Capitulo 1.1 N° Racional, escribiendo en fracciones

1. racionales

Números Racionales $ \mathbb{Q} $

¿Te has preguntado cómo representar partes de un objeto o los números que están entre los enteros? Para eso existen los números racionales.

En esta página descubrirás qué son, sus características y cómo se representan.

Definición

📐 Definición formal

Un número racional es todo aquel que puede escribirse como una fracción $ \frac{a}{b} $, donde $a$ y $b$ son números enteros y $b \neq 0$.

Simbólicamente, si $ \mathbb{Q} $ es el conjunto de los números racionales y $ \mathbb{Z} $ el de los enteros:

$ n \in \mathbb{Q} \iff \exists\, a,b \in \mathbb{Z},\, b\neq 0 \text{ tal que } n = \frac{a}{b} $.

Representación en la recta numérica

Los números racionales se pueden ubicar en toda la recta numérica: incluyen positivos, negativos y el cero. Por ejemplo, $ \tfrac{1}{2} $ está exactamente a mitad de camino entre 0 y 1.

$Recta numérica con fracciones marcadas$

Representación decimal

🤓 Decimales de los racionales

Cada número racional puede escribirse como un decimal. Ese decimal puede ser:

Finito: termina. Ej.: $ \tfrac{1}{4}=0{,}25 $.
Periódico puro: desde el primer decimal repite un dígito o grupo. Ej.: $0{,}333\ldots = 0{,}\overline{3}$, $0{,}252525\ldots = 0{,}\overline{25}$.
Periódico mixto (semiperiódico): primero aparece una parte que no se repite y luego comienza el período. Ej.: $0{,}12\overline{3}$, $-1{,}2\overline{45}$.

Más adelante aprenderemos a convertir estos decimales periódicos (puros y mixtos) en fracciones $ \tfrac{a}{b} $.

⚠️ Advertencia

Lo contrario no es cierto: no todo número escrito en forma decimal es racional. Para que un decimal sea racional debe ser finito o periódico. Si no termina ni repite un patrón, es irracional.

$\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$ (no hay patrón).
$\pi = 3{,}1415926535\ldots$
$e = 2{,}718281828\ldots$
$0{,}101001000100001\ldots$ (los ceros entre unos crecen; no hay período).
Constante de Champernowne: $0{,}12345678910111213\ldots$

💡 ¿Sabías que…?

Todo número entero $n$ también es racional, porque se puede escribir como $ \frac{n}{1} $.

Ejemplos de números racionales

$ \frac{1}{2} $
$ -\frac{3}{4} $
$ 5 $ (se puede expresar como $ \frac{5}{1} $)
$ 0 $ (se puede expresar como $ \frac{0}{1} $)
$ 0{,}75 $ (se puede expresar como $ \frac{3}{4} $)
$ -2{,}333\ldots $ (periódico, se puede expresar como $ -\frac{7}{3} $; lo veremos luego)

Densidad de los números racionales

🤓 Densidad de $ \mathbb{Q} $ (pero no totalidad)

Densidad: Entre dos racionales distintos siempre podemos encontrar otro racional (infinitos, de hecho). No hay “saltos”.

Pero no totalidad: Aun así, los racionales no “llenan” toda la recta numérica: existen irracionales como $ \pi $ o $ \sqrt{2} $, que no pueden expresarse como $ \tfrac{a}{b} $.

Demostración intuitiva de la densidad:

Sean $a,b \in \mathbb{Q}$ con $a < b$. El promedio $c = \frac{a+b}{2}$ también es racional y cumple $a < c < b$. Repitiendo el proceso, obtenemos infinitos racionales entre $a$ y $b$.

Ejemplo numérico de densidad

Consideremos $ a = \frac{1}{4} $ y $ b = \frac{1}{2} $. Busquemos un racional entre ellos.

\[ c = \frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{1}{4} + \frac{2}{4}}{2} = \frac{\frac{3}{4}}{2} = \frac{3}{8} \]

Efectivamente, $ \frac{3}{8} $ está entre $ \frac{1}{4} $ y $ \frac{1}{2} $ (0,25 < 0,375 < 0,5).

Ejercicios

Identificando números racionales

Determina si los siguientes números son racionales o irracionales. Si son racionales, exprésalos en la forma $ \tfrac{a}{b} $. (Para los decimales periódicos, por ahora basta con reconocer que son racionales; más adelante veremos cómo convertirlos).

$ 2{,}5 $
$ \sqrt{9} $
$ \tfrac{-2}{7} $
$ 0{,}121212\ldots $
$ \pi $
$ 0{,}3333\ldots $
$ 0{,}252525\ldots $
$ -3 $