CAPITULO 3 Productos notables

1. Productos Notables

Descubriendo los Productos Notables: ¡Multiplicar se vuelve más fácil!

Los productos notables son una herramienta muy útil en álgebra que nos permiten simplificar y agilizar la multiplicación de ciertas expresiones. En esta página, vamos a comenzar nuestro viaje explorando la base de todo: la propiedad distributiva.

Repaso de la Propiedad Distributiva

La propiedad distributiva establece que la multiplicación de un número por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número por cada uno de los sumandos.

🌍 Ejemplo en el mundo real: Imagina que tienes 3 cajas, y cada caja contiene 2 manzanas y 4 naranjas. Para saber cuántas frutas tienes en total, puedes calcularlo de dos maneras:

Sumar las frutas de una caja (2 manzanas + 4 naranjas = 6 frutas) y luego multiplicar por el número de cajas (6 frutas/caja × 3 cajas = 18 frutas).
O bien, calcular cuántas manzanas tienes (3 cajas × 2 manzanas/caja = 6 manzanas) y cuántas naranjas tienes (3 cajas × 4 naranjas/caja = 12 naranjas), y luego sumar ambas cantidades (6 manzanas + 12 naranjas = 18 frutas).

Ambos métodos te dan el mismo resultado. ¡Eso es la propiedad distributiva en acción!

🤓 Representación Geométrica: Podemos visualizar la propiedad distributiva con el área de rectángulos. Si un rectángulo tiene un lado que mide "a" y el otro lado mide "b + c", su área total es $ a \cdot (b + c) $. Este rectángulo grande se puede dividir en dos más pequeños: uno con área $a \cdot b$ y otro con área $a \cdot c$. La suma de las áreas pequeñas es igual al área del rectángulo grande.

📐 Fórmula General: La propiedad distributiva se expresa con la siguiente fórmula:

$ a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) $

💡 Pero... ¿Por qué es tan importante si puedo sumar primero?

En el ejemplo numérico $5 \cdot (10 + 4)$, es fácil calcular $5 \cdot 14 = 70$. Tienes razón. La verdadera magia de la propiedad distributiva aparece en el álgebra.

Si la expresion fuera $5 \cdot (x + 4)$ no podriamos sumar primero $x + 4$ porque no son "términos semejantes". ¡Es imposible simplificarlo más! La propiedad distributiva es la única herramienta que nos permite "romper" ese paréntesis en $5 \cdot (x + 4)$ y seguir trabajando con la expresión. Por eso es fundamental.

Ahora, ¡a practicar con algunos ejercicios!

Ejercicios (Propiedad Distributiva)

✨ Ejemplo Guiado (Nivel 1): Vamos a resolver juntos $ 5 \cdot (10 + 4) $.

Aquí, $a=5$, $b=10$ y $c=4$.

Aplicamos la fórmula $ a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) $:

$ 5 \cdot (10 + 4) = (5 \cdot 10) + (5 \cdot 4) $

Calculamos cada multiplicación:

$ = 50 + 20 $

Y sumamos:

$ = 70 $

Comprobación: Si sumamos primero dentro del paréntesis, obtenemos $ 5 \cdot (14) $, lo que también es 70. ¡Funciona perfecto!

Nivel 1: Ejercicios simples con números enteros.

Ejercicio 1: $ 3 \cdot (4 + 5) $

Ejercicio 2: $ 7 \cdot (2 + 8) $

Ejercicio 3: $ 5 \cdot (9 + 1) $

Ejercicio 4: $ 2 \cdot (6 + 3) $

✨ Ejemplo Guiado (Nivel 2): Resolvamos $ 6 \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) $.

Distribuimos el 6 a cada fracción dentro del paréntesis:

$ 6 \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = (6 \cdot \frac{1}{2}) + (6 \cdot \frac{1}{3}) $

Ahora, calculamos cada producto. Recuerda que multiplicar un entero por una fracción es multiplicar el entero por el numerador:

$ = \frac{6}{2} + \frac{6}{3} $

Simplificamos las fracciones:

$ = 3 + 2 = 5 $

Nivel 2: Ahora con números racionales (decimales y fracciones).

Ejercicio 1: $ 2 \cdot (0.5 + 1.5) $

Ejercicio 2: $ 4 \cdot (\frac{1}{2} + \frac{3}{4}) $

Ejercicio 3: $ 3 \cdot (1\frac{1}{2} + 2) $

Ejercicio 4: $ 0.8 \cdot (5 + 2.5) $

✨ Ejemplo Guiado (Nivel 3): Expandamos la expresión $ 4x \cdot (2y + 3) $.

Multiplicamos el término de afuera ($4x$) por cada término de adentro ($2y$ y $3$).

1. Primer término: $ (4x \cdot 2y) = 8xy $

2. Segundo término: $ (4x \cdot 3) = 12x $

Juntamos los resultados:

$ 4x \cdot (2y + 3) = 8xy + 12x $

🤓 Nota: La expresión queda así. No podemos sumar $8xy$ y $12x$ porque no son "términos semejantes" (uno tiene 'y' y el otro no).

Nivel 3: Mezclando números y letras (álgebra).

1. $ 2 \cdot (3 + 4) $

2. $ 5 \cdot (1.2 + 2.8) $

3. $ \frac{1}{3} \cdot (6 + 9) $

4. $ 2\frac{1}{4} \cdot (4 + 8) $

5. $ 3 \cdot (x + 4) $

6. $ a \cdot (2 + 7) $

7. $ 0.5 \cdot (4a + 6) $

8. $ \frac{2}{3} \cdot (6x + 9y) $

9. $ 4 \cdot (2a + 3b) $

10. $ x \cdot (y + z) $

11. $ 1.2 \cdot (5m + 2.5n) $

12. $ 2 \cdot (x + y + 3) $

13. $ m \cdot (2 + n + p) $

14. $ \frac{1}{2} \cdot (4x + 6y + 8z) $

Yendo al revés: La Factorización

💡 Idea Clave: La factorización es el proceso inverso a la propiedad distributiva. En lugar de multiplicar para expandir una expresión, buscamos el factor que es común en todos los términos para "contraerla".

Por ejemplo: en $3x + 12$, nos preguntamos: ¿qué número o letra se repite en ambos términos? Vemos que 12 es $3 \cdot 4$, entonces el 3 es un factor común. Así, $3x + 12 = 3(x + 4)$.

✨ Ejemplo Guiado (Nivel 4): Vamos a factorizar la expresión $ 12a^2b + 18ab^2 $.

Buscamos el Máximo Factor Común (MFC) pieza por pieza:

Números (12 y 18): El número más grande que divide a ambos es el 6.
Letra 'a' ($a^2$ y $a$): Escogemos la de menor exponente, es decir, a.
Letra 'b' ($b$ y $b^2$): Escogemos la de menor exponente, es decir, b.

Nuestro MFC es $6ab$. Ahora, lo ponemos fuera de un paréntesis y dividimos cada término original por él:

$ \frac{12a^2b}{6ab} = 2a $

$ \frac{18ab^2}{6ab} = 3b $

El resultado final es:

$ 12a^2b + 18ab^2 = 6ab(2a + 3b) $

Nivel 4: Factoriza las siguientes expresiones algebraicas.

1. $ 6x + 9y $

2. $ 10ab + 15ac $

3. $ 4m + 12mn $

4. $ 7xy + 14xz $

5. $ 2a + 4b + 8c $

6. $ 5x + 10x^2 $

7. $ 18abc + 9ad $

8. $ \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}y $

9. $ 2.5m + 5n $

10. $ 3ab + 6ac + 9ad $

11. $ 14x + 7y $

12. $ 8mn + 4m $

13. $ \frac{3}{4}a + \frac{1}{4}b $

14. $ 9x + 6xy + 3xz $

⚠️ ¡Cuidado con el "1" fantasma! Un error muy común al factorizar es olvidar el '1'. Por ejemplo, en $8mn + 4m$, el factor común es $4m$. Al dividir $8mn$ por $4m$ obtenemos $2n$. Pero al dividir $4m$ por $4m$ obtenemos $1$. ¡No cero! Por eso la respuesta correcta es $4m(2n + 1)$ y no $4m(2n)$.

Aplicaciones: Problemas de la vida real

✨ Ejemplo Guiado: Calculando una compra

Problema: Imagina que para una convivencia compras 4 bebidas a $1.200 cada una y 4 paquetes de galletas a $800 cada uno. ¿Cuánto gastas en total?

Podemos resolver esto de dos formas que demuestran la propiedad distributiva:

Método 1: Sumar los costos individuales.

Calculamos el total de las bebidas y el total de las galletas por separado y luego sumamos.

$ (4 \cdot 1200) + (4 \cdot 800) = 4800 + 3200 = \$8000 $

Método 2: Usar la distributividad (factorizando).

Como compramos 4 unidades de cada cosa, podemos sumar el precio de "un combo" (bebida + galletas) y luego multiplicar por 4.

$ 4 \cdot (1200 + 800) = 4 \cdot (2000) = \$8000 $

Conclusión: Ambos caminos llevan al mismo resultado. La propiedad distributiva nos permite pasar de una forma a la otra.

Problema 1: Tres amigos van a un complejo deportivo. Cada uno debe pagar una entrada de $5.000 y arrendar un casillero por $1.500. ¿Cuál es el costo total para el grupo? (Exprésalo usando la propiedad distributiva).

Problema 2: Un terreno rectangular se divide en dos para plantar. La primera sección tiene un largo de 10 metros y la segunda tiene un largo de 8 metros. Ambas secciones tienen el mismo ancho de $x$ metros. Escribe una expresión simplificada para el área total del terreno.

Problema 3: Una tienda de ropa tiene una oferta de "20% de descuento en el total de tu compra". Ana elige una polera de $12.000 y un pantalón de $25.000. ¿Cuánto pagará Ana en total?
(Pista: Pagar con un 20% de descuento es lo mismo que pagar el 80% del precio original).

El Gran Salto: De la Distribución al Primer Producto Notable

🌍 ¡Ahora, el gran final!

Has dominado la propiedad distributiva. ¿Qué pasa si te pido calcular $ (x+3)^2 $?

Recuerda que elevar al cuadrado es multiplicar por sí mismo: $ (x+3)^2 = (x+3)(x+3) $. Para resolverlo, distribuiremos cada parte del primer paréntesis sobre el segundo. ¡Vamos a usar colores para que quede más claro!

$ (\textcolor{blue}{x} \textcolor{red}{+3})(x+3) $

Paso 1: Tomamos la primera parte ($\textcolor{blue}{x}$) y la multiplicamos por todo el segundo paréntesis.

$ \textcolor{blue}{x}(x+3) = (\textcolor{blue}{x} \cdot x) + (\textcolor{blue}{x} \cdot 3) = \textcolor{blue}{x^2 + 3x} $

Paso 2: Ahora tomamos la segunda parte ($\textcolor{red}{+3}$) y hacemos exactamente lo mismo.

$ \textcolor{red}{+3}(x+3) = (\textcolor{red}{+3} \cdot x) + (\textcolor{red}{+3} \cdot 3) = \textcolor{red}{+3x + 9} $

Paso 3: Finalmente, juntamos todos los resultados y sumamos los "términos semejantes".

$ \textcolor{blue}{x^2 + 3x} \textcolor{red}{+3x + 9} = x^2 + 6x + 9 $

¡Así, hemos demostrado que $ (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 $ !

📐 ¡Acabas de descubrir el primer Producto Notable!

El patrón general para el Cuadrado de un Binomio es:

$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $

Que se lee: "El primer término al cuadrado, más el doble del primero por el segundo, más el segundo al cuadrado". ¡Esto es lo que exploraremos en la siguiente lección!