La Función Logarítmica

1. Introducción a los Logaritmos

Introducción a los Logaritmos

¿Por qué Logaritmos?

Hasta ahora, hemos trabajado con funciones exponenciales, donde la variable x está en el exponente: $ f(x) = a \cdot b^x $. Pero, ¿qué pasa si la incógnita es el exponente?

🌍 El Desafío: Despejar el Exponente

Considera estas preguntas:

Una población de 1000 bacterias se duplica cada hora ($ P(t) = 1000 \cdot 2^t $). ¿En cuánto tiempo llegará a 8000?
Inviertes $100 al 5% anual. ¿Cuántos años tardarás en duplicar tu dinero?

Para resolverlas, necesitamos "bajar" la incógnita del exponente. La herramienta para esto es el logaritmo.

Definición de Logaritmo

El logaritmo es la operación inversa de la exponenciación.

📐 Definición Formal de Logaritmo

La expresión exponencial y la logarítmica son equivalentes:

$ b^y = x \quad \Longleftrightarrow \quad \log_b(x) = y $

Se lee: "El logaritmo en base b de x es igual a y".

⚠️ Condiciones Importantes

La base (b) debe ser un número positivo y distinto de 1. ($ b > 0, b \neq 1 $)
El argumento (x) debe ser un número positivo. ($ x > 0 $)

Logaritmos Comunes y Naturales

🤓 Dos Logaritmos Especiales

Logaritmo Común (base 10): Es el que más se usa en ciencia e ingeniería. Si la base no está escrita, se asume que es 10. Se denota como $ \log(x) $.
Ej: $ \log(100) = \log_{10}(100) = 2 $
Logaritmo Natural (base e): Fundamental en cálculo y finanzas. Su base es el número de Euler, $ e \approx 2.718 $. Se denota como $ \ln(x) $.
Ej: $ \ln(e) = \log_e(e) = 1 $

Cálculo Mental de Logaritmos

💡 El Truco para Calcular Logaritmos Simples

Para calcular $ \log_b(x) $, simplemente pregúntate:

"¿A qué exponente debo elevar la base (b) para obtener el argumento (x)?"

Por ejemplo, para $ \log_4(16) $, te preguntas: "¿4 elevado a qué número me da 16?". La respuesta es 2, porque $ 4^2=16 $.

🧪 Aplicando la Definición: Ejemplos Clave

La mejor forma de entender los logaritmos es ver la definición en acción. Cada uno de estos ejemplos responde a la pregunta: "¿A qué exponente debo elevar la base para obtener el argumento?"

$ \log_2(8) = 3 $ porque $ 2^3 = 8 $
$ \log_{10}(100) = 2 $ porque $ 10^2 = 100 $
$ \log_5(25) = 2 $ porque $ 5^2 = 25 $
$ \log_3(1) = 0 $ porque $ 3^0 = 1 $
$ \log_2(\frac{1}{2}) = -1 $ porque $ 2^{-1} = \frac{1}{2} $
$ \log_2(\frac{1}{2}) = -1 $ porque $ 2^{-1} = \frac{1}{2} $
$ \ln(e^2) = 2 $ porque el exponente al que hay que elevar 'e' para obtener 'e²' es 2.

Ejercicios de Práctica

1. Escribe las siguientes expresiones exponenciales en forma logarítmica:

$ 2^5 = 32 $
$ 10^3 = 1000 $
$ 3^{-2} = \frac{1}{9} $
$ 16^{\frac{1}{2}} = 4 $

2. Escribe las siguientes expresiones logarítmicas en forma exponencial:

$ \log_5(25) = 2 $
$ \log(100) = 2 $
$ \log_2(\frac{1}{8}) = -3 $
$ \log_9(3) = \frac{1}{2} $

3. Calcula los siguientes logaritmos (sin calculadora):

$ \log_2(16) $
$ \log_3(9) $
$ \log(1000) $
$ \log_5(1) $
$ \log_4(2) $
$ \log_2(\frac{1}{4}) $
$ \ln(e) $
$ \ln(e^3) $

4. Usa una calculadora para encontrar los siguientes logaritmos (aproxima a dos decimales):

log(50)
ln(10)
log(0.1)
ln(1)

5. ¿Entre qué dos números enteros consecutivos está $ \log_2(50) $?