Libro Ecuaciones de primer grado
4. Ecuaciones con la Incógnita en Ambos Lados
Ecuaciones con la Incógnita en Ambos Lados
Subimos el nivel
Ahora resolveremos ecuaciones donde la incógnita aparece en ambos lados de la igualdad. La estrategia principal es trabajar con orden: reunir los términos con incógnita en un lado y los términos constantes en el otro.
Estrategia principal: agrupar términos
El objetivo es juntar todos los términos con incógnita, como \(5x\) o \(-2x\), en un lado de la ecuación, y todos los términos constantes, es decir, los números solos, en el otro lado.
- Paso 1: mueve todos los términos con incógnita a un solo lado.
- Paso 2: mueve todos los términos constantes al lado opuesto.
- Paso 3: simplifica y resuelve la ecuación que queda.
Un tip para evitar errores
Al decidir a qué lado mover las incógnitas, fíjate en sus coeficientes. Si mueves el término con el coeficiente menor hacia el lado donde está el coeficiente mayor, normalmente obtendrás un coeficiente positivo.
Por ejemplo, en \(7x - 5 = 3x + 11\), conviene mover el \(3x\) hacia el lado donde está \(7x\), porque:
\[ 7x - 3x = 4x \]
Esto ayuda a disminuir errores con signos negativos.
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: ecuación con enteros
Resuelve:
\[ 5x - 6 = 2x + 9 \]
Agrupamos los términos con \(x\) a la izquierda y las constantes a la derecha:
\[ 5x - 2x = 9 + 6 \]
Simplificamos ambos lados:
\[ 3x = 15 \]
Despejamos \(x\):
\[ x = \frac{15}{3} \]
\[ x = 5 \]
Solución: \(x = 5\).
Ejemplo 2: ecuación con racionales
Resuelve:
\[ \frac{1}{2}x + 1 = \frac{1}{4}x + 3 \]
Agrupamos los términos con \(x\) a la izquierda y las constantes a la derecha:
\[ \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x = 3 - 1 \]
Como \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4}\), entonces:
\[ \frac{2}{4}x - \frac{1}{4}x = 2 \]
\[ \frac{1}{4}x = 2 \]
Despejamos \(x\) multiplicando por \(4\):
\[ x = 2 \cdot 4 \]
\[ x = 8 \]
Solución: \(x = 8\).
Cuidado con las ecuaciones literales
Cuando trabajamos con letras, no siempre se obtiene un número al agrupar términos. En ecuaciones como \(ax + b = cx + d\), el paso clave es factorizar la incógnita común.
Ejemplo 3: ecuación con literales
Resuelve para \(x\):
\[ ax + b = cx + d \]
Agrupamos los términos con \(x\) a un lado y las constantes al otro:
\[ ax - cx = d - b \]
Factorizamos por \(x\) en el lado izquierdo:
\[ x(a - c) = d - b \]
Despejamos dividiendo por \(a - c\), considerando que \(a - c \neq 0\):
\[ x = \frac{d - b}{a - c} \]
Solución: \(x = \frac{d - b}{a - c}\), con \(a \neq c\).
Ejercicios
Ecuaciones con Enteros
Ejercicio 1
Resuelve:
\[ 7x - 5 = 3x + 11 \]
Agrupamos los términos con \(x\) a la izquierda y las constantes a la derecha:
\[ 7x - 3x = 11 + 5 \]
\[ 4x = 16 \]
Dividimos por \(4\):
\[ x = 4 \]
Solución: \(x = 4\).
Ejercicio 2
Resuelve:
\[ 2x + 9 = 5x - 6 \]
Movemos los términos con \(x\) a la derecha y las constantes a la izquierda:
\[ 9 + 6 = 5x - 2x \]
\[ 15 = 3x \]
Dividimos por \(3\):
\[ x = 5 \]
Solución: \(x = 5\).
Ejercicio 3
Resuelve:
\[ 9x - 4 = 2x + 10 \]
Agrupamos los términos con \(x\) a la izquierda y las constantes a la derecha:
\[ 9x - 2x = 10 + 4 \]
\[ 7x = 14 \]
Dividimos por \(7\):
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejercicio 4
Resuelve:
\[ -4x + 7 = -x - 2 \]
Movemos los términos con \(x\) a la derecha y las constantes a la izquierda:
\[ 7 + 2 = -x + 4x \]
\[ 9 = 3x \]
Dividimos por \(3\):
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = 3\).
Ejercicio 5
Resuelve:
\[ 6x + 1 = 15 - x \]
Agrupamos los términos con \(x\) a la izquierda y las constantes a la derecha:
\[ 6x + x = 15 - 1 \]
\[ 7x = 14 \]
Dividimos por \(7\):
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejercicio 6
Resuelve:
\[ 3x - 8 = -2x + 7 \]
Agrupamos los términos con \(x\) a la izquierda y las constantes a la derecha:
\[ 3x + 2x = 7 + 8 \]
\[ 5x = 15 \]
Dividimos por \(5\):
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = 3\).
Ejercicio 7
Resuelve:
\[ -x + 5 = 8x - 13 \]
Movemos los términos con \(x\) a la derecha y las constantes a la izquierda:
\[ 5 + 13 = 8x + x \]
\[ 18 = 9x \]
Dividimos por \(9\):
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejercicio 8
Resuelve:
\[ 10x + 3 = 4x + 21 \]
Agrupamos los términos con \(x\) a la izquierda y las constantes a la derecha:
\[ 10x - 4x = 21 - 3 \]
\[ 6x = 18 \]
Dividimos por \(6\):
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = 3\).
Ejercicio 9
Resuelve:
\[ -6x - 4 = -2x - 12 \]
Movemos los términos con \(x\) a la derecha y las constantes a la izquierda:
\[ -4 + 12 = -2x + 6x \]
\[ 8 = 4x \]
Dividimos por \(4\):
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejercicio 10
Resuelve:
\[ 5x - 14 = -3x + 2 \]
Agrupamos los términos con \(x\) a la izquierda y las constantes a la derecha:
\[ 5x + 3x = 2 + 14 \]
\[ 8x = 16 \]
Dividimos por \(8\):
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ecuaciones con Racionales
Ejercicio 1
Resuelve:
\[ \frac{1}{2}x + 3 = \frac{1}{4}x + 5 \]
Agrupamos términos:
\[ \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x = 5 - 3 \]
Como \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4}\), entonces:
\[ \frac{2}{4}x - \frac{1}{4}x = 2 \]
\[ \frac{1}{4}x = 2 \]
Multiplicamos por \(4\):
\[ x = 8 \]
Solución: \(x = 8\).
Ejercicio 2
Resuelve:
\[ \frac{2}{3}x - 1 = \frac{1}{6}x + 2 \]
Agrupamos términos:
\[ \frac{2}{3}x - \frac{1}{6}x = 2 + 1 \]
Como \(\frac{2}{3} = \frac{4}{6}\), entonces:
\[ \frac{4}{6}x - \frac{1}{6}x = 3 \]
\[ \frac{3}{6}x = 3 \]
\[ \frac{1}{2}x = 3 \]
Multiplicamos por \(2\):
\[ x = 6 \]
Solución: \(x = 6\).
Ejercicio 3
Resuelve:
\[ \frac{3}{5}x + 2 = \frac{1}{10}x + 3 \]
Agrupamos términos:
\[ \frac{3}{5}x - \frac{1}{10}x = 3 - 2 \]
Como \(\frac{3}{5} = \frac{6}{10}\), entonces:
\[ \frac{6}{10}x - \frac{1}{10}x = 1 \]
\[ \frac{5}{10}x = 1 \]
\[ \frac{1}{2}x = 1 \]
Multiplicamos por \(2\):
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejercicio 4
Resuelve:
\[ 0{,}8x - 1{,}5 = 0{,}2x + 0{,}3 \]
Agrupamos términos:
\[ 0{,}8x - 0{,}2x = 0{,}3 + 1{,}5 \]
\[ 0{,}6x = 1{,}8 \]
Dividimos por \(0{,}6\):
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = 3\).
Ejercicio 5
Resuelve:
\[ 1{,}2x + 0{,}4 = 0{,}5x + 2{,}5 \]
Agrupamos términos:
\[ 1{,}2x - 0{,}5x = 2{,}5 - 0{,}4 \]
\[ 0{,}7x = 2{,}1 \]
Dividimos por \(0{,}7\):
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = 3\).
Ejercicio 6
Resuelve:
\[ \frac{5}{8}x - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}x + \frac{1}{8} \]
Agrupamos términos:
\[ \frac{5}{8}x - \frac{1}{4}x = \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \]
Usamos denominador común \(8\):
\[ \frac{5}{8}x - \frac{2}{8}x = \frac{1}{8} + \frac{4}{8} \]
\[ \frac{3}{8}x = \frac{5}{8} \]
Multiplicamos por \(\frac{8}{3}\):
\[ x = \frac{5}{8}\cdot \frac{8}{3} \]
\[ x = \frac{5}{3} \]
Solución: \(x = \frac{5}{3}\).
Ejercicio 7
Resuelve:
\[ 2{,}4x + 1{,}6 = 1{,}2x + 4 \]
Agrupamos términos:
\[ 2{,}4x - 1{,}2x = 4 - 1{,}6 \]
\[ 1{,}2x = 2{,}4 \]
Dividimos por \(1{,}2\):
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejercicio 8
Resuelve:
\[ \frac{4}{9}x - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}x - \frac{1}{9} \]
Agrupamos términos:
\[ \frac{4}{9}x - \frac{1}{3}x = -\frac{1}{9} + \frac{2}{3} \]
Usamos denominador común \(9\):
\[ \frac{4}{9}x - \frac{3}{9}x = -\frac{1}{9} + \frac{6}{9} \]
\[ \frac{1}{9}x = \frac{5}{9} \]
Multiplicamos por \(9\):
\[ x = 5 \]
Solución: \(x = 5\).
Ejercicio 9
Resuelve:
\[ 0{,}5x - 2{,}5 = 0{,}1x - 0{,}5 \]
Agrupamos términos:
\[ 0{,}5x - 0{,}1x = -0{,}5 + 2{,}5 \]
\[ 0{,}4x = 2 \]
Dividimos por \(0{,}4\):
\[ x = 5 \]
Solución: \(x = 5\).
Ejercicio 10
Resuelve:
\[ \frac{7}{10}x + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}x + \frac{1}{2} \]
Agrupamos términos:
\[ \frac{7}{10}x - \frac{3}{5}x = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \]
Usamos denominador común \(10\):
\[ \frac{7}{10}x - \frac{6}{10}x = \frac{5}{10} - \frac{2}{10} \]
\[ \frac{1}{10}x = \frac{3}{10} \]
Multiplicamos por \(10\):
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = 3\).
Ecuaciones con Literales
Ejercicio 1
Resuelve para \(x\):
\[ ax + b = cx + d \]
Considera que \(a \neq c\).
Agrupamos términos con \(x\):
\[ ax - cx = d - b \]
Factorizamos por \(x\):
\[ x(a - c) = d - b \]
Dividimos por \(a - c\):
\[ x = \frac{d - b}{a - c} \]
Solución: \(x = \frac{d - b}{a - c}\), con \(a \neq c\).
Ejercicio 2
Resuelve para \(x\):
\[ mx - n = px + q \]
Considera que \(m \neq p\).
Agrupamos términos con \(x\):
\[ mx - px = q + n \]
Factorizamos por \(x\):
\[ x(m - p) = q + n \]
Dividimos por \(m - p\):
\[ x = \frac{q + n}{m - p} \]
Solución: \(x = \frac{q + n}{m - p}\), con \(m \neq p\).
Ejercicio 3
Resuelve para \(y\):
\[ ay + b = cy - d \]
Considera que \(a \neq c\).
Agrupamos términos con \(y\):
\[ ay - cy = -d - b \]
Factorizamos por \(y\):
\[ y(a - c) = -d - b \]
Dividimos por \(a - c\):
\[ y = \frac{-d - b}{a - c} \]
Solución: \(y = \frac{-d - b}{a - c}\), con \(a \neq c\).
Ejercicio 4
Resuelve para \(z\):
\[ \frac{z}{m} + n = \frac{z}{p} + q \]
Considera que \(m \neq 0\), \(p \neq 0\) y \(p \neq m\).
Agrupamos términos con \(z\):
\[ \frac{z}{m} - \frac{z}{p} = q - n \]
Factorizamos por \(z\):
\[ z\left(\frac{1}{m} - \frac{1}{p}\right) = q - n \]
Restamos las fracciones:
\[ \frac{1}{m} - \frac{1}{p} = \frac{p - m}{mp} \]
Entonces:
\[ z\left(\frac{p - m}{mp}\right) = q - n \]
Dividimos por \(\frac{p - m}{mp}\), o equivalentemente multiplicamos por \(\frac{mp}{p - m}\):
\[ z = \frac{mp(q - n)}{p - m} \]
Solución: \(z = \frac{mp(q - n)}{p - m}\), con \(m \neq 0\), \(p \neq 0\) y \(p \neq m\).
Ejercicio 5
Resuelve para \(x\):
\[ a(x + b) = c(x + d) \]
Considera que \(a \neq c\).
Aplicamos propiedad distributiva:
\[ ax + ab = cx + cd \]
Agrupamos términos con \(x\):
\[ ax - cx = cd - ab \]
Factorizamos por \(x\):
\[ x(a - c) = cd - ab \]
Dividimos por \(a - c\):
\[ x = \frac{cd - ab}{a - c} \]
Solución: \(x = \frac{cd - ab}{a - c}\), con \(a \neq c\).
Ejercicio 6
Resuelve para \(y\):
\[ \frac{y - a}{m} = \frac{y + b}{n} \]
Considera que \(m \neq 0\), \(n \neq 0\) y \(n \neq m\).
Multiplicamos en cruz:
\[ n(y - a) = m(y + b) \]
Aplicamos propiedad distributiva:
\[ ny - na = my + mb \]
Agrupamos términos con \(y\):
\[ ny - my = mb + na \]
Factorizamos por \(y\):
\[ y(n - m) = mb + na \]
Dividimos por \(n - m\):
\[ y = \frac{mb + na}{n - m} \]
Solución: \(y = \frac{mb + na}{n - m}\), con \(m \neq 0\), \(n \neq 0\) y \(n \neq m\).
Ejercicio 7
Resuelve para \(x\):
\[ a - x = b - cx \]
Considera que \(c \neq 1\).
Agrupamos términos con \(x\):
\[ cx - x = b - a \]
Factorizamos por \(x\):
\[ x(c - 1) = b - a \]
Dividimos por \(c - 1\):
\[ x = \frac{b - a}{c - 1} \]
Solución: \(x = \frac{b - a}{c - 1}\), con \(c \neq 1\).
Ejercicio 8
Resuelve para \(m\):
\[ \frac{2m - 3}{5} = \frac{m + 1}{2} \]
Multiplicamos en cruz:
\[ 2(2m - 3) = 5(m + 1) \]
Aplicamos propiedad distributiva:
\[ 4m - 6 = 5m + 5 \]
Agrupamos los términos con \(m\) a la derecha y las constantes a la izquierda:
\[ -6 - 5 = 5m - 4m \]
\[ -11 = m \]
Por lo tanto:
\[ m = -11 \]
Solución: \(m = -11\).
Ejercicio 9
Resuelve para \(x\):
\[ \frac{ax - b}{c} = d \]
Considera que \(a \neq 0\) y \(c \neq 0\).
Multiplicamos ambos lados por \(c\):
\[ ax - b = cd \]
Pasamos \(-b\) sumando \(b\):
\[ ax = cd + b \]
Dividimos por \(a\):
\[ x = \frac{cd + b}{a} \]
Solución: \(x = \frac{cd + b}{a}\), con \(a \neq 0\) y \(c \neq 0\).
Ejercicio 10
Resuelve para \(y\):
\[ p(y - q) = r(s - y) \]
Considera que \(p + r \neq 0\).
Aplicamos propiedad distributiva:
\[ py - pq = rs - ry \]
Agrupamos términos con \(y\):
\[ py + ry = rs + pq \]
Factorizamos por \(y\):
\[ y(p + r) = rs + pq \]
Dividimos por \(p + r\):
\[ y = \frac{rs + pq}{p + r} \]
Solución: \(y = \frac{rs + pq}{p + r}\), con \(p + r \neq 0\).