Libro Productos Notables
4. Suma por Diferencia: un producto notable especial
Hemos visto cómo desarrollar el cuadrado de un binomio, tanto para la suma como para la resta. Ahora exploraremos otro producto notable muy importante y útil: la suma por diferencia, que tiene la forma \((a+b)(a-b)\).
Desarrollo del Producto Notable \((a+b)(a-b)\)
¿Qué ocurre al multiplicar una suma por una diferencia?
Para desarrollar la expresión \((a+b)(a-b)\), aplicamos la propiedad distributiva.
\[ (a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b) \]
\[ =a^2-ab+ba-b^2 \]
Como \(-ab\) y \(+ba\) son términos semejantes con signos opuestos, se anulan entre sí:
\[ a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2 \]
Fórmula de la suma por diferencia
El resultado de multiplicar una suma por una diferencia es siempre la diferencia de los cuadrados de ambos términos:
\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \]
Se lee: el primer término al cuadrado, menos el segundo término al cuadrado.
Un truco para el cálculo mental
Esta propiedad permite calcular algunas multiplicaciones de manera más rápida.
Por ejemplo, para calcular \(28\cdot 32\), observamos que ambos números están a la misma distancia de \(30\):
\[ 28=30-2 \]
\[ 32=30+2 \]
Entonces:
\[ 28\cdot 32=(30-2)(30+2) \]
Aplicamos suma por diferencia:
\[ (30-2)(30+2)=30^2-2^2=900-4=896 \]
Ejercicios: suma por diferencia
Ejemplo guiado: nivel 1
Resolvamos \((10+3)(10-3)\) usando la fórmula.
Identificamos \(a=10\) y \(b=3\).
Aplicamos:
\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \]
\[ (10+3)(10-3)=10^2-3^2 \]
\[ =100-9=91 \]
Comprobación:
\[ (10+3)(10-3)=13\cdot 7=91 \]
Nivel 1: expandir con valores enteros
- \((3+2)(3-2)\)
- \((5+1)(5-1)\)
- \((7+4)(7-4)\)
- \((6+3)(6-3)\)
1. \[ (3+2)(3-2)=3^2-2^2=9-4=5 \]
2. \[ (5+1)(5-1)=5^2-1^2=25-1=24 \]
3. \[ (7+4)(7-4)=7^2-4^2=49-16=33 \]
4. \[ (6+3)(6-3)=6^2-3^2=36-9=27 \]
Ejemplo guiado: nivel 2
Resolvamos \((2{,}5+0{,}5)(2{,}5-0{,}5)\) usando la fórmula.
Identificamos \(a=2{,}5\) y \(b=0{,}5\).
\[ (2{,}5+0{,}5)(2{,}5-0{,}5)=(2{,}5)^2-(0{,}5)^2 \]
\[ =6{,}25-0{,}25=6 \]
Comprobación:
\[ (2{,}5+0{,}5)(2{,}5-0{,}5)=3\cdot 2=6 \]
Nivel 2: expandir con valores racionales
- \((1+0{,}5)(1-0{,}5)\)
- \(\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\right)\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\right)\)
- \(\left(2\frac{1}{2}+1\right)\left(2\frac{1}{2}-1\right)\)
- \((3{,}5-1{,}5)(3{,}5+1{,}5)\)
1. \[ (1+0{,}5)(1-0{,}5)=1^2-(0{,}5)^2=1-0{,}25=0{,}75 \]
2. \[ \left(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\right)\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\right) = \left(\frac{3}{4}\right)^2-\left(\frac{1}{4}\right)^2 \]
\[ =\frac{9}{16}-\frac{1}{16}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2} \]
3. Primero escribimos \(2\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\):
\[ \left(2\frac{1}{2}+1\right)\left(2\frac{1}{2}-1\right) = \left(\frac{5}{2}+1\right)\left(\frac{5}{2}-1\right) \]
Usando suma por diferencia con \(a=\frac{5}{2}\) y \(b=1\):
\[ \left(\frac{5}{2}\right)^2-1^2 = \frac{25}{4}-1 = \frac{25}{4}-\frac{4}{4} = \frac{21}{4} \]
4. \[ (3{,}5-1{,}5)(3{,}5+1{,}5)=(3{,}5)^2-(1{,}5)^2 \]
\[ =12{,}25-2{,}25=10 \]
Ejemplo guiado: nivel 3
Expandamos \((5x+2y)(5x-2y)\).
Identificamos \(a=5x\) y \(b=2y\).
Aplicamos la fórmula:
\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \]
\[ (5x+2y)(5x-2y)=(5x)^2-(2y)^2 \]
\[ =25x^2-4y^2 \]
Nivel 3: expandir con expresiones algebraicas
- \((x+2)(x-2)\)
- \((a-3)(a+3)\)
- \((m+n)(m-n)\)
- \((2x+1)(2x-1)\)
- \((5-3y)(5+3y)\)
- \(\left(\frac{1}{2}a+2\right)\left(\frac{1}{2}a-2\right)\)
- \((1{,}5-0{,}5x)(1{,}5+0{,}5x)\)
- \((x+y)(x-y)\)
- \((3a-2b)(3a+2b)\)
- \(\left(m+\frac{1}{3}\right)\left(m-\frac{1}{3}\right)\)
- \((2{,}5-x)(2{,}5+x)\)
- \((4x+3y)(4x-3y)\)
- \(\left(\frac{2}{5}m-\frac{1}{2}n\right)\left(\frac{2}{5}m+\frac{1}{2}n\right)\)
- \((0{,}1x+1)(0{,}1x-1)\)
1. \[ (x+2)(x-2)=x^2-2^2=x^2-4 \]
2. \[ (a-3)(a+3)=a^2-3^2=a^2-9 \]
3. \[ (m+n)(m-n)=m^2-n^2 \]
4. \[ (2x+1)(2x-1)=(2x)^2-1^2=4x^2-1 \]
5. \[ (5-3y)(5+3y)=5^2-(3y)^2=25-9y^2 \]
6. \[ \left(\frac{1}{2}a+2\right)\left(\frac{1}{2}a-2\right) = \left(\frac{1}{2}a\right)^2-2^2 \]
\[ =\frac{1}{4}a^2-4 \]
7. \[ (1{,}5-0{,}5x)(1{,}5+0{,}5x)=(1{,}5)^2-(0{,}5x)^2 \]
\[ =2{,}25-0{,}25x^2 \]
8. \[ (x+y)(x-y)=x^2-y^2 \]
9. \[ (3a-2b)(3a+2b)=(3a)^2-(2b)^2=9a^2-4b^2 \]
10. \[ \left(m+\frac{1}{3}\right)\left(m-\frac{1}{3}\right) = m^2-\left(\frac{1}{3}\right)^2 = m^2-\frac{1}{9} \]
11. \[ (2{,}5-x)(2{,}5+x)=(2{,}5)^2-x^2=6{,}25-x^2 \]
12. \[ (4x+3y)(4x-3y)=(4x)^2-(3y)^2=16x^2-9y^2 \]
13. \[ \left(\frac{2}{5}m-\frac{1}{2}n\right)\left(\frac{2}{5}m+\frac{1}{2}n\right) = \left(\frac{2}{5}m\right)^2-\left(\frac{1}{2}n\right)^2 \]
\[ =\frac{4}{25}m^2-\frac{1}{4}n^2 \]
14. \[ (0{,}1x+1)(0{,}1x-1)=(0{,}1x)^2-1^2=0{,}01x^2-1 \]
Cuidado con los paréntesis
Al igual que en los otros productos notables, cuando elevas un término al cuadrado debes elevar todo el término.
Por ejemplo:
\[ (5x)^2=25x^2 \]
No es correcto escribir \(5x^2\), porque el coeficiente \(5\) también debe elevarse al cuadrado.
No confundir con el cuadrado de una resta
La suma por diferencia y el cuadrado de una resta son productos notables distintos:
\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \]
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]
Factorizando una Diferencia de Cuadrados
Proceso inverso
Este es uno de los casos de factorización más importantes. Si identificas una expresión con dos términos que son cuadrados perfectos y que se están restando, puedes factorizarla como una suma por diferencia.
\[ a^2-b^2=(a+b)(a-b) \]
Procedimiento para factorizar una diferencia de cuadrados
Para factorizar \(a^2-b^2\), seguimos estos pasos:
- Verificar la forma: debe haber dos términos, ambos cuadrados perfectos, y deben estar restándose.
- Encontrar las raíces: la raíz cuadrada de \(a^2\) es \(a\), y la raíz cuadrada de \(b^2\) es \(b\).
- Escribir el resultado: las raíces se escriben como suma y como resta: \[ a^2-b^2=(a+b)(a-b) \]
Ejemplo guiado: nivel 4
Factoricemos \(36m^2-49n^2\).
Paso 1: verificar la forma.
La expresión tiene dos términos, se están restando y ambos son cuadrados perfectos.
Paso 2: encontrar las raíces.
- La raíz de \(36m^2\) es \(6m\).
- La raíz de \(49n^2\) es \(7n\).
Paso 3: escribir el resultado.
\[ 36m^2-49n^2=(6m+7n)(6m-7n) \]
Nivel 4: factorizar diferencias de cuadrados
- \(x^2-4\)
- \(a^2-25\)
- \(m^2-n^2\)
- \(4x^2-1\)
- \(16-9y^2\)
- \(\frac{1}{4}a^2-4\)
- \(2{,}25-0{,}25x^2\)
- \(x^2-y^2\)
- \(9a^2-4b^2\)
- \(m^2-\frac{1}{9}\)
- \(6{,}25-x^2\)
- \(16x^2-9y^2\)
- \(\frac{4}{25}m^2-\frac{1}{4}n^2\)
- \(0{,}01x^2-1\)
1. Raíces: \(x\) y \(2\). Entonces: \[ x^2-4=(x+2)(x-2) \]
2. Raíces: \(a\) y \(5\). Entonces: \[ a^2-25=(a+5)(a-5) \]
3. Raíces: \(m\) y \(n\). Entonces: \[ m^2-n^2=(m+n)(m-n) \]
4. Raíces: \(2x\) y \(1\). Entonces: \[ 4x^2-1=(2x+1)(2x-1) \]
5. Raíces: \(4\) y \(3y\). Entonces: \[ 16-9y^2=(4+3y)(4-3y) \]
6. Raíces: \(\frac{1}{2}a\) y \(2\). Entonces: \[ \frac{1}{4}a^2-4=\left(\frac{1}{2}a+2\right)\left(\frac{1}{2}a-2\right) \]
7. Raíces: \(1{,}5\) y \(0{,}5x\). Entonces: \[ 2{,}25-0{,}25x^2=(1{,}5+0{,}5x)(1{,}5-0{,}5x) \]
8. Raíces: \(x\) e \(y\). Entonces: \[ x^2-y^2=(x+y)(x-y) \]
9. Raíces: \(3a\) y \(2b\). Entonces: \[ 9a^2-4b^2=(3a+2b)(3a-2b) \]
10. Raíces: \(m\) y \(\frac{1}{3}\). Entonces: \[ m^2-\frac{1}{9}=\left(m+\frac{1}{3}\right)\left(m-\frac{1}{3}\right) \]
11. Raíces: \(2{,}5\) y \(x\). Entonces: \[ 6{,}25-x^2=(2{,}5+x)(2{,}5-x) \]
12. Raíces: \(4x\) y \(3y\). Entonces: \[ 16x^2-9y^2=(4x+3y)(4x-3y) \]
13. Raíces: \(\frac{2}{5}m\) y \(\frac{1}{2}n\). Entonces: \[ \frac{4}{25}m^2-\frac{1}{4}n^2= \left(\frac{2}{5}m+\frac{1}{2}n\right) \left(\frac{2}{5}m-\frac{1}{2}n\right) \]
14. Raíces: \(0{,}1x\) y \(1\). Entonces: \[ 0{,}01x^2-1=(0{,}1x+1)(0{,}1x-1) \]
Problemas de Aplicación
Ejemplo guiado: nivel 5
Un jardín rectangular tiene un área de \(4x^2-25\) metros cuadrados. Encuentra expresiones para su largo y su ancho.
Paso 1: entender el problema.
Nos dan el área y nos piden las dimensiones. Sabemos que:
\[ \text{Área}=\text{largo}\cdot\text{ancho} \]
Paso 2: factorizar el área.
\[ 4x^2-25=(2x)^2-5^2 \]
\[ 4x^2-25=(2x+5)(2x-5) \]
Paso 3: interpretar.
El largo y el ancho del jardín pueden representarse por:
\[ 2x+5 \]
y
\[ 2x-5 \]
Por lo tanto, sus dimensiones pueden ser \((2x+5)\) metros y \((2x-5)\) metros.
Problema 1
El área de un rectángulo se puede expresar como \(x^2-16\) unidades cuadradas. Si la longitud y el ancho del rectángulo son de la forma \((x+k)\) y \((x-k)\), ¿cuáles son las expresiones para sus dimensiones?
Factorizamos el área como diferencia de cuadrados:
\[ x^2-16=x^2-4^2 \]
\[ x^2-16=(x+4)(x-4) \]
Por lo tanto, las dimensiones del rectángulo pueden ser:
\[ x+4 \]
y
\[ x-4 \]
En este caso, \(k=4\).
Problema 2: desafío
La diferencia entre el cuadrado de un número \(a\) y el cuadrado de otro número \(b\) es \(100\). Si la suma de ambos números, \(a+b\), es \(20\), ¿cuál es el valor de cada número?
Sabemos que:
\[ a^2-b^2=100 \]
Factorizamos usando diferencia de cuadrados:
\[ a^2-b^2=(a+b)(a-b) \]
Entonces:
\[ (a+b)(a-b)=100 \]
El problema indica que \(a+b=20\). Reemplazamos:
\[ 20(a-b)=100 \]
Dividimos por \(20\):
\[ a-b=5 \]
Ahora tenemos el sistema:
\[ a+b=20 \]
\[ a-b=5 \]
Sumamos ambas ecuaciones:
\[ 2a=25 \]
\[ a=12{,}5 \]
Reemplazamos en \(a+b=20\):
\[ 12{,}5+b=20 \]
\[ b=7{,}5 \]
Por lo tanto, los números son \(a=12{,}5\) y \(b=7{,}5\).
Problema 3
Se quiere diseñar una alfombra rectangular con un área que se puede expresar como \(9x^2-4y^2\) metros cuadrados. ¿Cuáles son las posibles expresiones para la longitud y el ancho de la alfombra en términos de \(x\) e \(y\)?
Factorizamos el área como diferencia de cuadrados:
\[ 9x^2-4y^2=(3x)^2-(2y)^2 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ a^2-b^2=(a+b)(a-b) \]
Entonces:
\[ 9x^2-4y^2=(3x+2y)(3x-2y) \]
Por lo tanto, las posibles dimensiones de la alfombra son:
\[ 3x+2y \]
y
\[ 3x-2y \]
metros.