Libro Números Enteros
2. Construcción de los Números Enteros a partir de los Naturales (complemento)
¿Por qué construir algo que ya conocemos?
Aunque usamos los números negativos y el cero en muchas situaciones cotidianas, en matemática es importante contar con una base lógica clara y sin contradicciones.
La construcción formal de los números enteros \( \mathbb{Z} \) a partir de los números naturales \( \mathbb{N} \) permite definir rigurosamente qué es un número negativo y cómo se opera con él, usando ideas conocidas de los números naturales.
Definición matemática formal
Los números enteros se pueden construir formalmente mediante los siguientes pasos:
- Conjunto base: se parte del producto cartesiano de los números naturales consigo mismos: \[ \mathbb{N}\times\mathbb{N} \] Este conjunto está formado por todos los pares ordenados \((a,b)\), donde \(a\) y \(b\) son números naturales. \[ \mathbb{P}=\{(a,b)\mid a,b\in\mathbb{N}\} \]
- Relación de equivalencia: se define una relación \( \sim \) sobre este conjunto de pares. Diremos que dos pares son equivalentes si representan la misma diferencia: \[ (a,b)\sim(c,d)\iff a+d=b+c \]
- Clases de equivalencia: cada conjunto de pares equivalentes entre sí forma una clase de equivalencia. Cada una de estas clases representa un número entero: \[ \mathbb{Z}=\{[(a,b)]\mid (a,b)\in\mathbb{P}\} \]
Por lo tanto, el conjunto de los números enteros \( \mathbb{Z} \) se construye como el conjunto de clases de equivalencia de \( \mathbb{N}\times\mathbb{N} \) bajo la relación \( \sim \).
La idea clave: la resta escondida
La intuición detrás del par \((a,b)\) es que representa la diferencia \(a-b\).
Como la resta no siempre se puede realizar dentro de los números naturales, usamos pares ordenados para representar esa idea sin salir del conjunto \( \mathbb{N} \).
- El par \((5,2)\) representa la idea de \(5-2\), es decir, el entero \(+3\).
- El par \((2,5)\) representa la idea de \(2-5\), es decir, el entero \(-3\).
- El par \((4,4)\) representa la idea de \(4-4\), es decir, el entero \(0\).
La condición \(a+d=b+c\) permite expresar que \(a-b=c-d\), pero sin escribir directamente la resta.
Explicación de las clases de equivalencia
Cada número entero puede representarse mediante muchos pares ordenados. La diferencia entre los componentes del par determina qué número entero representa.
- Si \(a>b\), la clase \([(a,b)]\) representa un entero positivo. Por ejemplo, \([(3,1)]\) representa al entero \(+2\).
- Si \(a<b\), la clase \([(a,b)]\) representa un entero negativo. Por ejemplo, \([(1,3)]\) representa al entero \(-2\).
- Si \(a=b\), la clase \([(a,b)]\) representa al cero. Por ejemplo, \([(2,2)]\) representa al entero \(0\).
Aunque hay muchas formas de escribir el mismo número entero, la relación de equivalencia las agrupa. Por ejemplo:
\[ [(3,1)]=[(5,3)]=[(100,98)] \]
Todos esos pares representan al mismo número entero: \(2\).
No es un punto ni una fracción
El par \((a,b)\), en este contexto, no representa un punto en el plano cartesiano ni la fracción \( \frac{a}{b} \).
Es una forma específica de construir números enteros usando pares de números naturales.
Definición de operaciones en \( \mathbb{Z} \)
La suma y el producto de enteros se definen a partir de sus representantes como pares ordenados.
Suma:
\[ [(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)] \]
Producto:
\[ [(a,b)]\cdot[(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)] \]
Estas definiciones son consistentes: no importa qué representante se elija de cada clase, el resultado representa siempre el mismo número entero.
Ejemplo numérico: suma
Sumemos \(+2\) y \(+2\).
Usaremos los representantes \([(3,1)]\) para el primer \(+2\) y \([(4,2)]\) para el segundo.
Aplicamos la definición de suma:
\[ [(3,1)]+[(4,2)]=[(3+4,1+2)] \]
Entonces:
\[ [(3,1)]+[(4,2)]=[(7,3)] \]
La clase \([(7,3)]\) representa el entero:
\[ 7-3=4 \]
Por lo tanto:
\[ 2+2=4 \]
Ejemplo numérico: producto
Calculemos el producto de \(+2\) y \(-2\).
Usaremos los representantes \([(3,1)]\) para \(+2\) y \([(1,3)]\) para \(-2\).
Aplicamos la definición de producto:
\[ [(3,1)]\cdot[(1,3)]=[(3\cdot1+1\cdot3,\;3\cdot3+1\cdot1)] \]
Calculamos:
\[ [(3\cdot1+1\cdot3,\;3\cdot3+1\cdot1)]=[(3+3,9+1)] \]
Entonces:
\[ [(3,1)]\cdot[(1,3)]=[(6,10)] \]
La clase \([(6,10)]\) representa el entero:
\[ 6-10=-4 \]
Por lo tanto:
\[ 2\cdot(-2)=-4 \]
Conclusión
Esta construcción permite extender los números naturales \( \mathbb{N} \) al conjunto de los enteros \( \mathbb{Z} \) de manera lógica y consistente.
Así, los números negativos y el cero pueden entenderse como clases de pares ordenados, y sus operaciones se definen a partir de reglas basadas en los números naturales.