Libro Productos Notables
7. Profundización opcional: Estrategias Avanzadas con Productos Notables
En esta página opcional aplicaremos lo aprendido para resolver expresiones más complejas. La clave ya no es solo aplicar una fórmula, sino desarrollar una visión algebraica: reconocer patrones conocidos dentro de expresiones de varios pasos.
Recordatorio de fórmulas clave
Para expandir:
- \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
- \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
- \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
Para factorizar:
- \(a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2\)
- \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
Desarrollando la visión algebraica
En ejercicios avanzados conviene tratar algunas expresiones como bloques. Por ejemplo, un binomio completo como \((x+5)\) puede funcionar como el término \(a\) de una fórmula más grande.
Antes de desarrollar todo, observa si la expresión completa tiene una estructura conocida.
Ejercicios
Nivel 1: desarrollo de expresiones algebraicas
Ejemplo guiado: desarrollo y simplificación
Resolvamos:
\[ (a+2)(a-2)-(a-3)^2 \]
1. Desarrollar cada producto notable por separado.
\[ (a+2)(a-2)=a^2-4 \]
\[ (a-3)^2=a^2-6a+9 \]
2. Reemplazar usando paréntesis.
\[ (a+2)(a-2)-(a-3)^2=(a^2-4)-(a^2-6a+9) \]
3. Eliminar paréntesis y simplificar.
\[ a^2-4-a^2+6a-9 \]
\[ =6a-13 \]
Nivel 1: desarrolla y simplifica
- \((x+2)^2+(x-2)^2\)
- \((a+3)(a-3)-(a+1)^2\)
- \(2(m+4)^2-3(m+1)(m-1)\)
- \((2x+y)^2-(2x-y)^2\)
1.
\[ (x+2)^2+(x-2)^2=(x^2+4x+4)+(x^2-4x+4) \]
\[ =2x^2+8 \]
2.
\[ (a+3)(a-3)-(a+1)^2=(a^2-9)-(a^2+2a+1) \]
\[ =a^2-9-a^2-2a-1=-2a-10 \]
3.
\[ 2(m+4)^2-3(m+1)(m-1)=2(m^2+8m+16)-3(m^2-1) \]
\[ =2m^2+16m+32-3m^2+3 \]
\[ =-m^2+16m+35 \]
4.
\[ (2x+y)^2-(2x-y)^2 \]
\[ =(4x^2+4xy+y^2)-(4x^2-4xy+y^2) \]
\[ =8xy \]
Nivel 2: factorización de expresiones compuestas
Ejemplo guiado: factorizar por etapas
Factoricemos:
\[ a^2+2ab+b^2-c^2 \]
1. Agrupar para reconocer un patrón.
\[ (a^2+2ab+b^2)-c^2 \]
2. Factorizar el trinomio cuadrado perfecto.
\[ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 \]
Entonces:
\[ (a^2+2ab+b^2)-c^2=(a+b)^2-c^2 \]
3. Reconocer una diferencia de cuadrados.
\[ (a+b)^2-c^2 \]
El primer término es \(a+b\) y el segundo es \(c\).
4. Factorizar.
\[ (a+b)^2-c^2=[(a+b)+c][(a+b)-c] \]
\[ =(a+b+c)(a+b-c) \]
Nivel 2: factoriza cada expresión compuesta
- \(x^2+10x+25-y^2\)
- \(4a^2-12a+9-b^2\)
- \(m^2-n^2+2n-1\)
- \(9x^2-16y^2+8y-1\)
1.
\[ x^2+10x+25-y^2=(x+5)^2-y^2 \]
\[ =(x+5+y)(x+5-y) \]
2.
\[ 4a^2-12a+9-b^2=(2a-3)^2-b^2 \]
\[ =(2a-3+b)(2a-3-b) \]
3.
\[ m^2-n^2+2n-1=m^2-(n^2-2n+1) \]
\[ =m^2-(n-1)^2 \]
\[ =(m+n-1)(m-n+1) \]
4.
\[ 9x^2-16y^2+8y-1=9x^2-(16y^2-8y+1) \]
\[ =(3x)^2-(4y-1)^2 \]
\[ =(3x+4y-1)(3x-4y+1) \]
Nivel 3: dos caminos hacia la solución
Ejemplo guiado: método directo y visión algebraica
Resolvamos:
\[ (x+1)^2+2(x+1)(x-1)+(x-1)^2 \]
Método 1: desarrollo directo.
\[ (x+1)^2=x^2+2x+1 \]
\[ 2(x+1)(x-1)=2(x^2-1)=2x^2-2 \]
\[ (x-1)^2=x^2-2x+1 \]
Sumamos:
\[ x^2+2x+1+2x^2-2+x^2-2x+1=4x^2 \]
Método 2: visión algebraica.
La expresión tiene la forma:
\[ A^2+2AB+B^2=(A+B)^2 \]
donde \(A=x+1\) y \(B=x-1\). Entonces:
\[ (x+1)^2+2(x+1)(x-1)+(x-1)^2=[(x+1)+(x-1)]^2 \]
\[ =(2x)^2=4x^2 \]
Comparar métodos
El método directo siempre es válido, pero puede ser más largo. La visión algebraica permite reconocer una estructura mayor y ahorrar pasos cuando el patrón es claro.
Nivel 3: desarrolla y simplifica
Para cada ejercicio, revisa el método directo y, cuando sea posible, una técnica más rápida usando visión algebraica.
- \((x+1)^2+2(x+1)(x-1)+(x-1)^2\)
- \((a+b)^2-2(a+b)(a-b)+(a-b)^2\)
- \(3(x-2)^2+2(x+1)(x-1)-(x+3)^2\)
- \((a+b+c)^2-(a+b-c)^2\)
- \((x+y+2)(x+y-2)-(x+y)^2\)
- \((2a-b)^2+2(2a-b)(a+b)+(a+b)^2\)
1.
Método directo:
\[ (x+1)^2+2(x+1)(x-1)+(x-1)^2 \]
\[ =(x^2+2x+1)+2(x^2-1)+(x^2-2x+1) \]
\[ =4x^2 \]
Visión algebraica:
Con \(A=x+1\) y \(B=x-1\):
\[ A^2+2AB+B^2=(A+B)^2 \]
\[ [(x+1)+(x-1)]^2=(2x)^2=4x^2 \]
2.
Método directo:
\[ (a+b)^2-2(a+b)(a-b)+(a-b)^2 \]
\[ =(a^2+2ab+b^2)-2(a^2-b^2)+(a^2-2ab+b^2) \]
\[ =a^2+2ab+b^2-2a^2+2b^2+a^2-2ab+b^2=4b^2 \]
Visión algebraica:
Con \(A=a+b\) y \(B=a-b\):
\[ A^2-2AB+B^2=(A-B)^2 \]
\[ [(a+b)-(a-b)]^2=(2b)^2=4b^2 \]
3.
\[ 3(x-2)^2+2(x+1)(x-1)-(x+3)^2 \]
\[ =3(x^2-4x+4)+2(x^2-1)-(x^2+6x+9) \]
\[ =3x^2-12x+12+2x^2-2-x^2-6x-9 \]
\[ =4x^2-18x+1 \]
En este caso, no hay un atajo evidente que simplifique toda la expresión. El desarrollo directo es el camino más conveniente.
4.
Método directo:
\[ (a+b+c)^2-(a+b-c)^2 \]
\[ =(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc) \]
\[ -(a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc) \]
\[ =4ac+4bc=4c(a+b) \]
Visión algebraica:
Es una diferencia de cuadrados con \(A=a+b+c\) y \(B=a+b-c\):
\[ A^2-B^2=(A+B)(A-B) \]
\[ [(a+b+c)+(a+b-c)][(a+b+c)-(a+b-c)] \]
\[ =(2a+2b)(2c)=4c(a+b) \]
5.
Método directo:
\[ (x+y+2)(x+y-2)-(x+y)^2 \]
\[ =[(x+y)^2-2^2]-(x+y)^2 \]
\[ =(x+y)^2-4-(x+y)^2=-4 \]
Visión algebraica:
La expresión \((x+y+2)(x+y-2)\) es suma por diferencia, con \(A=x+y\) y \(B=2\):
\[ (A+B)(A-B)=A^2-B^2 \]
\[ (x+y)^2-4-(x+y)^2=-4 \]
6.
Método directo:
\[ (2a-b)^2+2(2a-b)(a+b)+(a+b)^2 \]
\[ =(4a^2-4ab+b^2)+2(2a^2+ab-b^2)+(a^2+2ab+b^2) \]
\[ =4a^2-4ab+b^2+4a^2+2ab-2b^2+a^2+2ab+b^2 \]
\[ =9a^2 \]
Visión algebraica:
Con \(A=2a-b\) y \(B=a+b\):
\[ A^2+2AB+B^2=(A+B)^2 \]
\[ [(2a-b)+(a+b)]^2=(3a)^2=9a^2 \]
Nivel 4: simplificación de expresiones racionales
Ejemplo guiado: simplificación racional
Simplifiquemos:
\[ \frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4ab} \]
1. Desarrollar el numerador.
\[ (a+b)^2-(a-b)^2=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2) \]
2. Simplificar el numerador.
\[ a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=4ab \]
3. Reemplazar y simplificar.
\[ \frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4ab}=\frac{4ab}{4ab}=1 \]
Esta simplificación es válida cuando \(ab\neq 0\), para que el denominador no sea cero.
Nivel 4: simplifica cada expresión racional
- \(\frac{(x+2)^2-(x-2)^2}{4x}\)
- \(\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{ab}\)
- \(\frac{(2m+1)^2-(2m-1)^2}{2m}\)
- \(\frac{(x+y)^2-(x-y)^2}{(x-y)^2-(x+y)^2}\)
1.
\[ (x+2)^2-(x-2)^2=(x^2+4x+4)-(x^2-4x+4)=8x \]
\[ \frac{(x+2)^2-(x-2)^2}{4x}=\frac{8x}{4x}=2 \]
Válido para \(x\neq 0\).
2.
\[ (a+b)^2-(a-b)^2=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=4ab \]
\[ \frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{ab}=\frac{4ab}{ab}=4 \]
Válido para \(ab\neq 0\).
3.
\[ (2m+1)^2-(2m-1)^2=(4m^2+4m+1)-(4m^2-4m+1)=8m \]
\[ \frac{(2m+1)^2-(2m-1)^2}{2m}=\frac{8m}{2m}=4 \]
Válido para \(m\neq 0\).
4.
\[ (x+y)^2-(x-y)^2=4xy \]
\[ (x-y)^2-(x+y)^2=-4xy \]
Entonces:
\[ \frac{(x+y)^2-(x-y)^2}{(x-y)^2-(x+y)^2}=\frac{4xy}{-4xy}=-1 \]
Válido cuando \(xy\neq 0\).
Problemas de Aplicación Avanzada
Ejemplo guiado: aumento de área
Un cuadrado tiene un lado de \((x+3)\) cm. Se construye un nuevo cuadrado aumentando el lado en \(2\) cm. ¿Cuál es la expresión que representa el aumento de área?
1. Área original.
\[ A_1=(x+3)^2=x^2+6x+9 \]
2. Nuevo lado.
\[ L_2=(x+3)+2=x+5 \]
3. Área nueva.
\[ A_2=(x+5)^2=x^2+10x+25 \]
4. Aumento de área.
\[ A_2-A_1=(x^2+10x+25)-(x^2+6x+9) \]
\[ =4x+16 \]
El área aumentó en \(4x+16\) cm².
Problema 1
Un terreno rectangular tiene un largo de \((x+5)\) metros y un ancho de \((x-5)\) metros. Si se aumenta el largo en \(3\) metros y se disminuye el ancho en \(3\) metros, ¿cuál es la diferencia entre el área original y el área nueva?
Área original:
\[ A_1=(x+5)(x-5)=x^2-25 \]
Nuevas dimensiones:
\[ \text{largo}=x+8 \]
\[ \text{ancho}=x-8 \]
Área nueva:
\[ A_2=(x+8)(x-8)=x^2-64 \]
Diferencia entre el área original y el área nueva:
\[ A_1-A_2=(x^2-25)-(x^2-64) \]
\[ =39 \]
La diferencia de área es \(39\) metros cuadrados.
Problema 2
Se tiene un cuadrado de lado \((2x+1)\) cm. Si se aumenta cada lado en \(2\) cm, ¿cuál es la expresión que representa el aumento en el área del cuadrado?
Área original:
\[ A_1=(2x+1)^2=4x^2+4x+1 \]
Nuevo lado:
\[ (2x+1)+2=2x+3 \]
Área nueva:
\[ A_2=(2x+3)^2=4x^2+12x+9 \]
Aumento de área:
\[ A_2-A_1=(4x^2+12x+9)-(4x^2+4x+1) \]
\[ =8x+8 \]
El aumento de área es \(8x+8\) cm².
Problema 3
Un depósito cúbico cerrado tiene una arista de \((x+1)\) metros. El costo de construcción es de $10.000 por metro cuadrado de superficie. ¿Cuál es la expresión que representa el costo total?
El área de una cara del cubo es:
\[ (x+1)^2=x^2+2x+1 \]
Como el cubo cerrado tiene \(6\) caras, su superficie total es:
\[ 6(x+1)^2=6(x^2+2x+1) \]
\[ =6x^2+12x+6 \]
El costo total se obtiene multiplicando por $10.000:
\[ 10000(6x^2+12x+6) \]
\[ =60000x^2+120000x+60000 \]
El costo total es \(60000x^2+120000x+60000\) pesos.