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3. El Cuadrado de un Binomio: el caso de la resta
En la página anterior exploramos el cuadrado de un binomio cuando se trata de una suma, \((a+b)^2\). Ahora analizaremos el caso de la resta, es decir, expresiones de la forma \((a-b)^2\).
Desarrollo del Producto Notable \((a-b)^2\)
¿Qué significa elevar un binomio resta al cuadrado?
Al igual que con la suma, elevar un binomio al cuadrado significa multiplicarlo por sí mismo. Entonces:
\[ (a-b)^2=(a-b)(a-b) \]
Usando la propiedad distributiva:
\[ (a-b)(a-b)=a(a-b)-b(a-b) \]
\[ =a^2-ab-ba+b^2 \]
Como \(ab\) y \(ba\) representan el mismo producto, se suman:
\[ a^2-ab-ba+b^2=a^2-2ab+b^2 \]
Fórmula del cuadrado de un binomio resta
El desarrollo de un cuadrado de binomio resta siempre sigue este patrón:
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]
Se lee: el primer término al cuadrado, menos el doble del producto del primer término por el segundo, más el segundo término al cuadrado.
Ejemplo visual
Imagina un cuadrado grande de lado \(a\). Si se reduce su lado en una cantidad \(b\), el nuevo lado será \(a-b\).
El área del cuadrado nuevo será:
\[ (a-b)^2 \]
Al desarrollar esta expresión, se obtiene:
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]
El término \(+b^2\) aparece porque al restar dos franjas de área \(ab\), una pequeña región de área \(b^2\) se ha quitado dos veces y debe compensarse sumándola una vez.
Ejercicios: cuadrado de un binomio resta
Ejemplo guiado: nivel 1
Resolvamos \((7-3)^2\) usando la fórmula.
Identificamos \(a=7\) y \(b=3\).
Aplicamos:
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]
\[ (7-3)^2=7^2-2\cdot 7\cdot 3+3^2 \]
\[ =49-42+9=16 \]
Comprobación:
\[ (7-3)^2=4^2=16 \]
Nivel 1: expandir con valores enteros
- \((5-2)^2\)
- \((8-3)^2\)
- \((4-1)^2\)
- \((9-5)^2\)
1. \[ (5-2)^2=5^2-2\cdot 5\cdot 2+2^2=25-20+4=9 \]
2. \[ (8-3)^2=8^2-2\cdot 8\cdot 3+3^2=64-48+9=25 \]
3. \[ (4-1)^2=4^2-2\cdot 4\cdot 1+1^2=16-8+1=9 \]
4. \[ (9-5)^2=9^2-2\cdot 9\cdot 5+5^2=81-90+25=16 \]
Ejemplo guiado: nivel 2
Resolvamos \((2{,}5-1)^2\) usando la fórmula.
Identificamos \(a=2{,}5\) y \(b=1\).
\[ (2{,}5-1)^2=(2{,}5)^2-2(2{,}5)(1)+1^2 \]
\[ =6{,}25-5+1=2{,}25 \]
Comprobación:
\[ (2{,}5-1)^2=(1{,}5)^2=2{,}25 \]
Nivel 2: expandir con valores racionales
- \((1-0{,}5)^2\)
- \(\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\right)^2\)
- \(\left(3-1\frac{1}{2}\right)^2\)
- \((2{,}5-0{,}5)^2\)
1. \[ (1-0{,}5)^2=1^2-2(1)(0{,}5)+(0{,}5)^2 \]
\[ =1-1+0{,}25=0{,}25 \]
2. \[ \left(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\right)^2= \left(\frac{3}{4}\right)^2- 2\left(\frac{3}{4}\right)\left(\frac{1}{2}\right)+ \left(\frac{1}{2}\right)^2 \]
\[ =\frac{9}{16}-\frac{3}{4}+\frac{1}{4} =\frac{9}{16}-\frac{12}{16}+\frac{4}{16} =\frac{1}{16} \]
3. Primero escribimos \(1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\):
\[ \left(3-\frac{3}{2}\right)^2= 3^2-2\cdot 3\cdot \frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^2 \]
\[ =9-9+\frac{9}{4}=\frac{9}{4}=2{,}25 \]
4. \[ (2{,}5-0{,}5)^2=(2{,}5)^2-2(2{,}5)(0{,}5)+(0{,}5)^2 \]
\[ =6{,}25-2{,}5+0{,}25=4 \]
Ejemplo guiado: nivel 3
Expandamos \((4x-y)^2\).
Identificamos \(a=4x\) y \(b=y\).
Primer término al cuadrado:
\[ (4x)^2=16x^2 \]
Menos el doble producto del primero por el segundo:
\[ -2(4x)(y)=-8xy \]
Segundo término al cuadrado:
\[ y^2 \]
Resultado:
\[ (4x-y)^2=16x^2-8xy+y^2 \]
Nivel 3: expandir con expresiones algebraicas
- \((x-3)^2\)
- \((a-5)^2\)
- \((m-n)^2\)
- \((3x-2)^2\)
- \((5-2y)^2\)
- \(\left(2a-\frac{1}{2}\right)^2\)
- \((1{,}5-0{,}5x)^2\)
- \((x-y)^2\)
- \((4a-3b)^2\)
- \(\left(\frac{2}{3}-m\right)^2\)
- \((x-2{,}5)^2\)
- \((5x-2y)^2\)
- \(\left(\frac{1}{2}m-\frac{2}{3}n\right)^2\)
- \((0{,}2x-1)^2\)
1. \[ (x-3)^2=x^2-2(x)(3)+3^2=x^2-6x+9 \]
2. \[ (a-5)^2=a^2-2(a)(5)+5^2=a^2-10a+25 \]
3. \[ (m-n)^2=m^2-2mn+n^2 \]
4. \[ (3x-2)^2=(3x)^2-2(3x)(2)+2^2=9x^2-12x+4 \]
5. \[ (5-2y)^2=5^2-2(5)(2y)+(2y)^2=25-20y+4y^2 \]
6. \[ \left(2a-\frac{1}{2}\right)^2=(2a)^2-2(2a)\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)^2 \]
\[ =4a^2-2a+\frac{1}{4} \]
7. \[ (1{,}5-0{,}5x)^2=(1{,}5)^2-2(1{,}5)(0{,}5x)+(0{,}5x)^2 \]
\[ =2{,}25-1{,}5x+0{,}25x^2 \]
8. \[ (x-y)^2=x^2-2xy+y^2 \]
9. \[ (4a-3b)^2=(4a)^2-2(4a)(3b)+(3b)^2=16a^2-24ab+9b^2 \]
10. \[ \left(\frac{2}{3}-m\right)^2=\left(\frac{2}{3}\right)^2-2\left(\frac{2}{3}\right)m+m^2 \]
\[ =\frac{4}{9}-\frac{4}{3}m+m^2 \]
11. \[ (x-2{,}5)^2=x^2-2(x)(2{,}5)+(2{,}5)^2=x^2-5x+6{,}25 \]
12. \[ (5x-2y)^2=(5x)^2-2(5x)(2y)+(2y)^2=25x^2-20xy+4y^2 \]
13. \[ \left(\frac{1}{2}m-\frac{2}{3}n\right)^2= \left(\frac{1}{2}m\right)^2- 2\left(\frac{1}{2}m\right)\left(\frac{2}{3}n\right)+ \left(\frac{2}{3}n\right)^2 \]
\[ =\frac{1}{4}m^2-\frac{2}{3}mn+\frac{4}{9}n^2 \]
14. \[ (0{,}2x-1)^2=(0{,}2x)^2-2(0{,}2x)(1)+1^2 \]
\[ =0{,}04x^2-0{,}4x+1 \]
Cuidado con los signos
En el cuadrado de una resta, el término del medio es negativo:
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]
Pero el último término siempre queda positivo, porque proviene de multiplicar \((-b)(-b)\).
Error típico
No confundas el cuadrado de una resta con una diferencia de cuadrados:
\[ (a-b)^2\neq a^2-b^2 \]
Lo correcto es:
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]
Factorizando un Trinomio Cuadrado Perfecto con resta
Proceso inverso
Para factorizar una expresión de la forma \(a^2-2ab+b^2\), buscamos el binomio \((a-b)^2\) que la originó.
\[ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 \]
La pista está en el signo
Al factorizar un trinomio cuadrado perfecto, si el término del medio es negativo, entonces el binomio será una resta:
\[ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 \]
Si el término del medio es positivo, entonces el binomio será una suma.
Ejemplo guiado: nivel 4
Factoricemos \(9x^2-12x+4\).
Paso 1: identificar las raíces de los extremos.
- La raíz de \(9x^2\) es \(3x\).
- La raíz de \(4\) es \(2\).
Paso 2: verificar el término del medio.
\[ -2(3x)(2)=-12x \]
Coincide con el término del medio.
Paso 3: escribir el resultado.
Como el término del medio es negativo, la factorización es una resta:
\[ 9x^2-12x+4=(3x-2)^2 \]
Nivel 4: factorizar trinomios cuadrados perfectos
- \(x^2-6x+9\)
- \(a^2-10a+25\)
- \(m^2-4m+4\)
- \(9x^2-6x+1\)
- \(4y^2-12y+9\)
- \(a^2-a+\frac{1}{4}\)
- \(4x^2-4x+1\)
- \(x^2-2xy+y^2\)
- \(16a^2-40ab+25b^2\)
- \(m^2-\frac{4}{3}m+\frac{4}{9}\)
- \(x^2-5x+6{,}25\)
- \(4x^2-12xy+9y^2\)
- \(\frac{9}{4}m^2-3mn+n^2\)
- \(0{,}04x^2-0{,}4x+1\)
1. Raíces: \(x\) y \(3\). Como \(-2(x)(3)=-6x\), entonces: \[ x^2-6x+9=(x-3)^2 \]
2. Raíces: \(a\) y \(5\). Como \(-2(a)(5)=-10a\), entonces: \[ a^2-10a+25=(a-5)^2 \]
3. Raíces: \(m\) y \(2\). Como \(-2(m)(2)=-4m\), entonces: \[ m^2-4m+4=(m-2)^2 \]
4. Raíces: \(3x\) y \(1\). Como \(-2(3x)(1)=-6x\), entonces: \[ 9x^2-6x+1=(3x-1)^2 \]
5. Raíces: \(2y\) y \(3\). Como \(-2(2y)(3)=-12y\), entonces: \[ 4y^2-12y+9=(2y-3)^2 \]
6. Raíces: \(a\) y \(\frac{1}{2}\). Como \(-2a\left(\frac{1}{2}\right)=-a\), entonces: \[ a^2-a+\frac{1}{4}=\left(a-\frac{1}{2}\right)^2 \]
7. Raíces: \(2x\) y \(1\). Como \(-2(2x)(1)=-4x\), entonces: \[ 4x^2-4x+1=(2x-1)^2 \]
8. Raíces: \(x\) e \(y\). Como \(-2xy\) coincide con el término del medio, entonces: \[ x^2-2xy+y^2=(x-y)^2 \]
9. Raíces: \(4a\) y \(5b\). Como \(-2(4a)(5b)=-40ab\), entonces: \[ 16a^2-40ab+25b^2=(4a-5b)^2 \]
10. Raíces: \(m\) y \(\frac{2}{3}\). Como \(-2m\left(\frac{2}{3}\right)=-\frac{4}{3}m\), entonces: \[ m^2-\frac{4}{3}m+\frac{4}{9}=\left(m-\frac{2}{3}\right)^2 \]
11. Raíces: \(x\) y \(2{,}5\). Como \(-2(x)(2{,}5)=-5x\), entonces: \[ x^2-5x+6{,}25=(x-2{,}5)^2 \]
12. Raíces: \(2x\) y \(3y\). Como \(-2(2x)(3y)=-12xy\), entonces: \[ 4x^2-12xy+9y^2=(2x-3y)^2 \]
13. Raíces: \(\frac{3}{2}m\) y \(n\). Como \[ -2\left(\frac{3}{2}m\right)n=-3mn \] entonces: \[ \frac{9}{4}m^2-3mn+n^2=\left(\frac{3}{2}m-n\right)^2 \]
14. Raíces: \(0{,}2x\) y \(1\). Como \(-2(0{,}2x)(1)=-0{,}4x\), entonces: \[ 0{,}04x^2-0{,}4x+1=(0{,}2x-1)^2 \]
Problemas de Aplicación
Ejemplo guiado: nivel 5
Un artista tiene un lienzo cuadrado cuya área se representa por la expresión \(x^2-18x+81\) cm². ¿Cuál es la longitud del lado del lienzo?
Paso 1: entender el problema.
Nos dan el área de un cuadrado y nos piden la medida de su lado. Sabemos que:
\[ \text{Área}=lado^2 \]
Paso 2: factorizar el área.
\[ x^2-18x+81=(x-9)^2 \]
Verificación del término del medio:
\[ -2(x)(9)=-18x \]
Paso 3: interpretar el resultado.
Como el área es \((x-9)^2\), el lado del lienzo mide:
\[ x-9 \]
La longitud del lado del lienzo es \(x-9\) cm.
Problema 1
El área de un cuadrado es \(x^2-14x+49\) unidades cuadradas. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado en términos de \(x\)?
Factorizamos el área:
\[ x^2-14x+49=(x-7)^2 \]
Verificación del término del medio:
\[ -2(x)(7)=-14x \]
Como el área de un cuadrado es \(lado^2\), entonces:
\[ lado=x-7 \]
La longitud del lado es \(x-7\) unidades.
Problema 2
Un escenario cuadrado tiene un área de \(9x^2-12x+4\) metros cuadrados. Se quiere colocar una alfombra que cubra todo el escenario. ¿Cuáles son las dimensiones de la alfombra en términos de \(x\)?
Factorizamos el área:
\[ 9x^2-12x+4=(3x-2)^2 \]
Verificación del término del medio:
\[ -2(3x)(2)=-12x \]
Como el escenario es cuadrado, sus lados miden \(3x-2\) metros.
Por lo tanto, la alfombra debe medir:
\[ (3x-2)\text{ metros por }(3x-2)\text{ metros} \]
Problema 3
Una zona cuadrada de un parque tiene un lado inicial de \(a\) metros. Por una remodelación, cada lado se reduce en \(3b\) metros. El área de la nueva zona cuadrada se expresa como \(a^2-6ab+9b^2\). ¿Cuál es la longitud del nuevo lado?
Factorizamos el área de la nueva zona cuadrada:
\[ a^2-6ab+9b^2=(a-3b)^2 \]
Verificación del término del medio:
\[ -2(a)(3b)=-6ab \]
Como el área de un cuadrado es \(lado^2\), el nuevo lado corresponde a la base del cuadrado perfecto:
\[ lado=a-3b \]
La longitud del nuevo lado es \(a-3b\) metros.