Libro Números Naturales
4. Adición y Sustracción de Números Naturales
Algoritmo de la adición
El algoritmo de la adición es un procedimiento sistemático para sumar dos o más números, basándose en el valor posicional de nuestro sistema de numeración decimal.
Pasos para sumar con reserva
- Alinear los números: escribe los números uno debajo del otro, asegurando que las unidades, decenas, centenas, etc., queden en la misma columna.
- Sumar columna por columna: empieza por las unidades y avanza hacia la izquierda.
- Anotar y llevar si es necesario: si la suma de una columna es \(10\) o más, anota la cifra de la unidad y lleva la cifra de la decena a la columna siguiente.
- Repetir: continúa el proceso con todas las columnas hasta terminar.
Error típico
Error: empezar a sumar por la izquierda, es decir, por las columnas de mayor valor.
Correcto: en el algoritmo tradicional, se suma de derecha a izquierda: unidades, luego decenas, centenas, etc. Esto permite manejar correctamente las reservas.
Ejemplo con reserva: \(345+187\)
Vamos a aplicar el algoritmo:
\[ \begin{array}{rrrr} & 3 & 4 & 5 \\ + & 1 & 8 & 7 \\ \hline & 5 & 3 & 2 \end{array} \]
- Unidades: \(5+7=12\). Escribimos \(2\) y llevamos \(1\) a las decenas.
- Decenas: \(4+8+1=13\). Escribimos \(3\) y llevamos \(1\) a las centenas.
- Centenas: \(3+1+1=5\). Escribimos \(5\).
Resultado: \(345+187=532\).
Ejercicios de Adición
Sin reserva
Ejercicio 1: \(25+13\)
Calcula \(25+13\).
Separamos en decenas y unidades:
\[ 25+13=(20+5)+(10+3) \]
\[ (20+10)+(5+3)=30+8=38 \]
Por lo tanto, \(25+13=\boxed{38}\).
Ejercicio 2: \(142+56\)
Calcula \(142+56\).
Podemos sumar primero las decenas y luego las unidades:
\[ 142+56=142+50+6 \]
\[ 142+50=192 \]
\[ 192+6=198 \]
Por lo tanto, \(142+56=\boxed{198}\).
Ejercicio 3: \(2000+500+25\)
Calcula \(2000+500+25\).
Sumamos de izquierda a derecha:
\[ 2000+500=2500 \]
\[ 2500+25=2525 \]
Por lo tanto, \(2000+500+25=\boxed{2525}\).
Ejercicio 4: \(105+234\)
Calcula \(105+234\).
Sumamos por valor posicional:
\[ 105+234=(100+0+5)+(200+30+4) \]
\[ (100+200)+(0+30)+(5+4)=300+30+9=339 \]
Por lo tanto, \(105+234=\boxed{339}\).
Con reserva
Ejercicio 5: \(38+9\)
Calcula \(38+9\).
Sumamos las unidades:
\[ 8+9=17 \]
Escribimos \(7\) en las unidades y llevamos \(1\) a las decenas.
Luego:
\[ 3+1=4 \]
Por lo tanto, \(38+9=\boxed{47}\).
Ejercicio 6: \(567+89\)
Calcula \(567+89\).
Alineamos los números como \(567+089\).
- Unidades: \(7+9=16\). Escribimos \(6\) y llevamos \(1\).
- Decenas: \(6+8+1=15\). Escribimos \(5\) y llevamos \(1\).
- Centenas: \(5+0+1=6\).
Por lo tanto, \(567+89=\boxed{656}\).
Ejercicio 7: \(1234+567\)
Calcula \(1234+567\).
Alineamos los números como \(1234+0567\).
- Unidades: \(4+7=11\). Escribimos \(1\) y llevamos \(1\).
- Decenas: \(3+6+1=10\). Escribimos \(0\) y llevamos \(1\).
- Centenas: \(2+5+1=8\).
- Unidades de mil: \(1+0=1\).
Por lo tanto, \(1234+567=\boxed{1801}\).
Ejercicio 8: \(99+1\)
Calcula \(99+1\).
Sumamos las unidades:
\[ 9+1=10 \]
Escribimos \(0\) y llevamos \(1\) a las decenas.
Luego:
\[ 9+1=10 \]
Eso forma una centena. Por lo tanto:
\[ 99+1=\boxed{100} \]
Ejercicio 9: \(456+789+123\)
Calcula \(456+789+123\).
Sumamos por columnas:
- Unidades: \(6+9+3=18\). Escribimos \(8\) y llevamos \(1\).
- Decenas: \(5+8+2+1=16\). Escribimos \(6\) y llevamos \(1\).
- Centenas: \(4+7+1+1=13\).
Por lo tanto:
\[ 456+789+123=\boxed{1368} \]
Ejercicio 10: \(18+27+36+45\)
Calcula \(18+27+36+45\).
Sumamos por columnas:
- Unidades: \(8+7+6+5=26\). Escribimos \(6\) y llevamos \(2\).
- Decenas: \(1+2+3+4+2=12\).
Por lo tanto:
\[ 18+27+36+45=\boxed{126} \]
Algoritmo de la Sustracción de Números Naturales
Algoritmo de la sustracción
El algoritmo de la sustracción con canje, también llamado “pedir prestado”, es el procedimiento que usamos para restar cuando una cifra del minuendo es menor que la cifra correspondiente del sustraendo.
Pasos para restar con canje
- Alinear los números: el minuendo va arriba y el sustraendo abajo, bien alineados por columnas.
- Restar columna por columna: empieza por las unidades y avanza hacia la izquierda.
- Verificar y canjear si es necesario: si el dígito de arriba es menor que el de abajo, se pide prestado \(1\) a la columna de la izquierda. Ese \(1\) se convierte en \(10\) unidades de la columna actual.
- Restar y repetir: realiza la resta en cada columna hasta terminar.
Error típico
Error: empezar a restar por la izquierda o restar el número menor al mayor dentro de cada columna.
Correcto: siempre se resta de derecha a izquierda y siempre se calcula la cifra de arriba menos la cifra de abajo. Si la cifra de arriba es menor, se debe hacer un canje.
Ejemplo con canje: \(532-285\)
Vamos a aplicar el algoritmo:
\[ \begin{array}{rrrr} & 5 & 3 & 2 \\ - & 2 & 8 & 5 \\ \hline & 2 & 4 & 7 \end{array} \]
- Unidades: a \(2\) no le podemos quitar \(5\). Pedimos prestado \(1\) a las decenas. El \(3\) queda como \(2\), y el \(2\) se convierte en \(12\). Entonces, \(12-5=7\).
- Decenas: ahora tenemos \(2\) decenas, pero a \(2\) no le podemos quitar \(8\). Pedimos prestado \(1\) a las centenas. El \(5\) queda como \(4\), y el \(2\) se convierte en \(12\). Entonces, \(12-8=4\).
- Centenas: \(4-2=2\).
Resultado: \(532-285=247\).
Canje en cascada
El canje sobre un cero puede ser confuso. Si la columna vecina tiene \(0\), no puede prestar directamente. Entonces se debe buscar una columna más a la izquierda que sí pueda prestar.
Por eso, en \(1200-17\), las centenas le prestan a las decenas, y luego las decenas le prestan a las unidades.
Ejemplo con doble canje: \(1200-17\)
Este es un caso especial donde debemos pedir prestado a través de un cero.
\[ \begin{array}{rrrrr} & 1 & 2 & 0 & 0 \\ - & 0 & 0 & 1 & 7 \\ \hline & 1 & 1 & 8 & 3 \end{array} \]
- Unidades: a \(0\) no le podemos quitar \(7\), por lo tanto necesitamos pedir prestado.
- Decenas: como también hay \(0\) decenas, se debe pedir prestado desde las centenas.
- Centenas: el \(2\) presta \(1\), queda como \(1\), y las decenas pasan a tener \(10\).
- Canje final: las decenas prestan \(1\) a las unidades. Entonces las decenas quedan como \(9\), y las unidades pasan a ser \(10\).
- Restas finales: \(10-7=3\), \(9-1=8\), \(1-0=1\) y \(1-0=1\).
Resultado: \(1200-17=1183\).
Comprueba tu resultado
Para verificar si una resta está correcta, puedes usar la suma. Si calculaste que \(a-b=c\), entonces debe cumplirse que \(b+c=a\).
Por ejemplo, para comprobar que \(532-285=247\), sumamos:
\[ 285+247=532 \]
Como recuperamos el minuendo original, la resta está correcta.
Ejercicios de Sustracción
Sin canje
Ejercicio 11: \(48-23\)
Calcula \(48-23\).
Restamos por valor posicional:
\[ 48-23=(40+8)-(20+3) \]
\[ (40-20)+(8-3)=20+5=25 \]
Por lo tanto, \(48-23=\boxed{25}\).
Ejercicio 12: \(165-42\)
Calcula \(165-42\).
Alineamos como \(165-042\).
- Unidades: \(5-2=3\).
- Decenas: \(6-4=2\).
- Centenas: \(1-0=1\).
Por lo tanto, \(165-42=\boxed{123}\).
Ejercicio 13: \(345-123\)
Calcula \(345-123\).
Restamos por columnas:
- Unidades: \(5-3=2\).
- Decenas: \(4-2=2\).
- Centenas: \(3-1=2\).
Por lo tanto, \(345-123=\boxed{222}\).
Ejercicio 14: \(75-45\)
Calcula \(75-45\).
Restamos por columnas:
- Unidades: \(5-5=0\).
- Decenas: \(7-4=3\).
Por lo tanto, \(75-45=\boxed{30}\).
Con canje
Ejercicio 15: \(72-8\)
Calcula \(72-8\).
Alineamos como \(72-08\).
En las unidades, a \(2\) no le podemos quitar \(8\). Pedimos prestado \(1\) a las decenas: el \(7\) queda como \(6\), y el \(2\) se convierte en \(12\).
\[ 12-8=4 \]
En las decenas:
\[ 6-0=6 \]
Por lo tanto, \(72-8=\boxed{64}\).
Ejercicio 16: \(5000-2500\)
Calcula \(5000-2500\).
Restamos por columnas:
- Unidades: \(0-0=0\).
- Decenas: \(0-0=0\).
- Centenas: a \(0\) no le podemos quitar \(5\). Pedimos prestado \(1\) a las unidades de mil: el \(5\) queda como \(4\), y el \(0\) se convierte en \(10\). Entonces, \(10-5=5\).
- Unidades de mil: \(4-2=2\).
Por lo tanto, \(5000-2500=\boxed{2500}\).
Ejercicio 17: \(678-90\)
Calcula \(678-90\).
Alineamos como \(678-090\).
- Unidades: \(8-0=8\).
- Decenas: a \(7\) no le podemos quitar \(9\). Pedimos prestado a las centenas: el \(6\) queda como \(5\), y el \(7\) se convierte en \(17\). Entonces, \(17-9=8\).
- Centenas: \(5-0=5\).
Por lo tanto, \(678-90=\boxed{588}\).
Ejercicio 18: \(2345-678\)
Calcula \(2345-678\).
Alineamos como \(2345-0678\).
- Unidades: a \(5\) no le podemos quitar \(8\). Pedimos prestado a las decenas: \(15-8=7\).
- Decenas: las decenas quedaron en \(3\). A \(3\) no le podemos quitar \(7\), así que pedimos prestado a las centenas: \(13-7=6\).
- Centenas: las centenas quedaron en \(2\). A \(2\) no le podemos quitar \(6\), así que pedimos prestado a las unidades de mil: \(12-6=6\).
- Unidades de mil: \(1-0=1\).
Por lo tanto, \(2345-678=\boxed{1667}\).
Ejercicio 19: \(100-1\)
Calcula \(100-1\).
Alineamos como \(100-001\).
En las unidades, a \(0\) no le podemos quitar \(1\). Como en las decenas también hay \(0\), pedimos prestado desde las centenas.
La centena \(1\) se convierte en \(0\), las decenas pasan a \(10\), y luego las decenas prestan \(1\) a las unidades.
Así, las unidades quedan como \(10\) y las decenas como \(9\).
\[ 10-1=9 \]
\[ 9-0=9 \]
Por lo tanto, \(100-1=\boxed{99}\).
Ejercicio 20: \(131-75-44\)
Calcula \(131-75-44\).
Resolvemos de izquierda a derecha:
\[ 131-75 \]
En las unidades, a \(1\) no le podemos quitar \(5\). Pedimos prestado a las decenas:
\[ 11-5=6 \]
En las decenas, queda \(2\). A \(2\) no le podemos quitar \(7\), así que pedimos prestado a las centenas:
\[ 12-7=5 \]
Entonces:
\[ 131-75=56 \]
Ahora restamos \(44\):
\[ 56-44=12 \]
Por lo tanto, \(131-75-44=\boxed{12}\).
Matemáticas en la vida real
Estos algoritmos no son solo para el colegio. Se usan al calcular el vuelto en una compra, al llevar la cuenta de puntos en un juego o al medir cantidades en una receta.
Dominar la suma y la resta permite resolver situaciones cotidianas con mayor seguridad.