Libro Productos Notables
5. Práctica Integrada: Productos Notables
Es hora de poner a prueba lo aprendido. En esta sección encontrarás ejercicios que combinan los productos notables estudiados. El desafío es doble: primero identificar qué caso aparece y luego resolverlo correctamente.
Recordatorio de fórmulas clave
Para expandir:
- Cuadrado de binomio suma: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
- Cuadrado de binomio resta: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
- Suma por diferencia: \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
Para factorizar:
- Trinomio cuadrado perfecto: \(a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2\)
- Diferencia de cuadrados: \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
Estrategia de trabajo
- Observa si debes expandir o factorizar.
- Identifica el patrón: cuadrado de suma, cuadrado de resta, suma por diferencia, trinomio cuadrado perfecto o diferencia de cuadrados.
- Aplica la fórmula correspondiente.
- Reduce términos semejantes si es necesario.
Nivel 1
Ejemplo guiado: identificar y resolver
Parte A: expandir \((3x-1)^2\)
Es un cuadrado de binomio resta, con \(a=3x\) y \(b=1\).
Aplicamos:
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]
\[ (3x-1)^2=(3x)^2-2(3x)(1)+1^2 \]
\[ =9x^2-6x+1 \]
Parte B: factorizar \(y^2-100\)
Es una diferencia de cuadrados, porque \(y^2\) y \(100\) son cuadrados perfectos y están restándose.
Las raíces son:
\[ \sqrt{y^2}=y \]
\[ \sqrt{100}=10 \]
Entonces:
\[ y^2-100=(y+10)(y-10) \]
Nivel 1: identifica el producto notable y resuelve
- \((x+3)^2\)
- \((2a-5)^2\)
- \((m+n)(m-n)\)
- \(9x^2-4\)
- \((3y+7)^2\)
- \((4p-q)^2\)
- \((t+9)(t-9)\)
- \(16-y^2\)
- \((0{,}5x+1)^2\)
- \((5-2y)^2\)
1. Cuadrado de binomio suma:
\[ (x+3)^2=x^2+2(x)(3)+3^2=x^2+6x+9 \]
2. Cuadrado de binomio resta:
\[ (2a-5)^2=(2a)^2-2(2a)(5)+5^2=4a^2-20a+25 \]
3. Suma por diferencia:
\[ (m+n)(m-n)=m^2-n^2 \]
4. Diferencia de cuadrados:
\[ 9x^2-4=(3x)^2-2^2=(3x+2)(3x-2) \]
5. Cuadrado de binomio suma:
\[ (3y+7)^2=(3y)^2+2(3y)(7)+7^2=9y^2+42y+49 \]
6. Cuadrado de binomio resta:
\[ (4p-q)^2=(4p)^2-2(4p)(q)+q^2=16p^2-8pq+q^2 \]
7. Suma por diferencia:
\[ (t+9)(t-9)=t^2-9^2=t^2-81 \]
8. Diferencia de cuadrados:
\[ 16-y^2=4^2-y^2=(4+y)(4-y) \]
9. Cuadrado de binomio suma:
\[ (0{,}5x+1)^2=(0{,}5x)^2+2(0{,}5x)(1)+1^2=0{,}25x^2+x+1 \]
10. Cuadrado de binomio resta:
\[ (5-2y)^2=5^2-2(5)(2y)+(2y)^2=25-20y+4y^2 \]
Nivel 2
Ejemplo guiado: sumar, restar y simplificar
Resolvamos:
\[ (x+5)(x-5)-(x+2)^2 \]
Paso 1: desarrollar cada producto notable.
\[ (x+5)(x-5)=x^2-25 \]
\[ (x+2)^2=x^2+4x+4 \]
Paso 2: reemplazar en la expresión original.
\[ (x+5)(x-5)-(x+2)^2=(x^2-25)-(x^2+4x+4) \]
Paso 3: eliminar paréntesis y simplificar.
\[ x^2-25-x^2-4x-4 \]
\[ =-4x-29 \]
Nivel 2: suma, resta y simplifica
- \((x+2)^2+(x-2)^2\)
- \((a+b)^2-(a-b)^2\)
- \((3y-5)^2+(3y+5)^2\)
- \((2m+n)(2m-n)+(m+n)^2\)
- \((p+4)^2+(p-4)^2\)
- \((2q-1)^2-(2q+1)^2\)
- \((k+3)(k-3)+(k-3)^2\)
- \((5-y)^2+(5+y)^2\)
- \((x+1)(x-1)-(x-1)^2\)
- \((3a+2b)^2-(3a-2b)^2\)
1.
\[ (x+2)^2+(x-2)^2=(x^2+4x+4)+(x^2-4x+4)=2x^2+8 \]
2.
\[ (a+b)^2-(a-b)^2=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=4ab \]
3.
\[ (3y-5)^2+(3y+5)^2=(9y^2-30y+25)+(9y^2+30y+25)=18y^2+50 \]
4.
\[ (2m+n)(2m-n)+(m+n)^2=(4m^2-n^2)+(m^2+2mn+n^2) \]
\[ =5m^2+2mn \]
5.
\[ (p+4)^2+(p-4)^2=(p^2+8p+16)+(p^2-8p+16)=2p^2+32 \]
6.
\[ (2q-1)^2-(2q+1)^2=(4q^2-4q+1)-(4q^2+4q+1) \]
\[ =-8q \]
7.
\[ (k+3)(k-3)+(k-3)^2=(k^2-9)+(k^2-6k+9)=2k^2-6k \]
8.
\[ (5-y)^2+(5+y)^2=(25-10y+y^2)+(25+10y+y^2)=2y^2+50 \]
9.
\[ (x+1)(x-1)-(x-1)^2=(x^2-1)-(x^2-2x+1)=2x-2 \]
10.
\[ (3a+2b)^2-(3a-2b)^2=(9a^2+12ab+4b^2)-(9a^2-12ab+4b^2) \]
\[ =24ab \]
Nivel 3
Ejemplo guiado: coeficientes fuera de los productos notables
Resolvamos:
\[ 2(a+3)^2-3(a+1)(a-1) \]
Paso 1: desarrollar los productos notables.
\[ (a+3)^2=a^2+6a+9 \]
\[ (a+1)(a-1)=a^2-1 \]
Paso 2: reemplazar.
\[ 2(a^2+6a+9)-3(a^2-1) \]
Paso 3: distribuir los coeficientes.
\[ 2a^2+12a+18-3a^2+3 \]
Paso 4: reducir términos semejantes.
\[ -a^2+12a+21 \]
Nivel 3: desarrolla y simplifica cada expresión
- \(3(x-2)^2-2(x+1)^2\)
- \(4(a+b)(a-b)-(a-b)^2\)
- \(5(2y-3)^2+(2y+3)(2y-3)\)
- \(2(x-y)^2-(x+y)^2\)
- \((x+4)(x-4)+2(x+4)^2\)
- \(3(a-2)^2-4(a+2)(a-2)\)
- \(4(2m+1)^2+(2m-1)^2-8m^2\)
- \(6(y-1)^2-3(y+1)^2\)
- \((p+q)^2-2(p-q)^2\)
- \(4(0{,}5x-1)^2+(0{,}5x+1)^2\)
1.
\[ 3(x-2)^2-2(x+1)^2=3(x^2-4x+4)-2(x^2+2x+1) \]
\[ =3x^2-12x+12-2x^2-4x-2=x^2-16x+10 \]
2.
\[ 4(a+b)(a-b)-(a-b)^2=4(a^2-b^2)-(a^2-2ab+b^2) \]
\[ =4a^2-4b^2-a^2+2ab-b^2=3a^2+2ab-5b^2 \]
3.
\[ 5(2y-3)^2+(2y+3)(2y-3)=5(4y^2-12y+9)+(4y^2-9) \]
\[ =20y^2-60y+45+4y^2-9=24y^2-60y+36 \]
4.
\[ 2(x-y)^2-(x+y)^2=2(x^2-2xy+y^2)-(x^2+2xy+y^2) \]
\[ =2x^2-4xy+2y^2-x^2-2xy-y^2=x^2-6xy+y^2 \]
5.
\[ (x+4)(x-4)+2(x+4)^2=(x^2-16)+2(x^2+8x+16) \]
\[ =x^2-16+2x^2+16x+32=3x^2+16x+16 \]
6.
\[ 3(a-2)^2-4(a+2)(a-2)=3(a^2-4a+4)-4(a^2-4) \]
\[ =3a^2-12a+12-4a^2+16=-a^2-12a+28 \]
7.
\[ 4(2m+1)^2+(2m-1)^2-8m^2 \]
\[ =4(4m^2+4m+1)+(4m^2-4m+1)-8m^2 \]
\[ =16m^2+16m+4+4m^2-4m+1-8m^2=12m^2+12m+5 \]
8.
\[ 6(y-1)^2-3(y+1)^2=6(y^2-2y+1)-3(y^2+2y+1) \]
\[ =6y^2-12y+6-3y^2-6y-3=3y^2-18y+3 \]
9.
\[ (p+q)^2-2(p-q)^2=(p^2+2pq+q^2)-2(p^2-2pq+q^2) \]
\[ =p^2+2pq+q^2-2p^2+4pq-2q^2=-p^2+6pq-q^2 \]
10.
\[ 4(0{,}5x-1)^2+(0{,}5x+1)^2 \]
\[ =4(0{,}25x^2-x+1)+(0{,}25x^2+x+1) \]
\[ =x^2-4x+4+0{,}25x^2+x+1=1{,}25x^2-3x+5 \]
Nivel 4
Ejemplo guiado: factor común y producto notable
Factoricemos:
\[ 3x^2-12 \]
Paso 1: buscar un factor común.
\[ 3x^2-12=3(x^2-4) \]
Paso 2: identificar el producto notable dentro del paréntesis.
La expresión \(x^2-4\) es una diferencia de cuadrados, porque:
\[ x^2-4=x^2-2^2 \]
Paso 3: factorizar la diferencia de cuadrados.
\[ x^2-4=(x+2)(x-2) \]
Paso 4: mantener el factor común.
\[ 3x^2-12=3(x+2)(x-2) \]
Nivel 4: reconoce el tipo de factorización y factoriza
- \(x^2+12x+36\)
- \(4x^2-25\)
- \(9a^2-6ab+b^2\)
- \(16m^2-8m+1\)
- \(y^2-49\)
- \(25p^2+20p+4\)
- \(36z^2-64\)
- \(a^2-2a+1\)
- \(49k^2-36\)
- \(0{,}04x^2-0{,}08x+0{,}04\)
1. Trinomio cuadrado perfecto suma:
\[ x^2+12x+36=(x+6)^2 \]
2. Diferencia de cuadrados:
\[ 4x^2-25=(2x)^2-5^2=(2x+5)(2x-5) \]
3. Trinomio cuadrado perfecto resta:
\[ 9a^2-6ab+b^2=(3a)^2-2(3a)(b)+b^2=(3a-b)^2 \]
4. Trinomio cuadrado perfecto resta:
\[ 16m^2-8m+1=(4m)^2-2(4m)(1)+1^2=(4m-1)^2 \]
5. Diferencia de cuadrados:
\[ y^2-49=y^2-7^2=(y+7)(y-7) \]
6. Trinomio cuadrado perfecto suma:
\[ 25p^2+20p+4=(5p)^2+2(5p)(2)+2^2=(5p+2)^2 \]
7. Factor común y diferencia de cuadrados:
\[ 36z^2-64=4(9z^2-16) \]
\[ =4\left((3z)^2-4^2\right)=4(3z+4)(3z-4) \]
8. Trinomio cuadrado perfecto resta:
\[ a^2-2a+1=a^2-2(a)(1)+1^2=(a-1)^2 \]
9. Diferencia de cuadrados:
\[ 49k^2-36=(7k)^2-6^2=(7k+6)(7k-6) \]
10. Factor común y trinomio cuadrado perfecto resta:
\[ 0{,}04x^2-0{,}08x+0{,}04=0{,}04(x^2-2x+1) \]
\[ =0{,}04(x-1)^2 \]