Libro Fracciones
11. Potencias de Base Fraccionaria y Exponente Entero (Negativos y Propiedades Distributivas)
Un exponente negativo se relaciona directamente con el inverso multiplicativo o recíproco de un número.
¿Qué es un inverso multiplicativo?
El inverso multiplicativo de un número es aquel que, al multiplicarlo por el número original, da como resultado \(1\).
Por ejemplo, el inverso multiplicativo de \( \frac{2}{3} \) es \( \frac{3}{2} \), porque:
\[ \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2} = \frac{6}{6} = 1 \]
En general, el inverso multiplicativo de \( \frac{a}{b} \) es \( \frac{b}{a} \), siempre que \(a\neq 0\) y \(b\neq 0\).
Regla del exponente \(-1\)
Elevar una fracción a \(-1\) equivale a encontrar su inverso multiplicativo. En la práctica, se invierte la fracción.
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a} \qquad \text{con } a\neq 0,\; b\neq 0 \]
Ejemplo: exponente \(-1\)
Resolver:
\[ \left(-\frac{2}{3}\right)^{-1} \]
El exponente \(-1\) indica que debemos encontrar el inverso multiplicativo de la base. Por eso, invertimos la fracción y conservamos el signo negativo:
\[ \left(-\frac{2}{3}\right)^{-1} = -\frac{3}{2} \]
Caso especial: inverso de un número entero
Todo número entero \(c\) se puede escribir como \( \frac{c}{1} \). Por eso:
\[ c^{-1} = \left(\frac{c}{1}\right)^{-1} = \frac{1}{c} \qquad \text{con } c\neq 0 \]
Por ejemplo:
\[ 5^{-1} = \frac{1}{5} \]
Ejercicios de exponente \(-1\)
Escribe el inverso multiplicativo de las siguientes expresiones.
- \( \left(4\right)^{-1} \)
- \( \left(-6\right)^{-1} \)
- \( \left(-10\right)^{-1} \)
- \( \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} \)
- \( \left(-\frac{1}{3}\right)^{-1} \)
- \( \left(\frac{-1}{7}\right)^{-1} \)
- \( \left(\frac{5}{7}\right)^{-1} \)
- \( \left(-\frac{2}{3}\right)^{-1} \)
- \( \left(\frac{9}{4}\right)^{-1} \)
- \( \left(\frac{x}{y}\right)^{-1} \), con \(x,y\neq 0\)
- \( \left(\frac{-2a}{5b}\right)^{-1} \), con \(a,b\neq 0\)
Solución desarrollada
- \[ 4^{-1} = \left(\frac{4}{1}\right)^{-1} = \frac{1}{4} \]
- \[ (-6)^{-1} = \left(\frac{-6}{1}\right)^{-1} = -\frac{1}{6} \]
- \[ (-10)^{-1} = \left(\frac{-10}{1}\right)^{-1} = -\frac{1}{10} \]
- \[ \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = \frac{5}{1} = 5 \]
- \[ \left(-\frac{1}{3}\right)^{-1} = -\frac{3}{1} = -3 \]
- \[ \left(\frac{-1}{7}\right)^{-1} = -\frac{7}{1} = -7 \]
- \[ \left(\frac{5}{7}\right)^{-1} = \frac{7}{5} \]
- \[ \left(-\frac{2}{3}\right)^{-1} = -\frac{3}{2} \]
- \[ \left(\frac{9}{4}\right)^{-1} = \frac{4}{9} \]
- \[ \left(\frac{x}{y}\right)^{-1} = \frac{y}{x} \qquad \text{con } x,y\neq 0 \]
- \[ \left(\frac{-2a}{5b}\right)^{-1} = \frac{5b}{-2a} = -\frac{5b}{2a} \qquad \text{con } a,b\neq 0 \]
Generalización para cualquier exponente negativo
Propiedad: exponente negativo general
Para resolver una potencia con exponente negativo, se invierte la base y luego se eleva al mismo exponente, pero positivo.
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \qquad \text{con } a\neq 0,\; b\neq 0 \]
Justificación
Podemos escribir el exponente \(-n\) como \((-1)\cdot n\). Luego aplicamos potencia de una potencia:
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{a}{b}\right)^{(-1)\cdot n} = \left(\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}\right)^n = \left(\frac{b}{a}\right)^n \]
Condiciones importantes
Para usar esta propiedad, tanto \(a\) como \(b\) deben ser distintos de cero. El denominador \(b\) no puede ser cero por ser denominador, y \(a\) tampoco puede ser cero porque al invertir la fracción pasaría al denominador.
Ejemplo: exponente negativo general
Resolver:
\[ \left(\frac{3}{5}\right)^{-2} \]
Invertimos la base y cambiamos el exponente a positivo:
\[ \left(\frac{3}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{3}\right)^2 \]
Luego calculamos la potencia:
\[ \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{5^2}{3^2} = \frac{25}{9} \]
Ejercicios de exponentes negativos generales
Aplica la propiedad del exponente negativo para invertir la base y luego resolver la potencia resultante.
- \( \left(\frac{2}{3}\right)^{-3} \)
- \( \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} \)
- \( \left(\frac{5}{2}\right)^{-4} \)
- \( \left(-\frac{3}{4}\right)^{-3} \)
- \( \left(-\frac{2}{5}\right)^{-2} \)
- \( \left(-\frac{1}{3}\right)^{-5} \)
- \( \left(-\frac{4}{3}\right)^{-4} \)
- \( \left(\frac{x}{y}\right)^{-2} \), con \(x,y\neq 0\)
- \( \left(\frac{-2a}{3}\right)^{-3} \), con \(a\neq 0\)
- \( \left(\frac{m}{-n}\right)^{-4} \), con \(m,n\neq 0\)
Solución desarrollada
- \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{-3} = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8} \]
- \[ \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{1}\right)^2 = 16 \]
- \[ \left(\frac{5}{2}\right)^{-4} = \left(\frac{2}{5}\right)^4 = \frac{16}{625} \]
- \[ \left(-\frac{3}{4}\right)^{-3} = \left(-\frac{4}{3}\right)^3 = -\frac{64}{27} \]
- \[ \left(-\frac{2}{5}\right)^{-2} = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} \]
- \[ \left(-\frac{1}{3}\right)^{-5} = (-3)^5 = -243 \]
- \[ \left(-\frac{4}{3}\right)^{-4} = \left(-\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{81}{256} \]
- \[ \left(\frac{x}{y}\right)^{-2} = \left(\frac{y}{x}\right)^2 = \frac{y^2}{x^2} \qquad \text{con } x,y\neq 0 \]
- \[ \left(\frac{-2a}{3}\right)^{-3} = \left(\frac{3}{-2a}\right)^3 = -\frac{27}{8a^3} \qquad \text{con } a\neq 0 \]
- \[ \left(\frac{m}{-n}\right)^{-4} = \left(\frac{-n}{m}\right)^4 = \frac{n^4}{m^4} \qquad \text{con } m,n\neq 0 \]
Propiedades distributivas de la potenciación
La potenciación se puede distribuir cuando la base es una multiplicación o una división. Esto permite separar expresiones complejas en partes más simples.
Propiedad 7: potencia de un producto
Regla de potencia de un producto
La potencia de un producto de fracciones es igual al producto de cada fracción elevada a esa potencia.
\[ \left(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n \cdot \left(\frac{c}{d}\right)^n \]
Justificación
Esta propiedad se basa en la regla \((x\cdot y)^n=x^n\cdot y^n\):
\[ \left(\frac{a\cdot c}{b\cdot d}\right)^n = \frac{(a\cdot c)^n}{(b\cdot d)^n} = \frac{a^n c^n}{b^n d^n} = \frac{a^n}{b^n}\cdot\frac{c^n}{d^n} \]
Ejemplo: producto con factor negativo
Resolver:
\[ \left(-\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\right)^3 \]
Una forma rápida es resolver primero el producto dentro del paréntesis:
\[ -\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3} \]
Luego elevamos al cubo:
\[ \left(-\frac{2}{3}\right)^3 = -\frac{8}{27} \]
Ejercicios de potencia de un producto
Aplica la propiedad distributiva de la potencia sobre el producto. Simplifica la base primero si es conveniente.
- \( \left(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\right)^2 \)
- \( \left(\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{3}\right)^3 \)
- \( \left(\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{2}\right)^4 \)
- \( \left(-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}\right)^2 \)
- \( \left(-\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}\right)^3 \)
- \( \left(-\frac{2}{7}\cdot\frac{-1}{2}\right)^2 \)
- \( \left(\frac{-4}{3}\cdot\frac{3}{-2}\right)^3 \)
- \( \left(\frac{a}{2}\cdot\frac{3}{b}\right)^2 \), con \(b\neq 0\)
- \( \left(\frac{2x}{-3}\cdot\frac{1}{y}\right)^3 \), con \(y\neq 0\)
- \( \left(\frac{m}{n}\cdot\frac{-p}{2}\right)^4 \), con \(n\neq 0\)
Solución desarrollada
- \[ \left(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\right)^2 = \left(\frac{3}{8}\right)^2 = \frac{9}{64} \]
- \[ \left(\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{3}\right)^3 = \left(\frac{2}{15}\right)^3 = \frac{8}{3375} \]
- \[ \left(\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{2}\right)^4 = \left(2\right)^4 = 16 \]
- \[ \left(-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}\right)^2 = \left(-\frac{2}{12}\right)^2 = \left(-\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36} \]
- \[ \left(-\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}\right)^3 = \left(-\frac{3}{10}\right)^3 = -\frac{27}{1000} \]
- \[ \left(-\frac{2}{7}\cdot\frac{-1}{2}\right)^2 = \left(\frac{2}{14}\right)^2 = \left(\frac{1}{7}\right)^2 = \frac{1}{49} \]
- \[ \left(\frac{-4}{3}\cdot\frac{3}{-2}\right)^3 = (2)^3 = 8 \]
- \[ \left(\frac{a}{2}\cdot\frac{3}{b}\right)^2 = \left(\frac{3a}{2b}\right)^2 = \frac{9a^2}{4b^2} \qquad \text{con } b\neq 0 \]
- \[ \left(\frac{2x}{-3}\cdot\frac{1}{y}\right)^3 = \left(-\frac{2x}{3y}\right)^3 = -\frac{8x^3}{27y^3} \qquad \text{con } y\neq 0 \]
- \[ \left(\frac{m}{n}\cdot\frac{-p}{2}\right)^4 = \left(-\frac{mp}{2n}\right)^4 = \frac{m^4p^4}{16n^4} \qquad \text{con } n\neq 0 \]
Propiedad 8: potencia de un cociente
Regla de potencia de un cociente
La potencia de una división de fracciones es igual a la división de cada fracción elevada a esa potencia.
\[ \left(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n \div \left(\frac{c}{d}\right)^n \]
Justificación
Esta propiedad combina la división de fracciones con la potencia de un producto:
\[ \left(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n \cdot \left(\frac{d}{c}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n \div \left(\frac{c}{d}\right)^n \]
Ejemplo: cociente con factor negativo y exponente impar
Resolver:
\[ \left(\frac{3}{4}\div -\frac{3}{2}\right)^3 \]
Primero resolvemos la división dentro del paréntesis:
\[ \frac{3}{4}\div\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2} \]
Luego elevamos al cubo:
\[ \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8} \]
Ejercicios de potencia de un cociente
Aplica la propiedad distributiva de la potencia sobre el cociente. Se recomienda simplificar primero la división dentro del paréntesis.
- \( \left(\frac{2}{3}\div\frac{1}{2}\right)^3 \)
- \( \left(\frac{5}{4}\div\frac{3}{2}\right)^2 \)
- \( \left(\frac{1}{5}\div\frac{2}{5}\right)^4 \)
- \( \left(-\frac{3}{4}\div\frac{1}{2}\right)^2 \)
- \( \left(\frac{-2}{5}\div\frac{3}{-2}\right)^3 \)
- \( \left(-\frac{4}{3}\div\frac{-2}{5}\right)^2 \)
- \( \left(\frac{1}{6}\div\frac{-5}{12}\right)^3 \)
- \( \left(\frac{x}{3}\div\frac{2}{y}\right)^2 \), con \(y\neq 0\)
- \( \left(\frac{4a}{b}\div\frac{2c}{3}\right)^3 \), con \(b,c\neq 0\)
- \( \left(\frac{-m}{2n}\div\frac{p}{-3q}\right)^2 \), con \(n,p,q\neq 0\)
Solución desarrollada
- \[ \left(\frac{2}{3}\div\frac{1}{2}\right)^3 = \left(\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{1}\right)^3 = \left(\frac{4}{3}\right)^3 = \frac{64}{27} \]
- \[ \left(\frac{5}{4}\div\frac{3}{2}\right)^2 = \left(\frac{5}{4}\cdot\frac{2}{3}\right)^2 = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36} \]
- \[ \left(\frac{1}{5}\div\frac{2}{5}\right)^4 = \left(\frac{1}{5}\cdot\frac{5}{2}\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16} \]
- \[ \left(-\frac{3}{4}\div\frac{1}{2}\right)^2 = \left(-\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{1}\right)^2 = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \]
- \[ \left(\frac{-2}{5}\div\frac{3}{-2}\right)^3 = \left(-\frac{2}{5}\cdot-\frac{2}{3}\right)^3 = \left(\frac{4}{15}\right)^3 = \frac{64}{3375} \]
- \[ \left(-\frac{4}{3}\div-\frac{2}{5}\right)^2 = \left(-\frac{4}{3}\cdot-\frac{5}{2}\right)^2 = \left(\frac{10}{3}\right)^2 = \frac{100}{9} \]
- \[ \left(\frac{1}{6}\div-\frac{5}{12}\right)^3 = \left(\frac{1}{6}\cdot-\frac{12}{5}\right)^3 = \left(-\frac{2}{5}\right)^3 = -\frac{8}{125} \]
- \[ \left(\frac{x}{3}\div\frac{2}{y}\right)^2 = \left(\frac{x}{3}\cdot\frac{y}{2}\right)^2 = \left(\frac{xy}{6}\right)^2 = \frac{x^2y^2}{36} \qquad \text{con } y\neq 0 \]
- \[ \left(\frac{4a}{b}\div\frac{2c}{3}\right)^3 = \left(\frac{4a}{b}\cdot\frac{3}{2c}\right)^3 = \left(\frac{6a}{bc}\right)^3 = \frac{216a^3}{b^3c^3} \qquad \text{con } b,c\neq 0 \]
- \[ \left(\frac{-m}{2n}\div\frac{p}{-3q}\right)^2 = \left(\frac{-m}{2n}\cdot\frac{-3q}{p}\right)^2 = \left(\frac{3mq}{2np}\right)^2 = \frac{9m^2q^2}{4n^2p^2} \qquad \text{con } n,p,q\neq 0 \]
Síntesis: combinando todas las propiedades
Ahora que hemos añadido los exponentes negativos y las propiedades distributivas, podemos resolver expresiones que combinan varias reglas.
Ejemplo de síntesis A: bases recíprocas
Resolver:
\[ \left(\frac{3}{2}\right)^2\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^4 \]
Como \( \frac{3}{2} \) es el recíproco de \( \frac{2}{3} \), escribimos:
\[ \frac{3}{2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} \]
Entonces:
\[ \left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 \]
Sumamos los exponentes:
\[ \left(\frac{2}{3}\right)^{-2+4} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \]
Ejemplo de síntesis B
Resolver:
\[ \left(\left(\frac{1}{5}\right)^{-1}\right)^2 \]
Primero resolvemos el exponente \(-1\):
\[ \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = 5 \]
Luego elevamos al cuadrado:
\[ 5^2 = 25 \]
Ejemplo de síntesis C: agrupación por exponente
Resolver:
\[ \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^3\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^3}{\left(\frac{2}{5}\right)^3} \]
Como todas las potencias tienen el mismo exponente, agrupamos las bases:
\[ \left( \frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5}}{\frac{2}{5}} \right)^3 \]
Simplificamos dentro del paréntesis:
\[ \frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]
Entonces:
\[ \left( \frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{5}} \right)^3 = 1^3 = 1 \]
Ejemplo de síntesis D: agrupación por bases
Resolver:
\[ \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^4\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^2} {\left(\frac{2}{3}\right)^2\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^2} \]
Agrupamos las potencias de igual base:
\[ \left( \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^4}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} \right) \cdot \left( \frac{\left(\frac{1}{5}\right)^2}{\left(\frac{1}{5}\right)^2} \right) \]
Restamos exponentes:
\[ \left(\frac{2}{3}\right)^{4-2} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{2-2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^0 \]
Finalmente:
\[ \frac{4}{9}\cdot1 = \frac{4}{9} \]
Ejercicios de síntesis
Simplifica al máximo las siguientes expresiones. Los primeros ejercicios se centran en las propiedades de esta lección; los últimos combinan varias propiedades.
- \( \left(\frac{2}{5}\right)^{-2} \)
- \( \left(-\frac{1}{3}\right)^{-3} \)
- \( \left(\frac{1}{4}\cdot2\right)^{-2} \)
- \( \left(\frac{6}{5}\div\frac{3}{5}\right)^3 \)
- \( \left(\frac{3}{4}\div\frac{1}{2}\right)^{-2} \)
- \( \left(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}\right)^{-1} \), con \(a,b,c,d\neq 0\)
- \( \left(\frac{2x}{y}\cdot\frac{y}{x}\right)^{-5} \), con \(x,y\neq 0\)
- \( \left(\frac{-a}{b}\right)^{-2}\cdot\left(\frac{b}{a}\right)^{-2} \), con \(a,b\neq 0\)
- \( \left(\frac{x^2}{y}\right)^{-3} \), con \(x,y\neq 0\)
- \( \left(\frac{4}{5}\right)^3\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^{-2} \)
- \( \left(\left(-\frac{2}{3}\right)^{-2}\right)^{-1} \)
- \( \frac{a^5\cdot a^{-2}}{a^3} \), con \(a\neq 0\)
- \( \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2}{\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2} \)
- \( \left(\left(\frac{1}{2}\right)^3\div\left(\frac{1}{2}\right)^5\right)^{-1} \)
- \( \left(\left(\frac{x}{y}\right)^2\cdot\left(\frac{y}{x}\right)\right)^{-3} \), con \(x,y\neq 0\)
Solución desarrollada
- \[ \left(\frac{2}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} \]
- \[ \left(-\frac{1}{3}\right)^{-3} = (-3)^3 = -27 \]
- \[ \left(\frac{1}{4}\cdot2\right)^{-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4 \]
- \[ \left(\frac{6}{5}\div\frac{3}{5}\right)^3 = \left(\frac{6}{5}\cdot\frac{5}{3}\right)^3 = 2^3 = 8 \]
- \[ \left(\frac{3}{4}\div\frac{1}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{4}\cdot2\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \]
- \[ \left(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}\right)^{-1} = \left(\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}\right)^{-1} = \left(\frac{ad}{bc}\right)^{-1} = \frac{bc}{ad} \qquad \text{con } a,b,c,d\neq 0 \]
- \[ \left(\frac{2x}{y}\cdot\frac{y}{x}\right)^{-5} = (2)^{-5} = \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32} \]
- \[ \left(\frac{-a}{b}\right)^{-2} \cdot \left(\frac{b}{a}\right)^{-2} = \left(-\frac{b}{a}\right)^2 \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^2 \]
\[ = \frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{a^2}{b^2} = 1 \]
- \[ \left(\frac{x^2}{y}\right)^{-3} = \left(\frac{y}{x^2}\right)^3 = \frac{y^3}{x^6} \qquad \text{con } x,y\neq 0 \]
- \[ \left(\frac{4}{5}\right)^3 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{5}\right)^{3+(-2)} = \left(\frac{4}{5}\right)^1 = \frac{4}{5} \]
- \[ \left(\left(-\frac{2}{3}\right)^{-2}\right)^{-1} = \left(-\frac{2}{3}\right)^{(-2)(-1)} = \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \]
- \[ \frac{a^5\cdot a^{-2}}{a^3} = \frac{a^{5+(-2)}}{a^3} = \frac{a^3}{a^3} = a^{3-3} = a^0 = 1 \qquad \text{con } a\neq 0 \]
- \[ \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2} {\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2-(-3)} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{2-2} \]
\[ = \left(\frac{2}{3}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^0 = \frac{2}{3}\cdot1 = \frac{2}{3} \]
- \[ \left(\left(\frac{1}{2}\right)^3\div\left(\frac{1}{2}\right)^5\right)^{-1} = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{3-5}\right)^{-1} = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\right)^{-1} \]
\[ = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \]
- \[ \left(\left(\frac{x}{y}\right)^2\cdot\left(\frac{y}{x}\right)\right)^{-3} = \left(\frac{x^2}{y^2}\cdot\frac{y}{x}\right)^{-3} = \left(\frac{x}{y}\right)^{-3} = \left(\frac{y}{x}\right)^3 = \frac{y^3}{x^3} \]