Libro Números Enteros
15. Operaciones con Valor Absoluto
Operaciones con Valor Absoluto
¿Qué significa operar con valor absoluto?
Cuando aparece una expresión como \( |a-b| \), primero se calcula lo que está dentro de las barras, y luego se aplica el valor absoluto.
El valor absoluto representa la distancia al cero, por lo tanto su resultado siempre es positivo o cero.
Pasos para resolver
- Resuelve primero lo que está dentro de las barras de valor absoluto.
- Aplica el valor absoluto: si el resultado interno es negativo, se transforma en positivo.
Ejemplo:
\[ |3-7|=|-4|=4 \]
Práctica guiada
- \(|5-8|\)
- \(|-3+4|\)
- \(|(-2)^2-5|\)
- \(\left||4|-|7|\right|\)
- \(|(-6)\cdot3|\)
- \(|-(-8)|\)
- \(|10-(-5)|\)
- \(\left||-9|-3\right|\)
- \(|(-4)^2-20|\)
- \(|0-(-7)|\)
- \(|-(3\cdot4)|\)
- \(\left||2|+|-5|\right|\)
- \(|5-8|=|-3|=3\)
- \(|-3+4|=|1|=1\)
- \(|(-2)^2-5|=|4-5|=|-1|=1\)
- \(\left||4|-|7|\right|=|4-7|=|-3|=3\)
- \(|(-6)\cdot3|=|-18|=18\)
- \(|-(-8)|=|8|=8\)
- \(|10-(-5)|=|10+5|=|15|=15\)
- \(\left||-9|-3\right|=|9-3|=|6|=6\)
- \(|(-4)^2-20|=|16-20|=|-4|=4\)
- \(|0-(-7)|=|0+7|=|7|=7\)
- \(|-(3\cdot4)|=|-12|=12\)
- \(\left||2|+|-5|\right|=|2+5|=|7|=7\)
Consejo
Resuelve siempre primero lo que está dentro de las barras de valor absoluto.
Si la expresión tiene varias operaciones, recuerda usar la jerarquía de operaciones:
\[ \text{paréntesis} \rightarrow \text{potencias} \rightarrow \text{multiplicación/división} \rightarrow \text{suma/resta} \]
Valor absoluto dentro de expresiones con varias operaciones
Ahora usaremos el valor absoluto dentro de expresiones con varias operaciones.
Las barras de valor absoluto funcionan como un agrupador: primero se resuelve todo lo que está dentro de ellas, respetando la jerarquía de operaciones, y después se aplica el valor absoluto.
Luego, si la expresión tiene operaciones fuera de las barras, se continúa resolviendo normalmente.
El valor absoluto no cambia toda la expresión
El valor absoluto solo afecta a lo que está dentro de sus barras.
Por ejemplo:
\[ |-5|+2=5+2=7 \]
Pero si el signo negativo está fuera del valor absoluto, se conserva:
\[ -|-5|=-5 \]
Por eso, una expresión completa que contiene valores absolutos puede tener resultado negativo, si hay operaciones fuera de las barras.
Ejemplos con Jerarquía de Operaciones
Ejemplo 1: valor absoluto dentro de una suma
Resolvamos:
\[ 3+|2-9| \]
Primero resolvemos dentro del valor absoluto:
\[ 2-9=-7 \]
Luego aplicamos valor absoluto:
\[ |-7|=7 \]
Finalmente sumamos:
\[ 3+7=10 \]
Por lo tanto:
\[ 3+|2-9|=10 \]
Ejemplo 2: potencias y multiplicación dentro del valor absoluto
Resolvamos:
\[ |(-3)^2-4\cdot5|+6 \]
Primero resolvemos la potencia y la multiplicación:
\[ (-3)^2=9 \]
\[ 4\cdot5=20 \]
Luego resolvemos dentro del valor absoluto:
\[ 9-20=-11 \]
Aplicamos valor absoluto:
\[ |-11|=11 \]
Finalmente:
\[ 11+6=17 \]
Por lo tanto:
\[ |(-3)^2-4\cdot5|+6=17 \]
Ejemplo 3: valor absoluto multiplicado por un número
Resolvamos:
\[ 2|5-8|-|-4+1| \]
Primero resolvemos dentro de cada valor absoluto:
\[ 5-8=-3 \]
\[ -4+1=-3 \]
Aplicamos valor absoluto:
\[ |-3|=3,\qquad |-3|=3 \]
Reemplazamos:
\[ 2|5-8|-|-4+1|=2\cdot3-3 \]
Finalmente:
\[ 6-3=3 \]
Por lo tanto:
\[ 2|5-8|-|-4+1|=3 \]
Ejemplo 4: valores absolutos anidados
Resolvamos:
\[ \left||-6|-|10-3^2|\right| \]
Primero resolvemos los valores absolutos internos.
\[ |-6|=6 \]
Para el segundo valor absoluto interno, resolvemos primero la potencia:
\[ 3^2=9 \]
Entonces:
\[ |10-3^2|=|10-9|=|1|=1 \]
Reemplazamos en la expresión original:
\[ \left||-6|-|10-3^2|\right|=|6-1| \]
Finalmente:
\[ |6-1|=|5|=5 \]
Práctica con jerarquía y valor absoluto
Resuelve las siguientes expresiones respetando la jerarquía de operaciones.
- \(4+|3-9|\)
- \(2|5-8|\)
- \(|(-2)^3+10|\)
- \(15-|4-11|\)
- \(|6-2^3|+5\)
- \(3\cdot|-4+9|-2\)
- \(\left||-7|-|2-9|\right|\)
- \(|(-5)\cdot2+3^2|\)
- \(|12\div(-3)-5|\)
- \(-|4-10|+2^3\)
-
\[ 4+|3-9|=4+|-6| \]
\[ 4+6=10 \]
-
\[ 2|5-8|=2|-3| \]
\[ 2\cdot3=6 \]
-
Primero resolvemos la potencia:
\[ (-2)^3=-8 \]
Luego:
\[ |(-2)^3+10|=|-8+10|=|2|=2 \]
-
\[ 15-|4-11|=15-|-7| \]
\[ 15-7=8 \]
-
Primero resolvemos la potencia:
\[ 2^3=8 \]
Luego:
\[ |6-2^3|+5=|6-8|+5=|-2|+5 \]
\[ 2+5=7 \]
-
\[ 3\cdot|-4+9|-2=3\cdot|5|-2 \]
\[ 3\cdot5-2=15-2=13 \]
-
Primero resolvemos los valores absolutos internos:
\[ |-7|=7,\qquad |2-9|=|-7|=7 \]
Luego:
\[ \left||-7|-|2-9|\right|=|7-7|=|0|=0 \]
-
Primero resolvemos multiplicación y potencia:
\[ (-5)\cdot2=-10,\qquad 3^2=9 \]
Luego:
\[ |(-5)\cdot2+3^2|=|-10+9|=|-1|=1 \]
-
Primero resolvemos la división:
\[ 12\div(-3)=-4 \]
Luego:
\[ |12\div(-3)-5|=|-4-5|=|-9|=9 \]
-
Primero resolvemos el valor absoluto y la potencia:
\[ |4-10|=|-6|=6 \]
\[ 2^3=8 \]
Como el signo negativo está fuera del valor absoluto:
\[ -|4-10|+2^3=-6+8=2 \]
Desafíos con literales
- Si \(x=-3\), calcula \(|x+5|\).
- Si \(a=-4\) y \(b=2\), calcula \(\left||a|-|b|\right|\).
- Si \(m=-6\), calcula \(|m|+|-m|\).
- Si \(y=-2\), calcula \(|y^2-5|\).
-
Sustituimos \(x=-3\):
\[ |x+5|=|-3+5|=|2|=2 \]
-
Sustituimos \(a=-4\) y \(b=2\):
\[ \left||a|-|b|\right|=\left||-4|-|2|\right| \]
\[ |-4|=4,\qquad |2|=2 \]
\[ |4-2|=|2|=2 \]
-
Sustituimos \(m=-6\):
\[ |m|+|-m|=|-6|+|-(-6)| \]
\[ |-6|+|6|=6+6=12 \]
-
Sustituimos \(y=-2\):
\[ |y^2-5|=|(-2)^2-5| \]
\[ |4-5|=|-1|=1 \]
Desafíos con literales y varias operaciones
Sustituye el valor indicado y luego resuelve respetando la jerarquía de operaciones.
- Si \(x=-3\), calcula \(2|x+5|-1\).
- Si \(a=-4\) y \(b=2\), calcula \(|a-b|+|ab|\).
- Si \(m=-6\), calcula \(|m^2-40|\).
- Si \(y=-2\), calcula \(3|y-4|-|y^2-1|\).
- Si \(p=5\) y \(q=-1\), calcula \(|p+2q|-p|q|\).
-
Sustituimos \(x=-3\):
\[ 2|x+5|-1=2|-3+5|-1 \]
\[ =2|2|-1=4-1=3 \]
-
Sustituimos \(a=-4\) y \(b=2\):
\[ |a-b|+|ab|=|-4-2|+|(-4)\cdot2| \]
\[ =|-6|+|-8|=6+8=14 \]
-
Sustituimos \(m=-6\):
\[ |m^2-40|=|(-6)^2-40| \]
\[ =|36-40|=|-4|=4 \]
-
Sustituimos \(y=-2\):
\[ 3|y-4|-|y^2-1|=3|-2-4|-|(-2)^2-1| \]
\[ =3|-6|-|4-1| \]
\[ =3\cdot6-3=18-3=15 \]
-
Sustituimos \(p=5\) y \(q=-1\):
\[ |p+2q|-p|q|=|5+2(-1)|-5|-1| \]
\[ =|5-2|-5\cdot1 \]
\[ =|3|-5=3-5=-2 \]
El resultado final puede ser negativo porque hay una resta fuera del valor absoluto.