Libro Ecuaciones de primer grado
6. Resolviendo Problemas con Ecuaciones
Resolviendo Problemas con Ecuaciones
Las ecuaciones como herramienta
Las ecuaciones permiten resolver problemas de la vida cotidiana y de diversas áreas del conocimiento. En esta página aprenderemos a traducir enunciados verbales a ecuaciones matemáticas y a interpretar las soluciones en el contexto del problema.
Pasos para resolver problemas con ecuaciones
- Comprender el problema: leer cuidadosamente el enunciado, identificar la información relevante y reconocer qué se pide encontrar.
- Definir la incógnita: elegir una letra, generalmente \(x\), para representar la cantidad desconocida. Es fundamental escribir claramente qué representa.
- Plantear la ecuación: traducir el enunciado a una ecuación matemática que relacione la incógnita con los datos conocidos.
- Resolver la ecuación: utilizar los métodos aprendidos para despejar la incógnita.
- Interpretar la solución: verificar si la solución tiene sentido en el contexto y responder con una frase completa.
Idea clave: el arte de traducir
El paso más importante suele ser plantear la ecuación. Para hacerlo, piensa que estás traduciendo del lenguaje cotidiano al lenguaje matemático.
- “El doble de un número” se puede escribir como \(2x\).
- “La suma de dos cantidades” se puede representar con una adición.
- “Es igual a” se representa con el signo \(=\).
- “Cinco unidades más que un número” se puede escribir como \(x + 5\).
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: problema de edades
La suma de las edades de Ana y su hermano es \(28\). Si Ana tiene \(6\) años más que su hermano, ¿qué edad tiene cada uno?
Incógnita: sea \(x\) la edad del hermano.
Relación: como Ana tiene \(6\) años más que su hermano, su edad es \(x + 6\).
Ecuación:
\[ x + (x + 6) = 28 \]
Resolución:
\[ 2x + 6 = 28 \]
\[ 2x = 22 \]
\[ x = 11 \]
Interpretación: el hermano tiene \(11\) años. Ana tiene:
\[ 11 + 6 = 17 \]
Respuesta: el hermano de Ana tiene \(11\) años y Ana tiene \(17\) años.
Ejemplo 2: problema de dinero
Juan tiene \(\$50\) más que el doble de lo que tiene Pedro. Si entre los dos tienen \(\$500\), ¿cuánto dinero tiene cada uno?
Incógnita: sea \(x\) el dinero que tiene Pedro.
Relación: Juan tiene el doble de lo de Pedro más \(\$50\), es decir, \(2x + 50\).
Ecuación:
\[ x + (2x + 50) = 500 \]
Resolución:
\[ 3x + 50 = 500 \]
\[ 3x = 450 \]
\[ x = 150 \]
Interpretación: Pedro tiene \(\$150\). Juan tiene:
\[ 2(150) + 50 = 350 \]
Respuesta: Pedro tiene \(\$150\) y Juan tiene \(\$350\).
Sección: Identificando y Entendiendo la Incógnita
Ejercicio 1
Situación: un padre reparte \(\$100\) entre sus dos hijos. Al mayor le da \(\$20\) más que al menor.
Ecuación:
\[ x + (x + 20) = 100 \]
Preguntas: ¿qué representa \(x\)? ¿Y la expresión \(x + 20\)?
Como al mayor le dan \(\$20\) más que al menor, conviene representar primero la cantidad menor.
- \(x\) representa la cantidad de dinero que recibe el hijo menor.
- \(x + 20\) representa la cantidad de dinero que recibe el hijo mayor.
Ejercicio 2
Situación: el precio de un pantalón es el doble del precio de una camisa. Por ambos se pagan \(\$45\).
Ecuación:
\[ x + 2x = 45 \]
Preguntas: ¿qué representa \(x\)? ¿Y \(2x\)?
Como el pantalón cuesta el doble que la camisa, conviene representar primero el precio de la camisa.
- \(x\) representa el precio de la camisa.
- \(2x\) representa el precio del pantalón.
Ejercicio 3
Situación: un tren viaja a velocidad constante. Después de \(3\) horas ha recorrido \(240\) km.
Ecuación:
\[ 3x = 240 \]
Preguntas: ¿qué representa \(x\)? ¿Y \(3x\)?
La distancia recorrida se calcula multiplicando la velocidad por el tiempo.
- \(x\) representa la velocidad del tren en km/h.
- \(3x\) representa la distancia total recorrida en \(3\) horas.
Ejercicio 4
Situación: el perímetro de un cuadrado es \(36\) cm.
Ecuación:
\[ 4x = 36 \]
Pregunta: ¿qué representa \(x\)?
Un cuadrado tiene cuatro lados iguales, por eso el perímetro se expresa como \(4x\).
Entonces, \(x\) representa la longitud de un lado del cuadrado, medida en centímetros.
Ejercicio 5
Situación: una empresa tiene un costo fijo de \(\$2000\) y cada unidad cuesta \(\$5\). El costo total fue de \(\$3500\).
Ecuación:
\[ 5x + 2000 = 3500 \]
Preguntas: ¿qué representa \(x\)? ¿Y \(5x\)?
El costo total se forma con un costo fijo más un costo que depende de la cantidad producida.
- \(x\) representa la cantidad de unidades producidas.
- \(5x\) representa el costo variable total de producir esas unidades.
Ejercicio 6
Situación: Ana regala \(15\) de sus monedas y le queda la tercera parte de lo que tenía.
Ecuación:
\[ x - 15 = \frac{1}{3}x \]
Preguntas: ¿qué representa \(x\)? ¿Y \(x - 15\)?
Como el enunciado habla de lo que tenía al inicio y de lo que le queda después de regalar monedas:
- \(x\) representa la cantidad original de monedas que tenía Ana.
- \(x - 15\) representa la cantidad de monedas que le quedan después de regalar \(15\).
Ejercicios de Resolución de Problemas
Ejercicio 1
Un número es \(5\) unidades mayor que otro. Si la suma de ambos es \(37\), ¿cuáles son los números?
Sea \(x\) el número menor.
Entonces, el número mayor es \(x + 5\).
Planteamos la ecuación:
\[ x + (x + 5) = 37 \]
\[ 2x + 5 = 37 \]
\[ 2x = 32 \]
\[ x = 16 \]
El número mayor es:
\[ 16 + 5 = 21 \]
Respuesta: los números son \(16\) y \(21\).
Ejercicio 2
El triple de un número menos \(8\) es igual a \(16\). ¿Cuál es el número?
Sea \(x\) el número.
El triple del número es \(3x\), y al restarle \(8\) se obtiene \(16\):
\[ 3x - 8 = 16 \]
\[ 3x = 24 \]
\[ x = 8 \]
Respuesta: el número es \(8\).
Ejercicio 3
La edad de Juan es el doble de la de María. Si la suma de sus edades es \(45\), ¿qué edad tiene cada uno?
Sea \(x\) la edad de María.
Como Juan tiene el doble, su edad es \(2x\).
Planteamos:
\[ x + 2x = 45 \]
\[ 3x = 45 \]
\[ x = 15 \]
María tiene \(15\) años y Juan tiene:
\[ 2(15) = 30 \]
Respuesta: María tiene \(15\) años y Juan tiene \(30\) años.
Ejercicio 4
El largo de un rectángulo mide \(4\) cm más que el ancho. Si el perímetro es \(48\) cm, ¿cuáles son sus dimensiones?
Sea \(x\) el ancho del rectángulo.
Entonces, el largo es \(x + 4\).
El perímetro de un rectángulo es la suma de sus cuatro lados:
\[ 2x + 2(x + 4) = 48 \]
\[ 2x + 2x + 8 = 48 \]
\[ 4x + 8 = 48 \]
\[ 4x = 40 \]
\[ x = 10 \]
El ancho mide \(10\) cm y el largo mide:
\[ 10 + 4 = 14 \]
Respuesta: el ancho mide \(10\) cm y el largo mide \(14\) cm.
Ejercicio 5
Ana compró \(3\) cuadernos y \(2\) lápices por \(\$8\). Si cada lápiz cuesta \(\$1\), ¿cuánto cuesta cada cuaderno?
Sea \(x\) el costo de cada cuaderno.
Los \(3\) cuadernos cuestan \(3x\), y los \(2\) lápices cuestan \(2\cdot 1\).
Planteamos:
\[ 3x + 2(1) = 8 \]
\[ 3x + 2 = 8 \]
\[ 3x = 6 \]
\[ x = 2 \]
Respuesta: cada cuaderno cuesta \(\$2\).
Ejercicio 6
Si a un número le resto \(15\) y luego lo multiplico por \(4\), obtengo \(20\). ¿Cuál es el número?
Sea \(x\) el número.
Primero se resta \(15\), obteniendo \(x - 15\). Luego se multiplica por \(4\):
\[ 4(x - 15) = 20 \]
\[ 4x - 60 = 20 \]
\[ 4x = 80 \]
\[ x = 20 \]
Respuesta: el número es \(20\).
Ejercicio 7
La suma de tres números consecutivos es \(51\). ¿Cuáles son los números?
Sea \(x\) el primer número.
Los tres números consecutivos son:
\[ x,\quad x + 1,\quad x + 2 \]
Planteamos:
\[ x + (x + 1) + (x + 2) = 51 \]
\[ 3x + 3 = 51 \]
\[ 3x = 48 \]
\[ x = 16 \]
Entonces los números son \(16\), \(17\) y \(18\).
Respuesta: los números son \(16\), \(17\) y \(18\).
Ejercicio 8
Un padre tiene \(35\) años y su hijo \(5\). ¿En cuántos años la edad del padre será el triple que la del hijo?
Sea \(x\) la cantidad de años que deben transcurrir.
En \(x\) años, el padre tendrá \(35 + x\) años y el hijo tendrá \(5 + x\) años.
Queremos que la edad del padre sea el triple de la edad del hijo:
\[ 35 + x = 3(5 + x) \]
\[ 35 + x = 15 + 3x \]
\[ 20 = 2x \]
\[ x = 10 \]
Respuesta: en \(10\) años la edad del padre será el triple que la del hijo.
Ejercicio 9
Si al doble de un número se le resta su mitad, resulta \(54\). ¿Cuál es el número?
Sea \(x\) el número.
El doble del número es \(2x\), y su mitad es \(\frac{x}{2}\).
Planteamos:
\[ 2x - \frac{x}{2} = 54 \]
Usamos denominador común \(2\):
\[ \frac{4x}{2} - \frac{x}{2} = 54 \]
\[ \frac{3x}{2} = 54 \]
Multiplicamos por \(2\):
\[ 3x = 108 \]
\[ x = 36 \]
Respuesta: el número es \(36\).
Ejercicio 10
La base de un rectángulo es el doble de su altura. Su perímetro es \(30\) cm. ¿Cuáles son sus dimensiones?
Sea \(x\) la altura del rectángulo.
Entonces, la base es \(2x\).
El perímetro es:
\[ 2(\text{base}) + 2(\text{altura}) \]
Planteamos:
\[ 2(2x) + 2x = 30 \]
\[ 4x + 2x = 30 \]
\[ 6x = 30 \]
\[ x = 5 \]
La altura mide \(5\) cm y la base mide:
\[ 2(5) = 10 \]
Respuesta: la altura mide \(5\) cm y la base mide \(10\) cm.
Ejercicio 11
Encuentra dos números cuya suma sea \(40\) y cuya diferencia sea \(14\).
Sea \(x\) el número menor.
Como la diferencia es \(14\), el número mayor es \(x + 14\).
La suma de ambos es \(40\):
\[ x + (x + 14) = 40 \]
\[ 2x + 14 = 40 \]
\[ 2x = 26 \]
\[ x = 13 \]
El número mayor es:
\[ 13 + 14 = 27 \]
Respuesta: los números son \(13\) y \(27\).
Ejercicio 12
Un tren va de A a B, separados por \(300\) km, en \(3\) horas. Otro tren va de B a A en \(2\) horas. Si salen al mismo tiempo, ¿cuándo se encuentran?
Calculamos la velocidad de cada tren.
Tren 1:
\[ \frac{300}{3} = 100\text{ km/h} \]
Tren 2:
\[ \frac{300}{2} = 150\text{ km/h} \]
Sea \(t\) el tiempo, en horas, hasta que se encuentran.
Entre ambos deben recorrer \(300\) km:
\[ 100t + 150t = 300 \]
\[ 250t = 300 \]
\[ t = \frac{300}{250} = 1{,}2 \]
Como \(0{,}2\) horas equivalen a \(12\) minutos, se encuentran en \(1\) hora y \(12\) minutos.
Respuesta: se encuentran después de \(1{,}2\) horas, es decir, \(1\) hora y \(12\) minutos.
Ejercicio 13
Un servicio técnico cobra \(\$8000\) por la visita y \(\$12000\) por cada hora de trabajo. Si la cuenta total fue de \(\$56000\), ¿cuántas horas trabajó?
Sea \(x\) la cantidad de horas trabajadas.
El costo total se compone de un costo fijo más el costo por hora:
\[ 8000 + 12000x = 56000 \]
Restamos \(8000\) a ambos lados:
\[ 12000x = 48000 \]
Dividimos por \(12000\):
\[ x = 4 \]
Respuesta: el servicio técnico trabajó \(4\) horas.
Ejercicio 14
Halla los ángulos de un triángulo si \(B\) mide \(40^\circ\) más que \(C\), y \(A\) mide \(40^\circ\) más que \(B\).
Sea \(x\) la medida del ángulo \(C\).
Entonces:
\[ C = x \]
\[ B = x + 40 \]
Como \(A\) mide \(40^\circ\) más que \(B\):
\[ A = x + 80 \]
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es \(180^\circ\):
\[ x + (x + 40) + (x + 80) = 180 \]
\[ 3x + 120 = 180 \]
\[ 3x = 60 \]
\[ x = 20 \]
Entonces:
\[ C = 20^\circ,\quad B = 60^\circ,\quad A = 100^\circ \]
Respuesta: los ángulos son \(20^\circ\), \(60^\circ\) y \(100^\circ\).
Ejercicio 15
Literales. El largo de un rectángulo es \(l\) y su ancho es \(w\). Si el largo aumenta en \(4\) y el ancho disminuye en \(2\), el área no cambia. Expresa \(l\) en función de \(w\).
El área original del rectángulo es:
\[ lw \]
Después del cambio, el largo es \(l + 4\) y el ancho es \(w - 2\), por lo tanto el área nueva es:
\[ (l + 4)(w - 2) \]
Como el área no cambia:
\[ lw = (l + 4)(w - 2) \]
Aplicamos propiedad distributiva:
\[ lw = lw - 2l + 4w - 8 \]
Restamos \(lw\) a ambos lados:
\[ 0 = -2l + 4w - 8 \]
Despejamos \(l\):
\[ 2l = 4w - 8 \]
\[ l = 2w - 4 \]
Respuesta: \(l = 2w - 4\).