Libro Números Naturales
9. Máximo Común Divisor (MCD): ¡Encontrando Conexiones!
Máximo común divisor
El Máximo Común Divisor (MCD) de dos o más números es el número más grande que logra dividir a todos esos números de forma exacta, sin dejar residuo.
Ejemplo en la vida real: las cuerdas
Imagina que tienes una cuerda de \(12\) metros y otra de \(18\) metros. Quieres cortarlas en trozos de igual longitud, pero que sean lo más largos posible y sin que sobre nada de cuerda.
El MCD da la respuesta:
\[ \operatorname{MCD}(12,18)=6 \]
Esto significa que:
- La longitud máxima de cada trozo es de \(6\) metros.
- De la cuerda de \(12\) m se obtienen \(12 \div 6 = 2\) trozos.
- De la cuerda de \(18\) m se obtienen \(18 \div 6 = 3\) trozos.
Cualquier medida más grande, por ejemplo \(7\) metros, dejaría sobrantes. El MCD permite encontrar la mayor medida posible sin desperdicio.
Métodos para Calcular el MCD
1. Por Descomposición en Factores Primos
La lógica de este método
Como los factores primos son los “ladrillos” de los números, al buscar los factores comunes con el menor exponente estamos encontrando la estructura más grande que los números comparten.
Pasos para el método de factorización
- Descomponer: realiza la descomposición prima de cada número.
- Identificar: busca los factores primos que se repiten en todas las descomposiciones.
- Multiplicar: multiplica esos factores comunes, usando siempre el menor exponente con el que aparecen.
Ejemplo: calcular el MCD de \(36\) y \(48\)
Descomponemos cada número en factores primos:
- \(36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2\)
- \(48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^4 \times 3^1\)
Luego buscamos los factores comunes con el menor exponente:
- Factor común \(2\): el menor exponente es \(2\).
- Factor común \(3\): el menor exponente es \(1\).
Entonces:
\[ \operatorname{MCD}(36,48)=2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12 \]
Resultado: \(\operatorname{MCD}(36,48)=12\).
2. Algoritmo de Euclides
Un atajo para números grandes
Cuando los números son muy grandes, hacer la descomposición prima puede ser largo. El algoritmo de Euclides es un método más rápido y eficiente en esos casos.
Pasos para el algoritmo de Euclides
- Divide el número mayor por el menor.
- Toma el divisor y divídelo por el resto de la división anterior.
- Continúa dividiendo el último divisor por el último resto.
- Repite el proceso hasta que la división sea exacta, es decir, hasta obtener resto \(0\).
- El último divisor usado es el MCD.
Ejemplo: calcular el MCD de \(1071\) y \(462\)
Aplicamos el algoritmo de Euclides:
\[ 1071 = 462 \cdot 2 + 147 \]
Ahora dividimos el divisor anterior, \(462\), por el resto \(147\):
\[ 462 = 147 \cdot 3 + 21 \]
Repetimos el proceso:
\[ 147 = 21 \cdot 7 + 0 \]
Como la última división fue exacta, el MCD es el último divisor usado.
Resultado: \(\operatorname{MCD}(1071,462)=21\).
¡A Practicar!
Ejercicio 1
Calcula \(\operatorname{MCD}(12,18)\).
Descomponemos:
\[ 12=2^2\cdot 3 \]
\[ 18=2\cdot 3^2 \]
Los factores comunes son \(2\) y \(3\), ambos con menor exponente \(1\).
\[ \operatorname{MCD}(12,18)=2\cdot 3=6 \]
Respuesta: \(\boxed{6}\).
Ejercicio 2
Calcula \(\operatorname{MCD}(30,45)\).
Descomponemos:
\[ 30=2\cdot 3\cdot 5 \]
\[ 45=3^2\cdot 5 \]
Los factores comunes son \(3\) y \(5\), ambos con menor exponente \(1\).
\[ \operatorname{MCD}(30,45)=3\cdot 5=15 \]
Respuesta: \(\boxed{15}\).
Ejercicio 3
Calcula \(\operatorname{MCD}(16,24,40)\).
Descomponemos:
\[ 16=2^4 \]
\[ 24=2^3\cdot 3 \]
\[ 40=2^3\cdot 5 \]
El único factor común a los tres números es \(2\). El menor exponente es \(3\).
\[ \operatorname{MCD}(16,24,40)=2^3=8 \]
Respuesta: \(\boxed{8}\).
Ejercicio 4
Calcula \(\operatorname{MCD}(75,125)\).
Descomponemos:
\[ 75=3\cdot 5^2 \]
\[ 125=5^3 \]
El factor común es \(5\), con menor exponente \(2\).
\[ \operatorname{MCD}(75,125)=5^2=25 \]
Respuesta: \(\boxed{25}\).
Ejercicio 5
Calcula \(\operatorname{MCD}(28,42,56)\).
Descomponemos:
\[ 28=2^2\cdot 7 \]
\[ 42=2\cdot 3\cdot 7 \]
\[ 56=2^3\cdot 7 \]
Los factores comunes son \(2\) y \(7\), ambos con menor exponente \(1\).
\[ \operatorname{MCD}(28,42,56)=2\cdot 7=14 \]
Respuesta: \(\boxed{14}\).
Ejercicio 6
Calcula \(\operatorname{MCD}(18,27,36)\).
Descomponemos:
\[ 18=2\cdot 3^2 \]
\[ 27=3^3 \]
\[ 36=2^2\cdot 3^2 \]
El factor común a los tres números es \(3\), con menor exponente \(2\).
\[ \operatorname{MCD}(18,27,36)=3^2=9 \]
Respuesta: \(\boxed{9}\).
Ejercicio 7
Calcula \(\operatorname{MCD}(120,150)\).
Descomponemos:
\[ 120=2^3\cdot 3\cdot 5 \]
\[ 150=2\cdot 3\cdot 5^2 \]
Tomamos los factores comunes con menor exponente:
\[ 2^1\cdot 3^1\cdot 5^1=30 \]
Respuesta: \(\boxed{30}\).
Ejercicio 8
Calcula \(\operatorname{MCD}(36,54,72)\).
Descomponemos:
\[ 36=2^2\cdot 3^2 \]
\[ 54=2\cdot 3^3 \]
\[ 72=2^3\cdot 3^2 \]
Los factores comunes son \(2\) y \(3\). Usamos los menores exponentes:
\[ 2^1\cdot 3^2=2\cdot 9=18 \]
Respuesta: \(\boxed{18}\).
Ejercicio 9
Calcula \(\operatorname{MCD}(20,30,40,50)\).
Descomponemos:
\[ 20=2^2\cdot 5 \]
\[ 30=2\cdot 3\cdot 5 \]
\[ 40=2^3\cdot 5 \]
\[ 50=2\cdot 5^2 \]
Los factores comunes son \(2\) y \(5\), ambos con menor exponente \(1\).
\[ \operatorname{MCD}(20,30,40,50)=2\cdot 5=10 \]
Respuesta: \(\boxed{10}\).
Ejercicio 10
Calcula \(\operatorname{MCD}(105,140,175)\).
Descomponemos:
\[ 105=3\cdot 5\cdot 7 \]
\[ 140=2^2\cdot 5\cdot 7 \]
\[ 175=5^2\cdot 7 \]
Los factores comunes son \(5\) y \(7\).
\[ \operatorname{MCD}(105,140,175)=5\cdot 7=35 \]
Respuesta: \(\boxed{35}\).
Ejercicio 11
Calcula \(\operatorname{MCD}(60,90,120,150)\).
Descomponemos:
\[ 60=2^2\cdot 3\cdot 5 \]
\[ 90=2\cdot 3^2\cdot 5 \]
\[ 120=2^3\cdot 3\cdot 5 \]
\[ 150=2\cdot 3\cdot 5^2 \]
Los factores comunes son \(2\), \(3\) y \(5\), todos con menor exponente \(1\).
\[ \operatorname{MCD}(60,90,120,150)=2\cdot 3\cdot 5=30 \]
Respuesta: \(\boxed{30}\).
Problemas de Aplicación
Problema 1
Un carpintero tiene dos tablas de madera, una de \(120\) cm y otra de \(180\) cm. Quiere cortarlas en trozos de igual longitud, lo más largos posible y sin desperdiciar madera. ¿Cuál es la mayor longitud posible de los trozos?
Como se quiere la mayor longitud que divida exactamente \(120\) y \(180\), calculamos:
\[ \operatorname{MCD}(120,180) \]
\[ 120=2^3\cdot 3\cdot 5 \]
\[ 180=2^2\cdot 3^2\cdot 5 \]
\[ \operatorname{MCD}(120,180)=2^2\cdot 3\cdot 5=60 \]
La mayor longitud posible es \(\boxed{60\text{ cm}}\).
Problema 2
Ana tiene \(48\) caramelos y \(36\) chocolates. Quiere repartirlos en bolsas de regalo, de modo que cada bolsa tenga la misma cantidad de caramelos y la misma cantidad de chocolates. ¿Cuál es el mayor número de bolsas que puede hacer?
El mayor número de bolsas debe dividir exactamente \(48\) y \(36\).
\[ \operatorname{MCD}(48,36)=12 \]
Puede hacer \(\boxed{12}\) bolsas.
Cada bolsa tendrá:
\[ 48\div 12=4 \text{ caramelos} \]
\[ 36\div 12=3 \text{ chocolates} \]
Problema 3
Un grupo de amigos quiere repartir \(120\) galletas y \(150\) caramelos en paquetes con la misma cantidad de cada golosina. ¿Cuál es el mayor número de paquetes que pueden hacer?
Calculamos el MCD de \(120\) y \(150\):
\[ \operatorname{MCD}(120,150)=30 \]
El mayor número de paquetes es \(\boxed{30}\).
Cada paquete tendría:
\[ 120\div 30=4 \text{ galletas} \]
\[ 150\div 30=5 \text{ caramelos} \]
Problema 4
En una frutería hay \(72\) manzanas, \(96\) naranjas y \(60\) plátanos. Se quieren colocar en cajas con la misma cantidad de cada fruta. ¿Cuál es el mayor número de cajas que se pueden llenar?
Calculamos:
\[ \operatorname{MCD}(72,96,60)=12 \]
Se pueden llenar \(\boxed{12}\) cajas.
Cada caja tendría:
\[ 72\div 12=6 \text{ manzanas} \]
\[ 96\div 12=8 \text{ naranjas} \]
\[ 60\div 12=5 \text{ plátanos} \]
Problema 5
Tres rollos de tela, uno de \(140\) metros, otro de \(180\) metros y otro de \(210\) metros, se quieren cortar en piezas de igual longitud, lo más largas posible y sin desperdiciar tela. ¿Cuál es la mayor longitud posible de las piezas?
Buscamos la mayor longitud que divida exactamente \(140\), \(180\) y \(210\):
\[ \operatorname{MCD}(140,180,210)=10 \]
La mayor longitud posible es \(\boxed{10\text{ metros}}\).
Problema 6
Un grupo de estudiantes quiere repartir \(108\) lápices, \(84\) bolígrafos y \(60\) gomas de borrar en estuches con la misma cantidad de cada artículo. ¿Cuál es el mayor número de estuches que pueden armar?
Calculamos:
\[ \operatorname{MCD}(108,84,60)=12 \]
Pueden armar \(\boxed{12}\) estuches.
Problema 7
Se tienen tres terrenos de \(360\), \(480\) y \(600\) metros cuadrados. Se quieren dividir en parcelas iguales de la mayor área posible. ¿Cuál será el área de cada parcela?
Buscamos la mayor área que divida exactamente las tres superficies:
\[ \operatorname{MCD}(360,480,600)=120 \]
El área de cada parcela será \(\boxed{120\text{ m}^2}\).
Problema 8
Un grupo de niños quiere repartir \(240\) caramelos de fresa, \(300\) caramelos de limón y \(180\) caramelos de menta en bolsas con la misma cantidad de cada sabor. ¿Cuál es el mayor número de bolsas que pueden hacer?
Calculamos:
\[ \operatorname{MCD}(240,300,180)=60 \]
El mayor número de bolsas es \(\boxed{60}\).
Problema 9
En una biblioteca hay \(180\) libros de historia, \(120\) libros de ciencias y \(90\) libros de literatura. Se quieren colocar en estantes con la misma cantidad de libros de cada tema. ¿Cuál es el mayor número de estantes que se pueden llenar?
Calculamos:
\[ \operatorname{MCD}(180,120,90)=30 \]
Se pueden llenar \(\boxed{30}\) estantes.
Problema 10
Se tienen cuatro cuerdas de \(120\) cm, \(160\) cm, \(200\) cm y \(240\) cm. Se quieren cortar en trozos de igual longitud, sin desperdiciar cuerda. ¿Cuál es la mayor longitud posible de los trozos?
La mayor longitud posible corresponde al MCD:
\[ \operatorname{MCD}(120,160,200,240)=40 \]
La mayor longitud posible de los trozos es \(\boxed{40\text{ cm}}\).
Problema 11
María tiene \(60\) caramelos de fresa, \(75\) caramelos de limón y \(90\) caramelos de naranja. Quiere repartirlos en bolsas con la misma cantidad de caramelos de cada sabor. ¿Cuál es el mayor número de bolsas que puede hacer?
Calculamos:
\[ \operatorname{MCD}(60,75,90)=15 \]
Puede hacer \(\boxed{15}\) bolsas.