Números naturales
5. Multiplicación de Números Naturales
Objetivos de aprendizaje
- Comprender la multiplicación de números naturales como suma repetida y como cálculo entre factores.
- Aplicar correctamente las propiedades de la multiplicación en \( \mathbb{N} \).
- Resolver multiplicaciones de uno o más dígitos y problemas de aplicación en contexto.
¿Qué es la multiplicación?
La multiplicación es una operación matemática que, en muchos casos, puede interpretarse como una suma repetida.
Por ejemplo:
\[ 4 \times 3 = 3+3+3+3 = 12 \]
El resultado de multiplicar se llama producto, y los números que se multiplican se llaman factores.
Propiedades de la multiplicación en \( \mathbb{N} \)
- Clausura: si \(a,b \in \mathbb{N}\), entonces \(a \times b \in \mathbb{N}\).
- Conmutativa: \(a \times b = b \times a\).
- Asociativa: \((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\).
- Elemento neutro: \(a \times 1 = a\).
- Distributiva: \(a \times (b+c) = (a \times b) + (a \times c)\).
- Factor cero: \(a \times 0 = 0\).
Ejemplo 1: propiedad conmutativa
Comparemos \(4 \times 7\) y \(7 \times 4\).
\[ 4 \times 7 = 28 \qquad 7 \times 4 = 28 \]
Como ambos productos son iguales, el orden de los factores no altera el resultado.
Ejemplo 2: factor cero
Si multiplicamos cualquier número por \(0\), el resultado siempre es \(0\).
\[ 15 \times 0 = 0 \]
Esto ocurre porque no hay grupos que sumar.
Algoritmo de la multiplicación
Atención al orden del cálculo
En el algoritmo de la multiplicación se comienza siempre por la derecha, es decir, por las unidades.
Empezar por la izquierda suele provocar errores al manejar las reservas.
Nivel 1: multiplicar por un factor de un dígito
Cuando se multiplica un número de varias cifras por un solo dígito, se trabaja de derecha a izquierda, registrando las reservas cuando sea necesario.
Ejemplo 3: \(153 \times 3\)
La multiplicación se hace de derecha a izquierda:
\[ \begin{array}{rrrrrr} & 1 & & & & \\ & 1 & 5 & 3 & \times & 3 \\ \hline & 4 & 5 & 9 \\ \end{array} \]
Desarrollamos paso a paso:
- \(3 \times 3 = 9\)
- \(3 \times 5 = 15\): escribimos \(5\) y reservamos \(1\)
- \(3 \times 1 = 3\), y al sumar la reserva queda \(4\)
Por lo tanto, \(153 \times 3 = 459\).
Nivel 2: ambos factores tienen dos o más dígitos
En este caso, se multiplica el primer factor por cada cifra del segundo, respetando el valor posicional de unidades, decenas, centenas, etc.
¿Por qué se corre un espacio?
Cuando multiplicas por una cifra que está en las decenas, en realidad estás multiplicando por \(10\), \(20\), \(30\), etc.
Por eso, el producto parcial debe desplazarse una posición a la izquierda. Si la cifra está en las centenas, el desplazamiento es de dos posiciones.
Ejemplo 4: \(56 \times 42\)
\[ \begin{array}{ccccccc} & & 5 & 6 & \times & \color{blue}{4} & \color{red}{2} \\ \hline & \color{red}{1} & \color{red}{1} & \color{red}{2} & & & \\ \color{blue}{2} & \color{blue}{2} & \color{blue}{4} & \color{green}{0} & & & \\ \hline 2 & 3 & 5 & 2 & & &\\ \end{array} \]
Desarrollo:
- Multiplicamos \(56 \times 2 = 112\).
- Multiplicamos \(56 \times 4 = 224\), pero como ese \(4\) representa \(40\), el producto parcial es \(2240\).
- Sumamos los productos parciales: \(112 + 2240 = 2352\).
Entonces, \(56 \times 42 = 2352\).
Ejercicios de práctica
Ejercicios de nivel 1
Ejercicio 1
Calcula \(5 \times 3\).
Multiplicamos:
\[ 5 \times 3 = 15 \]
El producto es \( \boxed{15} \).
Ejercicio 2
Calcula \(12 \times 4\).
Podemos pensar en cuatro grupos de 12:
\[ 12 \times 4 = 48 \]
El producto es \( \boxed{48} \).
Ejercicio 3
Calcula \(34 \times 2\).
Multiplicamos cada cantidad:
\[ 34 \times 2 = 68 \]
El producto es \( \boxed{68} \).
Ejercicio 4
Calcula \(123 \times 3\).
Aplicamos la multiplicación:
\[ 123 \times 3 = 369 \]
El producto es \( \boxed{369} \).
Ejercicio 5
Calcula \(245 \times 5\).
Multiplicamos:
\[ 245 \times 5 = 1225 \]
El producto es \( \boxed{1225} \).
Ejercicio 6
Calcula \(567 \times 8\).
Multiplicamos de derecha a izquierda:
\[ 567 \times 8 = 4536 \]
El producto es \( \boxed{4536} \).
Ejercicio 7
Calcula \(1234 \times 6\).
Realizamos la multiplicación:
\[ 1234 \times 6 = 7404 \]
El producto es \( \boxed{7404} \).
Ejercicio 8
Calcula \(4567 \times 9\).
Multiplicamos:
\[ 4567 \times 9 = 41103 \]
El producto es \( \boxed{41103} \).
Ejercicio 9
Calcula \(7890 \times 7\).
Multiplicamos:
\[ 7890 \times 7 = 55230 \]
El producto es \( \boxed{55230} \).
Ejercicio 10
Calcula \(9876 \times 1\).
Todo número multiplicado por \(1\) se mantiene igual:
\[ 9876 \times 1 = 9876 \]
El producto es \( \boxed{9876} \).
Ejercicios de nivel 2 y 3
Ahora ambos factores tienen dos o más dígitos. Recuerda respetar el valor posicional de cada cifra.
Ejercicio 11
Calcula \(12 \times 23\).
Descomponemos \(23 = 20 + 3\):
\[ 12 \times 23 = 12 \times 20 + 12 \times 3 = 240 + 36 = 276 \]
El producto es \( \boxed{276} \).
Ejercicio 12
Calcula \(34 \times 15\).
Descomponemos \(15 = 10 + 5\):
\[ 34 \times 15 = 34 \times 10 + 34 \times 5 = 340 + 170 = 510 \]
El producto es \( \boxed{510} \).
Ejercicio 13
Calcula \(78 \times 69\).
Descomponemos \(69 = 60 + 9\):
\[ 78 \times 69 = 78 \times 60 + 78 \times 9 = 4680 + 702 = 5382 \]
El producto es \( \boxed{5382} \).
Ejercicio 14
Calcula \(99 \times 99\).
Una forma es usar la distributiva:
\[ 99 \times 99 = 99 \times (100 - 1) = 9900 - 99 = 9801 \]
El producto es \( \boxed{9801} \).
Ejercicio 15
Calcula \(123 \times 321\).
Descomponemos \(321 = 300 + 20 + 1\):
\[ 123 \times 321 = 123 \times 300 + 123 \times 20 + 123 \times 1 \]
\[ 123 \times 321 = 36900 + 2460 + 123 = 39483 \]
El producto es \( \boxed{39483} \).
Ejercicio 16
Calcula \(456 \times 654\).
Descomponemos \(654 = 600 + 50 + 4\):
\[ 456 \times 654 = 456 \times 600 + 456 \times 50 + 456 \times 4 \]
\[ 456 \times 654 = 273600 + 22800 + 1824 = 298224 \]
El producto es \( \boxed{298224} \).
Ejercicio 17
Calcula \(789 \times 987\).
Descomponemos \(987 = 900 + 80 + 7\):
\[ 789 \times 987 = 789 \times 900 + 789 \times 80 + 789 \times 7 \]
\[ 789 \times 987 = 710100 + 63120 + 5523 = 778743 \]
El producto es \( \boxed{778743} \).
Ejercicio 18
Calcula \(102 \times 405\).
Descomponemos \(405 = 400 + 5\):
\[ 102 \times 405 = 102 \times 400 + 102 \times 5 = 40800 + 510 = 41310 \]
El producto es \( \boxed{41310} \).
Ejercicio 19
Calcula \(5678 \times 1234\).
Descomponemos \(1234 = 1000 + 200 + 30 + 4\):
\[ 5678 \times 1234 = 5678 \times 1000 + 5678 \times 200 + 5678 \times 30 + 5678 \times 4 \]
\[ 5678 \times 1234 = 5678000 + 1135600 + 170340 + 22712 = 7006652 \]
El producto es \( \boxed{7006652} \).
Ejercicio 20
Calcula \(1111 \times 1111\).
Descomponemos uno de los factores:
\[ 1111 \times 1111 = 1111 \times (1000 + 100 + 10 + 1) \]
\[ 1111 \times 1111 = 1111000 + 111100 + 11110 + 1111 = 1234321 \]
El producto es \( \boxed{1234321} \).
Resolución de problemas
¿Cuándo conviene multiplicar?
La multiplicación aparece cuando una cantidad se repite varias veces o cuando hay grupos iguales.
- “Cada caja tiene...”
- “Hay 5 grupos de...”
- “Doble”, “triple”, “cuádruple”
- “Producto de...”
- Situaciones de filas, columnas, paquetes, pisos, páginas o áreas
Ejercicio 21
En una caja hay 12 chocolates. ¿Cuántos chocolates habrá en 5 cajas iguales?
Si cada caja tiene 12 chocolates y hay 5 cajas, multiplicamos:
\[ 12 \times 5 = 60 \]
Habrá \( \boxed{60} \) chocolates en total.
Ejercicio 22
Un edificio tiene 7 pisos. Si cada piso tiene 4 departamentos, ¿cuántos departamentos hay en el edificio?
Hay 7 grupos de 4 departamentos:
\[ 7 \times 4 = 28 \]
El edificio tiene \( \boxed{28} \) departamentos.
Ejercicio 23
María tiene 3 álbumes de fotos. Si cada álbum tiene 25 fotos, ¿cuántas fotos tiene María en total?
Multiplicamos la cantidad de álbumes por las fotos de cada álbum:
\[ 3 \times 25 = 75 \]
María tiene \( \boxed{75} \) fotos en total.
Ejercicio 24
Un auto recorre 60 kilómetros por hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 horas?
Si recorre 60 km en 1 hora, en 3 horas recorre:
\[ 60 \times 3 = 180 \]
Recorrerá \( \boxed{180} \) kilómetros.
Ejercicio 25
Si una entrada al cine cuesta $2.500, ¿cuánto costarán 4 entradas?
Multiplicamos el valor de una entrada por 4:
\[ 2500 \times 4 = 10000 \]
Las 4 entradas costarán \( \boxed{\$10.000} \).
Ejercicio 26
En una sala de clases hay 8 filas con 12 asientos en cada fila. ¿Cuántos asientos hay en total?
Como cada fila tiene 12 asientos y hay 8 filas:
\[ 8 \times 12 = 96 \]
Hay \( \boxed{96} \) asientos en total.
Ejercicio 27
Un paquete trae 6 galletas. ¿Cuántas galletas habrá en 9 paquetes?
Multiplicamos la cantidad por paquete por el número de paquetes:
\[ 6 \times 9 = 54 \]
Habrá \( \boxed{54} \) galletas.
Ejercicio 28
Un libro tiene 250 páginas. Si leo 5 páginas por día, ¿cuántas páginas leeré en una semana de 7 días?
La información importante es que se leen 5 páginas por día durante 7 días:
\[ 5 \times 7 = 35 \]
En una semana leerá \( \boxed{35} \) páginas.
Las 250 páginas del libro no influyen en este cálculo.
Ejercicio 29
Un agricultor cosecha 4 sacos de papas al día. Si cada saco pesa 50 kilos, ¿cuántos kilos de papas cosecha en 6 días?
Primero calculamos cuántos kilos cosecha en un día:
\[ 4 \times 50 = 200 \]
Luego multiplicamos por los 6 días:
\[ 200 \times 6 = 1200 \]
En total cosecha \( \boxed{1200} \) kilos de papas.
Ejercicio 30
El corazón de una persona late aproximadamente 70 veces por minuto. ¿Cuántas veces late en 15 minutos?
Si en 1 minuto late 70 veces, en 15 minutos late:
\[ 70 \times 15 = 1050 \]
El corazón late aproximadamente \( \boxed{1050} \) veces.
Error común
En multiplicaciones de dos o más cifras, no basta con multiplicar las cifras sin considerar la posición que ocupan.
Las decenas representan grupos de diez, y las centenas representan grupos de cien. Por eso, los productos parciales deben ubicarse correctamente.
Cierre
La multiplicación permite calcular cantidades repetidas de manera rápida y ordenada.
Comprender sus propiedades y dominar su algoritmo ayuda a resolver cálculos y problemas de la vida diaria con mayor seguridad.