construirías la imagen de un triángulo con factor \(\frac{1}{2}\) de forma manual (regla y compás)?

   Solución (pasos): - Elige centro \(O\). - Trazas semirrectas \(OA, OB, OC\). - Mides \(OA\) y llevas la mitad, obtienes \(A'\). - Repites con \(B, C\). - Unes \(A', B', C'\) para formar el triángulo reducido.

7. (Práctica) Si un punto \(P\) está a 5 cm de \(O\), y aplicas una homotecia con \(k=2\), ¿a qué distancia quedará \(P'\) de \(O\)?

   Solución: \(P'\) estará a \(5 \times 2 = 10\) cm de \(O\).

8. (Práctica) ¿Qué ocurre con una figura entera si \(\;k=0\;\)? Ilustra con un ejemplo simple.

   Solución: Todos los puntos “colapsan” en el centro \(O\). Por ejemplo, si un triángulo \(ABC\) tiene homotecia con \(k=0\), los puntos \(A', B', C'\) coinciden en \(O\).

9. (Práctica) Dibuja dos rectas cualesquiera que se corten en \(O\) y marca un punto \(P\) en una de ellas. Describe cómo encontrar el punto \(P'\) si se aplica un factor \(k=-2\).

   Solución: - Trazas el segmento \(OP\). - Mides \(OP\) y lo multiplicas por 2, pero en sentido opuesto (debido a \(k<0\)). - Marcas \(P' \) a esa distancia al otro lado de \(O\).

10. (Práctica) En un experimento con sombras, un bloque está a cierta distancia de la linterna (centro). ¿Qué variable determina el factor de homotecia de la sombra?

    Solución: La relación de distancias entre el bloque, la linterna y la pared (o superficie de proyección) determina el factor \(|k|\). Cuanto más lejos la pared o más cerca el objeto, mayor la sombra.

Problemas

1. Un triángulo \(ABC\) tiene sus vértices a 3 cm, 4 cm y 5 cm del centro \(O\). Si aplicas una homotecia con \(k=2\), ¿a qué distancias quedan los vértices de \(O\)?

   Solución: Cada vértice duplica su distancia a \(O\), quedando a 6, 8 y 10 cm respectivamente.

2. Diseña un ejemplo de homotecia con \(k=-3\) que muestre claramente la inversión de la figura y su ampliación.

   Solución (orientación): - Toma un cuadrado de lado 1 cm, con un centro \(O\) externo. - Mide cada vértice a \(O\) y multiplica por 3, en sentido opuesto, para marcar los nuevos vértices. - Se observará la figura “volteada” y ampliada al triple.

3. Un estudiante cree que “la homotecia cambia la forma de un rectángulo”. ¿Cómo lo refutarías con mediciones concretas?

   Solución: Mostrando que los lados mantienen la misma proporción y los ángulos siguen siendo rectos; solo se escala. Mides el rectángulo original (relación largo-ancho) y el resultado (todos los lados multiplicados por el mismo factor).

4. En un plano, el punto \(P\) está a 2,5 cm de \(O\). Se aplica una homotecia con \(k=4\). Luego otra con \(k=\frac{1}{4}\). ¿Dónde termina \(P\) finalmente?

   Solución: Primero pasa a \(10\) cm (por factor 4). Después, al multiplicar esa nueva distancia por \(\frac{1}{4}\), regresa a los 2,5 cm originales, es decir, vuelve a \(P\).