Libro Fracciones
9. Potencias de Base Fraccionaria y Exponente Natural
Potencias de Base Fraccionaria y Exponente Natural
Definición
¿Qué es una potencia?
Una potencia indica la multiplicación de una base por sí misma tantas veces como lo señala el exponente. En esta lección, la base será una fracción y el exponente será un número natural. Más adelante también estudiaremos el caso especial del exponente cero.
Fórmula general
La potencia de una fracción \( \frac{a}{b} \) elevada a un exponente natural \(n\) se calcula elevando tanto el numerador como el denominador a ese exponente:
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} \qquad \text{con } b\neq 0 \]
Condición importante
El denominador de una fracción nunca puede ser cero, porque la división por cero no está definida.
Ejemplo de cálculo
Para calcular \( \left(\frac{2}{3}\right)^4 \), multiplicamos la fracción por sí misma cuatro veces:
\[ \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3} = \frac{2\cdot2\cdot2\cdot2}{3\cdot3\cdot3\cdot3} = \frac{16}{81} \]
Propiedades fundamentales
Propiedad 1: signo de la potencia
El signo del resultado depende del signo de la base y de si el exponente es par o impar.
- Si la base es positiva, el resultado siempre será positivo.
- Si la base es negativa y el exponente es par, el resultado será positivo.
- Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado será negativo.
Justificación del signo
Al elevar una base negativa a una potencia par, los signos negativos se agrupan en pares y el resultado queda positivo.
Al elevar una base negativa a una potencia impar, queda un signo negativo sin pareja, por lo que el resultado final es negativo.
Ejemplos: signo según el exponente
Base positiva:
\[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} \gt 0 \]
Base negativa con exponente par:
\[ \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{(-2)^2}{3^2} = \frac{4}{9} \gt 0 \]
Base negativa con exponente impar:
\[ \left(-\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{(-3)^3}{4^3} = -\frac{27}{64} \lt 0 \]
1. Ejercicios de signo de la potencia
Determina el signo y aplica la propiedad de la potencia de una fracción. No es necesario calcular el valor final si los números son muy grandes.
- \( \left( \frac{3}{5} \right)^3 \)
- \( \left( \frac{1}{4} \right)^6 \)
- \( \left( \frac{2}{7} \right)^9 \)
- \( \left( -\frac{2}{3} \right)^4 \)
- \( \left( -\frac{5}{6} \right)^2 \)
- \( \left( -\frac{1}{2} \right)^5 \)
- \( \left( -\frac{3}{4} \right)^7 \)
- \( \left( \frac{x}{y} \right)^2 \), con \(y\neq 0\)
- \( \left( \frac{-2a}{3} \right)^4 \)
- \( \left( \frac{5m}{-n} \right)^3 \), con \(n\neq 0\)
Solución desarrollada
- \[ \left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{3^3}{5^3} = \frac{27}{125} \gt 0 \]
- \[ \left(\frac{1}{4}\right)^6 = \frac{1^6}{4^6} = \frac{1}{4^6} \gt 0 \]
- \[ \left(\frac{2}{7}\right)^9 = \frac{2^9}{7^9} \gt 0 \]
- \[ \left(-\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{(-2)^4}{3^4} = \frac{16}{81} \gt 0 \]
- \[ \left(-\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{(-5)^2}{6^2} = \frac{25}{36} \gt 0 \]
- \[ \left(-\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{(-1)^5}{2^5} = -\frac{1}{32} \]
- \[ \left(-\frac{3}{4}\right)^7 = \frac{(-3)^7}{4^7} = -\frac{3^7}{4^7} \]
- \[ \left(\frac{x}{y}\right)^2 = \frac{x^2}{y^2} \qquad \text{con } y\neq 0 \] El resultado es positivo si \(x\neq 0\), y es \(0\) si \(x=0\).
- \[ \left(\frac{-2a}{3}\right)^4 = \frac{(-2a)^4}{3^4} = \frac{16a^4}{81} \]
- \[ \left(\frac{5m}{-n}\right)^3 = \frac{(5m)^3}{(-n)^3} = -\frac{125m^3}{n^3} \qquad \text{con } n\neq 0 \] El signo final depende del signo de \(m\) y de \(n\).
Propiedad 2: producto de potencias de igual base
Para multiplicar potencias que tienen la misma base, se conserva la base y se suman los exponentes.
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^m\cdot\left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m+n} \qquad \text{con } b\neq 0 \]
Justificación
La propiedad se obtiene aplicando la definición de potencia y luego la multiplicación de fracciones:
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^m\cdot\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^m}{b^m}\cdot\frac{a^n}{b^n} = \frac{a^m\cdot a^n}{b^m\cdot b^n} = \frac{a^{m+n}}{b^{m+n}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{m+n} \]
Ejemplo: producto con base negativa
Resolver:
\[ \left(-\frac{1}{2}\right)^2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^3 \]
Como las bases son iguales, se suman los exponentes:
\[ \left(-\frac{1}{2}\right)^{2+3} = \left(-\frac{1}{2}\right)^5 \]
Como la base es negativa y el exponente final es impar, el resultado es negativo:
\[ \left(-\frac{1}{2}\right)^5 = -\frac{1}{32} \]
2. Ejercicios de producto de potencias
Resuelve aplicando la propiedad de multiplicación de potencias de igual base.
- \( \left( \frac{1}{2} \right)^2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 \)
- \( \left( \frac{3}{4} \right)^4 \cdot \left( \frac{3}{4} \right) \)
- \( \left( \frac{2}{5} \right)^1 \cdot \left( \frac{2}{5} \right)^3 \)
- \( \left(-\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^2 \)
- \( \left(-\frac{2}{5}\right)^3 \cdot \left(-\frac{2}{5}\right)^2 \)
- \( \left(-\frac{1}{4}\right)^3 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^1 \)
- \( \left(-\frac{3}{2}\right)^1 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^4 \)
- \( \left(\frac{a}{b}\right)^2 \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^3 \), con \(b\neq 0\)
- \( \left(\frac{2x}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2x}{3}\right)^2 \)
- \( \left(\frac{-m}{2n}\right)^3 \cdot \left(\frac{-m}{2n}\right)^1 \), con \(n\neq 0\)
Solución desarrollada
- \[ \left(\frac{1}{2}\right)^{2+3} = \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32} \]
- \[ \left(\frac{3}{4}\right)^{4+1} = \left(\frac{3}{4}\right)^5 = \frac{3^5}{4^5} \]
- \[ \left(\frac{2}{5}\right)^{1+3} = \left(\frac{2}{5}\right)^4 = \frac{16}{625} \]
- \[ \left(-\frac{1}{3}\right)^{2+2} = \left(-\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1}{81} \]
- \[ \left(-\frac{2}{5}\right)^{3+2} = \left(-\frac{2}{5}\right)^5 = -\frac{2^5}{5^5} \]
- \[ \left(-\frac{1}{4}\right)^{3+1} = \left(-\frac{1}{4}\right)^4 = \frac{1}{256} \]
- \[ \left(-\frac{3}{2}\right)^{1+4} = \left(-\frac{3}{2}\right)^5 = -\frac{3^5}{2^5} \]
- \[ \left(\frac{a}{b}\right)^{2+3} = \left(\frac{a}{b}\right)^5 = \frac{a^5}{b^5} \qquad \text{con } b\neq 0 \]
- \[ \left(\frac{2x}{3}\right)^{2+2} = \left(\frac{2x}{3}\right)^4 = \frac{16x^4}{81} \]
- \[ \left(\frac{-m}{2n}\right)^{3+1} = \left(\frac{-m}{2n}\right)^4 = \frac{m^4}{16n^4} \qquad \text{con } n\neq 0 \]
Propiedad 3: cociente de potencias de igual base
Para dividir potencias que tienen la misma base, se conserva la base y se restan los exponentes.
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^m\div\left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m-n} \]
En esta guía usaremos esta propiedad en casos donde la base no es cero y \(m\ge n\).
Justificación
Esta propiedad se basa en dividir potencias de igual base:
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^m \div \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^m}{b^m} \div \frac{a^n}{b^n} = \frac{a^m}{b^m}\cdot\frac{b^n}{a^n} = \frac{a^{m-n}}{b^{m-n}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{m-n} \]
Ejemplo: cociente con base negativa
Resolver:
\[ \left(-\frac{3}{4}\right)^5 \div \left(-\frac{3}{4}\right)^3 \]
Como las bases son iguales, se restan los exponentes:
\[ \left(-\frac{3}{4}\right)^{5-3} = \left(-\frac{3}{4}\right)^2 \]
Como el exponente final es par, el resultado es positivo:
\[ \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} \]
3. Ejercicios de cociente de potencias
Resuelve aplicando la propiedad de división de potencias de igual base.
- \( \left( \frac{4}{5} \right)^5 \div \left( \frac{4}{5} \right)^3 \)
- \( \left( \frac{2}{3} \right)^6 \div \left( \frac{2}{3} \right)^2 \)
- \( \left( \frac{1}{2} \right)^4 \div \left( \frac{1}{2} \right)^4 \)
- \( \left( -\frac{3}{5} \right)^3 \div \left( -\frac{3}{5} \right)^1 \)
- \( \left( -\frac{2}{7} \right)^5 \div \left( -\frac{2}{7} \right)^4 \)
- \( \left( -\frac{1}{4} \right)^4 \div \left( -\frac{1}{4} \right)^2 \)
- \( \left( -\frac{5}{3} \right)^6 \div \left( -\frac{5}{3} \right)^3 \)
- \( \left( \frac{x}{y} \right)^7 \div \left( \frac{x}{y} \right)^4 \), con \(x,y\neq 0\)
- \( \left( \frac{3a}{2} \right)^5 \div \left( \frac{3a}{2} \right)^3 \)
- \( \left( \frac{-2m}{n} \right)^8 \div \left( \frac{-2m}{n} \right)^4 \), con \(m,n\neq 0\)
Solución desarrollada
- \[ \left(\frac{4}{5}\right)^{5-3} = \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} \]
- \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{6-2} = \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81} \]
- \[ \left(\frac{1}{2}\right)^{4-4} = \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1 \]
- \[ \left(-\frac{3}{5}\right)^{3-1} = \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} \]
- \[ \left(-\frac{2}{7}\right)^{5-4} = \left(-\frac{2}{7}\right)^1 = -\frac{2}{7} \]
- \[ \left(-\frac{1}{4}\right)^{4-2} = \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} \]
- \[ \left(-\frac{5}{3}\right)^{6-3} = \left(-\frac{5}{3}\right)^3 = -\frac{125}{27} \]
- \[ \left(\frac{x}{y}\right)^{7-4} = \left(\frac{x}{y}\right)^3 = \frac{x^3}{y^3} \qquad \text{con } x,y\neq 0 \]
- \[ \left(\frac{3a}{2}\right)^{5-3} = \left(\frac{3a}{2}\right)^2 = \frac{9a^2}{4} \]
- \[ \left(\frac{-2m}{n}\right)^{8-4} = \left(\frac{-2m}{n}\right)^4 = \frac{16m^4}{n^4} \qquad \text{con } m,n\neq 0 \]
Propiedad 4: potencia de una potencia
Para elevar una potencia a otra potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes.
\[ \left(\left(\frac{a}{b}\right)^m\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m\cdot n} \qquad \text{con } b\neq 0 \]
Justificación
La propiedad se obtiene aplicando la potencia tanto al numerador como al denominador:
\[ \left(\left(\frac{a}{b}\right)^m\right)^n = \left(\frac{a^m}{b^m}\right)^n = \frac{(a^m)^n}{(b^m)^n} = \frac{a^{m\cdot n}}{b^{m\cdot n}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{m\cdot n} \]
Ejemplo: potencia de una potencia
Resolver:
\[ \left(\left(-\frac{2}{5}\right)^3\right)^3 \]
Multiplicamos los exponentes:
\[ \left(-\frac{2}{5}\right)^{3\cdot3} = \left(-\frac{2}{5}\right)^9 \]
Como la base es negativa y el exponente final es impar:
\[ \left(-\frac{2}{5}\right)^9 = -\frac{2^9}{5^9} \]
4. Ejercicios de potencia de una potencia
Aplica la propiedad de potencia de una potencia para simplificar las expresiones.
- \( \left( \left( \frac{2}{3} \right)^2 \right)^3 \)
- \( \left( \left( \frac{1}{5} \right)^4 \right)^2 \)
- \( \left( \left( \frac{4}{3} \right)^3 \right)^3 \)
- \( \left( \left( -\frac{1}{2} \right)^3 \right)^2 \)
- \( \left( \left( -\frac{3}{5} \right)^5 \right)^1 \)
- \( \left( \left( -\frac{2}{3} \right)^3 \right)^3 \)
- \( \left( \left( -\frac{1}{4} \right)^1 \right)^3 \)
- \( \left( \left( \frac{x}{2} \right)^2 \right)^3 \)
- \( \left( \left( \frac{-3}{a} \right)^3 \right)^3 \), con \(a\neq 0\)
- \( \left( \left( \frac{m}{-2n} \right)^5 \right)^2 \), con \(n\neq 0\)
Solución desarrollada
- \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{2\cdot3} = \left(\frac{2}{3}\right)^6 = \frac{64}{729} \]
- \[ \left(\frac{1}{5}\right)^{4\cdot2} = \left(\frac{1}{5}\right)^8 = \frac{1}{5^8} \]
- \[ \left(\frac{4}{3}\right)^{3\cdot3} = \left(\frac{4}{3}\right)^9 = \frac{4^9}{3^9} \]
- \[ \left(-\frac{1}{2}\right)^{3\cdot2} = \left(-\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64} \]
- \[ \left(-\frac{3}{5}\right)^{5\cdot1} = \left(-\frac{3}{5}\right)^5 = -\frac{3^5}{5^5} \]
- \[ \left(-\frac{2}{3}\right)^{3\cdot3} = \left(-\frac{2}{3}\right)^9 = -\frac{2^9}{3^9} \]
- \[ \left(-\frac{1}{4}\right)^{1\cdot3} = \left(-\frac{1}{4}\right)^3 = -\frac{1}{64} \]
- \[ \left(\frac{x}{2}\right)^{2\cdot3} = \left(\frac{x}{2}\right)^6 = \frac{x^6}{64} \]
- \[ \left(\frac{-3}{a}\right)^{3\cdot3} = \left(\frac{-3}{a}\right)^9 = -\frac{3^9}{a^9} \qquad \text{con } a\neq 0 \]
- \[ \left(\frac{m}{-2n}\right)^{5\cdot2} = \left(\frac{m}{-2n}\right)^{10} = \frac{m^{10}}{2^{10}n^{10}} \qquad \text{con } n\neq 0 \]
Propiedad 5: exponente cero
Cualquier fracción no nula elevada al exponente cero es igual a \(1\).
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^0=1 \qquad \text{con } a\neq 0,\; b\neq 0 \]
Condiciones importantes
Para aplicar esta propiedad, la base no puede ser cero. Además, el denominador de la fracción nunca puede ser cero.
Por eso, \(0^0\) no se considera igual a \(1\) en este contexto.
Justificación
La regla del exponente cero se puede entender usando el cociente de potencias:
\[ x^n\div x^n = x^{n-n} = x^0 \]
Pero también sabemos que un número no nulo dividido por sí mismo es \(1\). Por eso, \(x^0=1\) para \(x\neq 0\).
Ejemplo: exponente cero con base negativa
\[ \left(-\frac{4}{7}\right)^0=1 \]
La base es una fracción no nula, por lo tanto se puede aplicar la propiedad del exponente cero.
5. Ejercicios de exponente cero y combinados
Resuelve las siguientes potencias.
- \( \left(-\frac{2}{3}\right)^0 \)
- \( \left(\frac{10}{11}\right)^0 \)
- \( \left(\frac{4x}{y}\right)^0 \), con \(x,y\neq 0\)
- \( \left( \frac{4}{5} \right)^3 \div \left( \frac{4}{5} \right)^3 \)
- \( \frac{\left(-\frac{2}{7}\right)^5}{\left(-\frac{2}{7}\right)^5} \)
Solución desarrollada
- \[ \left(-\frac{2}{3}\right)^0=1 \]
- \[ \left(\frac{10}{11}\right)^0=1 \]
- \[ \left(\frac{4x}{y}\right)^0=1 \qquad \text{con } x,y\neq 0 \]
- \[ \left(\frac{4}{5}\right)^3 \div \left(\frac{4}{5}\right)^3 = \left(\frac{4}{5}\right)^{3-3} = \left(\frac{4}{5}\right)^0 = 1 \]
- \[ \frac{\left(-\frac{2}{7}\right)^5}{\left(-\frac{2}{7}\right)^5} = \left(-\frac{2}{7}\right)^{5-5} = \left(-\frac{2}{7}\right)^0 = 1 \]
Propiedad 6: exponente uno
Cualquier fracción elevada al exponente uno es igual a la misma fracción.
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^1=\frac{a}{b} \qquad \text{con } b\neq 0 \]
Justificación
El exponente indica cuántas veces aparece la base como factor. Si el exponente es \(1\), la base aparece una sola vez, por lo que el resultado no cambia.
Ejemplo: exponente uno con base negativa
\[ \left(-\frac{8}{3}\right)^1 = -\frac{8}{3} \]
6. Ejercicios de exponente uno y combinados
Resuelve las siguientes potencias y expresiones combinadas.
- \( \left(\frac{5}{9}\right)^1 \)
- \( \left(-\frac{x}{y}\right)^1 \), con \(y\neq 0\)
- \( \left( \frac{2}{3} \right)^5 \div \left( \frac{2}{3} \right)^4 \)
- \( \frac{\left(-\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right)^3}{\left(-\frac{4}{5}\right)^4} \)
Solución desarrollada
- \[ \left(\frac{5}{9}\right)^1 = \frac{5}{9} \]
- \[ \left(-\frac{x}{y}\right)^1 = -\frac{x}{y} \qquad \text{con } y\neq 0 \]
- \[ \left(\frac{2}{3}\right)^5 \div \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \left(\frac{2}{3}\right)^{5-4} = \left(\frac{2}{3}\right)^1 = \frac{2}{3} \]
- \[ \frac{\left(-\frac{4}{5}\right)^2\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)^3}{\left(-\frac{4}{5}\right)^4} = \frac{\left(-\frac{4}{5}\right)^{2+3}}{\left(-\frac{4}{5}\right)^4} = \left(-\frac{4}{5}\right)^{5-4} = \left(-\frac{4}{5}\right)^1 = -\frac{4}{5} \]
Síntesis: combinando todas las propiedades
En muchos ejercicios se combinan varias propiedades de las potencias. Por eso conviene identificar primero qué operación aparece: producto, cociente, potencia de potencia, exponente cero o exponente uno.
Tabla resumen de propiedades
| Propiedad | Fórmula |
|---|---|
| Producto de potencias | \( \left(\frac{a}{b}\right)^m\cdot\left(\frac{a}{b}\right)^n=\left(\frac{a}{b}\right)^{m+n} \) |
| Cociente de potencias | \( \left(\frac{a}{b}\right)^m\div\left(\frac{a}{b}\right)^n=\left(\frac{a}{b}\right)^{m-n} \) |
| Potencia de una potencia | \( \left(\left(\frac{a}{b}\right)^m\right)^n=\left(\frac{a}{b}\right)^{m\cdot n} \) |
| Exponente cero | \( \left(\frac{a}{b}\right)^0=1 \), con \(a,b\neq 0\) |
| Exponente uno | \( \left(\frac{a}{b}\right)^1=\frac{a}{b} \) |
Ejemplo de síntesis A: producto y cociente
Resolver:
\[ \frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^5\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^2}{\left(-\frac{2}{3}\right)^6} \]
Primero resolvemos el producto del numerador:
\[ \frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^{5+2}}{\left(-\frac{2}{3}\right)^6} = \frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^7}{\left(-\frac{2}{3}\right)^6} \]
Luego aplicamos la propiedad del cociente:
\[ \left(-\frac{2}{3}\right)^{7-6} = \left(-\frac{2}{3}\right)^1 = -\frac{2}{3} \]
Ejemplo de síntesis B: múltiples propiedades
Resolver:
\[ \left(\frac{(x^4)^2\cdot y^5}{x^5\cdot y^2}\right)^3 \]
Primero resolvemos la potencia de una potencia:
\[ \left(\frac{x^{4\cdot2}\cdot y^5}{x^5\cdot y^2}\right)^3 = \left(\frac{x^8\cdot y^5}{x^5\cdot y^2}\right)^3 \]
Simplificamos dentro del paréntesis:
\[ \left(x^{8-5}\cdot y^{5-2}\right)^3 = \left(x^3y^3\right)^3 \]
Finalmente aplicamos potencia de una potencia:
\[ (x^3)^3(y^3)^3 = x^9y^9 \]
Ejercicios de síntesis
Resuelve las siguientes expresiones combinando las propiedades de las potencias. Simplifica al máximo.
- \( \left( \frac{1}{2} \right)^2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 \div \left( \frac{1}{2} \right)^4 \)
- \( \left( \left( -\frac{2}{3} \right)^2 \right)^3 \)
- \( \frac{\left( \frac{a}{b} \right)^5}{\left( \frac{a}{b} \right)^2 \cdot \left( \frac{a}{b} \right)^3} \), con \(a,b\neq 0\)
- \( \left( \frac{x^4}{y^2} \right)^2 \), con \(y\neq 0\)
- \( \left( -\frac{3}{5} \right)^7 \div \left( -\frac{3}{5} \right)^5 \)
- \( \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^5 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)}{\left( \frac{2}{3} \right)^4} \)
- \( \left( \left( \frac{1}{4} \right)^3 \div \left( \frac{1}{4} \right)^2 \right)^5 \)
- \( \left( \frac{-m}{n} \right)^3 \cdot \left( \frac{-m}{n} \right)^4 \div \left( \frac{-m}{n} \right)^7 \), con \(m,n\neq 0\)
- \( \frac{a^3\cdot b^5}{a^2\cdot b^2} \), con \(a,b\neq 0\)
- \( \left( \frac{2x^3}{y} \right)^2 \cdot \left( \frac{y^2}{x^2} \right)^2 \), con \(x,y\neq 0\)
- \( \frac{\left( \left(-\frac{1}{2}\right)^5 \div \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \right)^3}{\left(-\frac{1}{2}\right)^8} \)
- \( \frac{\left( (-2)^3 \right)^2}{(-2)^5} \)
- \( \left( \frac{a^2 b^3}{c^4} \right)^2 \cdot \frac{c^9}{a^4 b^5} \), con \(a,b,c\neq 0\)
- \( \left( \frac{3^4\cdot2^5}{3^2\cdot2^3} \right)^2 \)
- \( \left( \frac{x^2\cdot y^3}{x\cdot y^2} \right)^0 \cdot x^2y \), con \(x,y\neq 0\)
Solución desarrollada
- \[ \left(\frac{1}{2}\right)^{2+3-4} = \left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{1}{2} \]
- \[ \left(-\frac{2}{3}\right)^{2\cdot3} = \left(-\frac{2}{3}\right)^6 = \frac{64}{729} \]
- \[ \frac{\left(\frac{a}{b}\right)^5}{\left(\frac{a}{b}\right)^2\cdot\left(\frac{a}{b}\right)^3} = \frac{\left(\frac{a}{b}\right)^5}{\left(\frac{a}{b}\right)^{2+3}} = \frac{\left(\frac{a}{b}\right)^5}{\left(\frac{a}{b}\right)^5} = \left(\frac{a}{b}\right)^0 = 1 \]
- \[ \left(\frac{x^4}{y^2}\right)^2 = \frac{(x^4)^2}{(y^2)^2} = \frac{x^8}{y^4} \]
- \[ \left(-\frac{3}{5}\right)^{7-5} = \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} \]
- \[ \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^5\cdot\left(\frac{2}{3}\right)}{\left(\frac{2}{3}\right)^4} = \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^6}{\left(\frac{2}{3}\right)^4} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \]
- \[ \left(\left(\frac{1}{4}\right)^{3-2}\right)^5 = \left(\left(\frac{1}{4}\right)^1\right)^5 = \left(\frac{1}{4}\right)^5 = \frac{1}{4^5} \]
- \[ \left(\frac{-m}{n}\right)^{3+4-7} = \left(\frac{-m}{n}\right)^0 = 1 \]
- \[ \frac{a^3\cdot b^5}{a^2\cdot b^2} = a^{3-2}\cdot b^{5-2} = ab^3 \]
- \[ \left(\frac{2x^3}{y}\right)^2 \cdot \left(\frac{y^2}{x^2}\right)^2 = \frac{4x^6}{y^2}\cdot\frac{y^4}{x^4} = 4x^{6-4}y^{4-2} = 4x^2y^2 \]
- \[ \frac{\left(\left(-\frac{1}{2}\right)^{5-2}\right)^3}{\left(-\frac{1}{2}\right)^8} = \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)^9}{\left(-\frac{1}{2}\right)^8} = \left(-\frac{1}{2}\right)^1 = -\frac{1}{2} \]
- \[ \frac{\left((-2)^3\right)^2}{(-2)^5} = \frac{(-2)^{3\cdot2}}{(-2)^5} = (-2)^{6-5} = -2 \]
- \[ \left(\frac{a^2b^3}{c^4}\right)^2 \cdot \frac{c^9}{a^4b^5} = \frac{a^4b^6}{c^8} \cdot \frac{c^9}{a^4b^5} = a^{4-4}b^{6-5}c^{9-8} = bc \]
- \[ \left(\frac{3^4\cdot2^5}{3^2\cdot2^3}\right)^2 = \left(3^{4-2}\cdot2^{5-3}\right)^2 = (3^2\cdot2^2)^2 = (9\cdot4)^2 = 36^2 \]
- \[ \left(\frac{x^2\cdot y^3}{x\cdot y^2}\right)^0\cdot x^2y = 1\cdot x^2y = x^2y \qquad \text{con } x,y\neq 0 \]