Libro Fracciones
7. Division de fracciones
Concepto clave: el inverso multiplicativo
Definición formal
El inverso multiplicativo, también llamado recíproco, de una fracción se obtiene invirtiendo el numerador y el denominador.
\[ \text{Si } \frac{a}{b}\neq 0,\quad \text{su inverso multiplicativo es } \frac{b}{a} \]
Esto ocurre porque al multiplicar una fracción por su inverso, el resultado es \(1\):
\[ \frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a} = \frac{a\cdot b}{b\cdot a} = 1 \qquad \text{con } a\neq 0,\; b\neq 0 \]
Condición importante
El número \(0\) no tiene inverso multiplicativo, porque no existe ningún número que multiplicado por \(0\) dé \(1\).
Por eso, no se puede dividir por \(0\).
Ejemplos de inverso multiplicativo
- El inverso de \( \frac{2}{7} \) es \( \frac{7}{2} \).
- El inverso de \( -\frac{5}{9} \) es \( -\frac{9}{5} \).
- Como \(4=\frac{4}{1}\), el inverso de \(4\) es \( \frac{1}{4} \).
Ejercicios de inverso multiplicativo
Encuentra el inverso multiplicativo de cada número.
- \( \frac{2}{7} \)
- \( -\frac{5}{9} \)
- \(4\)
- \( -1\frac{2}{3} \)
- \( \frac{x}{y} \), con \(x\neq 0\) e \(y\neq 0\)
Solución desarrollada
-
Invertimos numerador y denominador:
\[ \frac{2}{7} \longrightarrow \frac{7}{2} \]
-
El signo negativo se conserva:
\[ -\frac{5}{9} \longrightarrow -\frac{9}{5} \]
-
Primero escribimos el entero como fracción:
\[ 4=\frac{4}{1} \]
Luego invertimos:
\[ \frac{4}{1} \longrightarrow \frac{1}{4} \]
-
Primero convertimos el número mixto a fracción impropia:
\[ -1\frac{2}{3} = -\frac{1\cdot3+2}{3} = -\frac{5}{3} \]
Luego invertimos:
\[ -\frac{5}{3} \longrightarrow -\frac{3}{5} \]
-
Invertimos numerador y denominador:
\[ \frac{x}{y} \longrightarrow \frac{y}{x} \qquad \text{con } x\neq 0,\; y\neq 0 \]
Métodos para dividir fracciones
Método 1: multiplicar por el inverso
Idea clave
Dividir por una fracción es lo mismo que multiplicar por su inverso multiplicativo.
Este es el método más recomendado, porque se relaciona directamente con la multiplicación de fracciones.
Fórmula
\[ \frac{a}{b}\div\frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c} \qquad \text{con } b\neq 0,\; c\neq 0,\; d\neq 0 \]
Ejemplo: dividir multiplicando por el inverso
\[ \frac{2}{3}\div\frac{4}{5} = \frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4} \]
Luego multiplicamos:
\[ \frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4} = \frac{2\cdot5}{3\cdot4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \]
Por lo tanto:
\[ \frac{2}{3}\div\frac{4}{5} = \frac{5}{6} \]
Método 2: multiplicación en cruz
Un atajo procedimental
La multiplicación en cruz entrega el mismo resultado que multiplicar por el inverso. Es útil como atajo, pero conviene recordar que proviene del método anterior.
Procedimiento
Se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda.
\[ \frac{a}{b}\div\frac{c}{d} = \frac{a\cdot d}{b\cdot c} \qquad \text{con } b\neq 0,\; c\neq 0,\; d\neq 0 \]
Ejemplo: dividir usando multiplicación en cruz
\[ \frac{2}{3}\div\frac{4}{5} = \frac{2\cdot5}{3\cdot4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \]
Método 3: fracción de fracciones
¿Cuándo se usa?
A veces una división aparece escrita como una fracción sobre otra fracción. A esto se le llama fracción compleja.
Procedimiento
Una fracción compleja se puede resolver usando la misma idea de dividir multiplicando por el inverso.
\[ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b}\div\frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c} = \frac{a\cdot d}{b\cdot c} \]
Ejemplo: fracción de fracciones
\[ \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}} = \frac{2}{3}\div\frac{4}{5} \]
Multiplicamos por el inverso de \( \frac{4}{5} \):
\[ \frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \]
Ejercicios de división
Resuelve las siguientes divisiones
Resuelve cada división. Convierte enteros o números mixtos cuando sea necesario y simplifica el resultado.
- \( \frac{1}{2}\div\frac{3}{4} \)
- \( \frac{5}{7}\div\frac{2}{3} \)
- \( \frac{-2}{5}\div\frac{3}{8} \)
- \( 4\div\frac{2}{5} \)
- \( \frac{5}{9}\div3 \)
- \( 1\frac{3}{4}\div\frac{2}{3} \)
- \( \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{6}} \)
- \( \frac{\frac{3}{2}}{\frac{6}{5}} \)
- \( \frac{2x}{3}\div\frac{4}{y} \), con \(y\neq 0\)
- \( \frac{3a}{b}\div\frac{2c}{5} \), con \(b\neq 0,\; c\neq 0\)
- \( \frac{1}{2}\div\frac{x}{y} \), con \(x\neq 0,\; y\neq 0\)
- \( \frac{5m}{2n}\div\frac{2}{3} \), con \(n\neq 0\)
- \( \frac{\frac{a}{b}}{\frac{2a}{3b}} \), con \(a\neq 0,\; b\neq 0\)
Solución desarrollada
-
\[ \frac{1}{2}\div\frac{3}{4} = \frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
-
\[ \frac{5}{7}\div\frac{2}{3} = \frac{5}{7}\cdot\frac{3}{2} = \frac{15}{14} = 1\frac{1}{14} \]
-
\[ \frac{-2}{5}\div\frac{3}{8} = \frac{-2}{5}\cdot\frac{8}{3} = \frac{-16}{15} = -1\frac{1}{15} \]
-
Escribimos el entero como fracción:
\[ 4=\frac{4}{1} \]
Luego dividimos:
\[ 4\div\frac{2}{5} = \frac{4}{1}\cdot\frac{5}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]
-
Escribimos \(3\) como \( \frac{3}{1} \):
\[ \frac{5}{9}\div3 = \frac{5}{9}\div\frac{3}{1} = \frac{5}{9}\cdot\frac{1}{3} = \frac{5}{27} \]
-
Primero convertimos el número mixto:
\[ 1\frac{3}{4} = \frac{1\cdot4+3}{4} = \frac{7}{4} \]
Luego dividimos:
\[ \frac{7}{4}\div\frac{2}{3} = \frac{7}{4}\cdot\frac{3}{2} = \frac{21}{8} = 2\frac{5}{8} \]
-
\[ \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{6}} = \frac{1}{4}\div\frac{5}{6} = \frac{1}{4}\cdot\frac{6}{5} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} \]
-
\[ \frac{\frac{3}{2}}{\frac{6}{5}} = \frac{3}{2}\div\frac{6}{5} = \frac{3}{2}\cdot\frac{5}{6} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} \]
-
\[ \frac{2x}{3}\div\frac{4}{y} = \frac{2x}{3}\cdot\frac{y}{4} = \frac{2xy}{12} = \frac{xy}{6} \qquad \text{con } y\neq 0 \]
-
\[ \frac{3a}{b}\div\frac{2c}{5} = \frac{3a}{b}\cdot\frac{5}{2c} = \frac{15a}{2bc} \qquad \text{con } b\neq 0,\; c\neq 0 \]
-
\[ \frac{1}{2}\div\frac{x}{y} = \frac{1}{2}\cdot\frac{y}{x} = \frac{y}{2x} \qquad \text{con } x\neq 0,\; y\neq 0 \]
-
\[ \frac{5m}{2n}\div\frac{2}{3} = \frac{5m}{2n}\cdot\frac{3}{2} = \frac{15m}{4n} \qquad \text{con } n\neq 0 \]
-
\[ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{2a}{3b}} = \frac{a}{b}\div\frac{2a}{3b} \]
Multiplicamos por el inverso:
\[ \frac{a}{b}\cdot\frac{3b}{2a} = \frac{\cancel{a}\cdot3\cancel{b}}{\cancel{b}\cdot2\cancel{a}} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} \]
Esto es válido con \(a\neq 0\) y \(b\neq 0\).