Capitulo 5.1 Ecuaciones
3. Dominando las Ecuaciones de Dos Pasos
Dominando las Ecuaciones de Dos Pasos
馃挕 Una Forma M谩s R谩pida: "Pasar" T茅rminos
En la lecci贸n anterior, usamos las propiedades de la igualdad, aplicando la misma operaci贸n en ambos lados. Ahora aprenderemos un m茅todo m谩s directo que es un "atajo" de ese principio: "pasar" t茅rminos de un lado al otro de la igualdad invirtiendo su operaci贸n. 隆Es como un movimiento m谩gico que acelera nuestros c谩lculos!
馃 Importante: 驴Por qu茅 funciona este "atajo"?
Recuerda que "pasar un t茅rmino restando" es, en realidad, una forma abreviada de "restar el mismo t茅rmino a ambos lados de la ecuaci贸n". Este atajo es muy eficiente, pero es fundamental que entiendas que se basa en las propiedades de la igualdad que ya vimos. 隆No es magia, es matem谩tica!
Resolviendo Ecuaciones de la Forma \( ax + b = c \)
馃搻 Procedimiento en Dos Pasos
- Mover la constante (el t茅rmino solo): "Pasamos" el t茅rmino que suma o resta (la 'b') al otro lado con la operaci贸n inversa.
- Mover el coeficiente (el t茅rmino con la 'x'): "Pasamos" el n煤mero que multiplica o divide a la inc贸gnita (la 'a') al otro lado con la operaci贸n inversa.
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Ecuaci贸n con Enteros
Resuelve la ecuaci贸n: \( 4x - 7 = 9 \)
1. El -7 est谩 restando, as铆 que pasa al otro lado sumando:
\( 4x = 9 + 7 \)
\( 4x = 16 \)
2. El 4 est谩 multiplicando, as铆 que pasa al otro lado dividiendo:
\( x = \frac{16}{4} \)
Soluci贸n: \( x = 4 \)
Ejemplo 2: Ecuaci贸n con Racionales
Resuelve la ecuaci贸n: \( \frac{2}{3}x + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} \)
1. Pasamos el \( \frac{1}{2} \) restando:
\( \frac{2}{3}x = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5-3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
2. El \( \frac{2}{3} \) est谩 multiplicando. Pasa dividiendo (o multiplicando por su inverso \( \frac{3}{2} \)):
\( x = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{6} \)
Soluci贸n: \( x = \frac{1}{2} \)
Ejemplo 3: Ecuaci贸n con Literales
Resuelve la ecuaci贸n para "x": \( mx + n = p \) (con \( m \neq 0 \))
1. Pasamos la "n" restando:
\( mx = p - n \)
2. Pasamos la "m" dividiendo:
Soluci贸n: \( x = \frac{p - n}{m} \)
Ejercicios
Ecuaciones con Enteros
1. Resuelve: \( 3x + 8 = 23 \)
\( 3x = 23 - 8 \)
\( 3x = 15 \)
\( x = \frac{15}{3} \rightarrow x = 5 \)
2. Resuelve: \( 6x - 5 = 19 \)
\( 6x = 19 + 5 \)
\( 6x = 24 \)
\( x = \frac{24}{6} \rightarrow x = 4 \)
3. Resuelve: \( -2x + 9 = 3 \)
\( -2x = 3 - 9 \)
\( -2x = -6 \)
\( x = \frac{-6}{-2} \rightarrow x = 3 \)
4. Resuelve: \( 10x - 15 = 35 \)
\( 10x = 35 + 15 \)
\( 10x = 50 \)
\( x = \frac{50}{10} \rightarrow x = 5 \)
5. Resuelve: \( -7x - 6 = 8 \)
\( -7x = 8 + 6 \)
\( -7x = 14 \)
\( x = \frac{14}{-7} \rightarrow x = -2 \)
6. Resuelve: \( 4x + 11 = -5 \)
\( 4x = -5 - 11 \)
\( 4x = -16 \)
\( x = \frac{-16}{4} \rightarrow x = -4 \)
7. Resuelve: \( 9x - 13 = 5 \)
\( 9x = 5 + 13 \)
\( 9x = 18 \)
\( x = \frac{18}{9} \rightarrow x = 2 \)
8. Resuelve: \( -5x + 12 = -3 \)
\( -5x = -3 - 12 \)
\( -5x = -15 \)
\( x = \frac{-15}{-5} \rightarrow x = 3 \)
9. Resuelve: \( 8x + 2 = 50 \)
\( 8x = 50 - 2 \)
\( 8x = 48 \)
\( x = \frac{48}{8} \rightarrow x = 6 \)
10. Resuelve: \( -4x - 7 = 13 \)
\( -4x = 13 + 7 \)
\( -4x = 20 \)
\( x = \frac{20}{-4} \rightarrow x = -5 \)
Ecuaciones con Racionales
1. Resuelve: \( \frac{1}{2}x + 3 = 5 \)
\( \frac{1}{2}x = 5 - 3 \)
\( \frac{1}{2}x = 2 \)
\( x = 2 \cdot 2 \rightarrow x = 4 \)
2. Resuelve: \( \frac{2}{5}x - 1 = \frac{3}{5} \)
\( \frac{2}{5}x = \frac{3}{5} + 1 \)
\( \frac{2}{5}x = \frac{8}{5} \)
\( x = \frac{8}{5} \cdot \frac{5}{2} \rightarrow x = 4 \)
3. Resuelve: \( \frac{3}{4}x + \frac{1}{2} = \frac{5}{4} \)
\( \frac{3}{4}x = \frac{5}{4} - \frac{1}{2} \)
\( \frac{3}{4}x = \frac{3}{4} \)
\( x = 1 \)
4. Resuelve: \( 2.5x + 0.8 = 5.8 \)
\( 2.5x = 5.8 - 0.8 \)
\( 2.5x = 5 \)
\( x = \frac{5}{2.5} \rightarrow x = 2 \)
5. Resuelve: \( 0.75x - 2.1 = 0.9 \)
\( 0.75x = 0.9 + 2.1 \)
\( 0.75x = 3 \)
\( x = \frac{3}{0.75} \rightarrow x= 4 \)
6. Resuelve: \( \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} = 1 \)
\( \frac{1}{3}x = 1 + \frac{2}{3} \)
\( \frac{1}{3}x = \frac{5}{3} \)
\( x = 5 \)
7. Resuelve: \( 4.2x + 6.5 = 19.1 \)
\( 4.2x = 19.1 - 6.5 \)
\( 4.2x = 12.6 \)
\( x = \frac{12.6}{4.2} \rightarrow x = 3 \)
8. Resuelve: \( \frac{3}{8}x + \frac{1}{4} = \frac{7}{8} \)
\( \frac{3}{8}x = \frac{7}{8} - \frac{1}{4} \)
\( \frac{3}{8}x = \frac{5}{8} \)
\( x = \frac{5}{3} \)
9. Resuelve: \( 0.6x - 3.2 = 1.6 \)
\( 0.6x = 1.6 + 3.2 \)
\( 0.6x = 4.8 \)
\( x = \frac{4.8}{0.6} \rightarrow x = 8 \)
10. Resuelve: \( \frac{5}{6}x - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{5}{6}x = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \)
\( \frac{5}{6}x = \frac{5}{6} \)
\( x = 1 \)
Ecuaciones con Literales
1. Resuelve para "x": \( ax + b = c \)
\( ax = c - b \)
\( x = \frac{c - b}{a} \)
2. Resuelve para "x": \( \frac{x}{m} - n = p \)
\( \frac{x}{m} = p + n \)
\( x = m(p + n) \)
3. Resuelve para "y": \( 2ay + 3b = 5c \)
\( 2ay = 5c - 3b \)
\( y = \frac{5c - 3b}{2a} \)
4. Resuelve para "z": \( \frac{pz}{q} - r = s \)
\( \frac{pz}{q} = s + r \)
\( pz = q(s + r) \)
\( z = \frac{q(s + r)}{p} \)
5. Resuelve para "x": \( \frac{ax}{b} + c = d \)
\( \frac{ax}{b} = d - c \)
\( ax = b(d - c) \)
\( x = \frac{b(d - c)}{a} \)
6. Resuelve para "m": \( \frac{2m}{3} + n = 5n \)
\( \frac{2m}{3} = 5n - n \)
\( \frac{2m}{3} = 4n \)
\( 2m = 12n \)
\( m = 6n \)
7. Resuelve para "p": \( 4p - 2q = 6r \)
\( 4p = 6r + 2q \)
\( p = \frac{6r + 2q}{4} \)
\( p = \frac{3r + q}{2} \)
8. Resuelve para "x": \( ax - 5b = 3c \)
\( ax = 3c + 5b \)
\( x = \frac{3c + 5b}{a} \)
9. Resuelve para "y": \( \frac{y}{2} + a = 3a \)
\( \frac{y}{2} = 3a - a \)
\( \frac{y}{2} = 2a \)
\( y = 4a \)
10. Resuelve para "z": \( \frac{4z - a}{5} = 3b \)
\( 4z - a = 15b \)
\( 4z = 15b + a \)
\( z = \frac{15b + a}{4} \)