Libro Fracciones

11. Ejercitación con Potencias: Aplicaciones

En esta página aplicaremos las propiedades de las potencias que hemos aprendido para resolver dos tipos de problemas: encontrar términos desconocidos en ecuaciones y resolver problemas de aplicación.

1. Ecuaciones con potencias

Idea principal

Una forma de evaluar la comprensión de las propiedades de las potencias es resolver ecuaciones donde la incógnita aparece en el exponente.

Cuando las bases son iguales, podemos comparar los exponentes.

Ejemplo: determinando un término desconocido

Encuentra el valor de $x$ en la siguiente ecuación:

\[ \left(\frac{3}{5}\right)^4\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^x = \left(\frac{3}{5}\right)^7 \]

Aplicamos la propiedad del producto de potencias de igual base:

\[ \left(\frac{3}{5}\right)^{4+x} = \left(\frac{3}{5}\right)^7 \]

Como las bases son iguales, igualamos los exponentes:

\[ 4+x=7 \]

Resolvemos:

\[ x=7-4 = 3 \]

Respuesta: $x=3$.

Ejercicios: determinando términos desconocidos

Encuentra el valor de la incógnita en cada ecuación, aplicando propiedades de las potencias.

$ \left( \frac{1}{4} \right)^3 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^x = \left( \frac{1}{4} \right)^5 $
$ \left( \frac{2}{3} \right)^y \div \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} = \left( \frac{2}{3} \right)^4 $
$ \left[ \left( \frac{3}{5} \right)^{-2} \right]^z = \left( \frac{3}{5} \right)^6 $
$ \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = \left(-\frac{1}{2}\right)^n $
$ \left(\frac{a}{b}\right)^m \div \left(\frac{a}{b}\right)^{-3} = \left(\frac{a}{b}\right)^5 $, con $a,b\neq 0$

2. Problemas de aplicación en contexto

Potencias en situaciones reales

Las potencias permiten modelar situaciones como cálculos de áreas, volúmenes, crecimiento, decrecimiento y repartos sucesivos.

Ejemplo: problema de aplicación de área

Un terreno rectangular mide $ \left(\frac{5}{2}\right)^3 $ metros de largo y $ \left(\frac{5}{2}\right)^2 $ metros de ancho. ¿Cuál es el área del terreno?

El área de un rectángulo se calcula multiplicando largo por ancho:

\[ \text{Área} = \left(\frac{5}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^2 \]

Como las bases son iguales, sumamos los exponentes:

\[ \text{Área} = \left(\frac{5}{2}\right)^{3+2} = \left(\frac{5}{2}\right)^5 \]

Respuesta: el área del terreno es $ \left(\frac{5}{2}\right)^5 \text{ m}^2 $, es decir:

\[ \frac{5^5}{2^5}\text{ m}^2 \]

Ejercicios: problemas de aplicación

Resuelve cada problema aplicando propiedades de potencias y operaciones con fracciones.

Un campo rectangular tiene un área de $ \left( \frac{3}{4} \right)^5 $ kilómetros cuadrados. Si el ancho del campo es $ \left( \frac{3}{4} \right)^2 $ kilómetros, ¿cuál es su longitud?
Una receta para un pastel requiere $ \left( \frac{2}{3} \right)^2 $ tazas de azúcar. Si quieres hacer la mitad de la receta, ¿cuánta azúcar necesitas?
Una botella contiene $ \left( \frac{4}{5} \right)^3 $ litros de jugo. Si se reparte el jugo en vasos de $ \left( \frac{4}{5} \right) $ litros de capacidad, ¿qué fracción de un vaso se puede llenar?
El lado de una caja cúbica mide $ \left(\frac{5}{2}\right)^2 $ centímetros. ¿Cuál es el volumen de la caja? Recuerda que $ \text{Volumen}=\text{lado}^3 $.
Una población de bacterias se duplica cada hora. Si inicialmente hay 1000 bacterias, ¿cuántas habrá después de $ \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} $ horas?
Un equipo tecnológico cuesta $512.000. Si su valor disminuye a la mitad cada año, ¿cuál será su valor después de 3 años?
Un trozo de tela mide $ \left(\frac{9}{2}\right)^4 $ centímetros de largo. Si se corta en 3 trozos iguales, ¿cuánto mide cada trozo?
Una piscina se llena a una velocidad de $ \left(\frac{1}{2}\right)^{-5} $ litros por hora. ¿Cuántos litros de agua tendrá la piscina después de 2 horas?

Solución desarrollada

La longitud se obtiene dividiendo área por ancho:

\[ \text{Longitud} = \left(\frac{3}{4}\right)^5 \div \left(\frac{3}{4}\right)^2 \]

Como las bases son iguales, restamos los exponentes:

\[ \text{Longitud} = \left(\frac{3}{4}\right)^{5-2} = \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{27}{64} \]

Respuesta: la longitud es $ \frac{27}{64} $ kilómetros.
Primero calculamos la cantidad original de azúcar:

\[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \]

Hacer la mitad de la receta significa dividir por $2$, o multiplicar por $ \frac{1}{2} $:

\[ \frac{4}{9}\cdot\frac{1}{2} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9} \]

Respuesta: se necesitan $ \frac{2}{9} $ de taza de azúcar.
Dividimos la cantidad de jugo por la capacidad de un vaso:

\[ \left(\frac{4}{5}\right)^3 \div \left(\frac{4}{5}\right) = \left(\frac{4}{5}\right)^3 \div \left(\frac{4}{5}\right)^1 \]

Restamos los exponentes:

\[ \left(\frac{4}{5}\right)^{3-1} = \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} \]

Respuesta: se puede llenar $ \frac{16}{25} $ de un vaso. No alcanza para llenar un vaso completo.
El volumen de una caja cúbica es:

\[ \text{Volumen} = \text{lado}^3 \]

Como el lado mide $ \left(\frac{5}{2}\right)^2 $, entonces:

\[ \text{Volumen} = \left[\left(\frac{5}{2}\right)^2\right]^3 \]

Aplicamos potencia de una potencia:

\[ \text{Volumen} = \left(\frac{5}{2}\right)^{2\cdot3} = \left(\frac{5}{2}\right)^6 = \frac{5^6}{2^6} \]

Respuesta: el volumen es $ \frac{5^6}{2^6}\text{ cm}^3 $.
Primero calculamos el tiempo:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4 \]

Después de $4$ horas, la población se duplica $4$ veces:

\[ 1000\cdot2^4 = 1000\cdot16 = 16000 \]

Respuesta: habrá 16000 bacterias.
Si el valor disminuye a la mitad cada año, después de 3 años se multiplica por $ \left(\frac{1}{2}\right)^3 $:

\[ 512000\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3 = 512000\cdot\frac{1}{8} = 64000 \]

Respuesta: el valor será de $64.000.
Dividimos el largo total en 3 trozos iguales:

\[ \left(\frac{9}{2}\right)^4 \div 3 \]

Escribimos $3$ como $ \frac{3}{1} $:

\[ \left(\frac{9}{2}\right)^4 \div 3 = \frac{9^4}{2^4}\cdot\frac{1}{3} \]

Como $9=3^2$, entonces $9^4=(3^2)^4=3^8$:

\[ \frac{9^4}{2^4}\cdot\frac{1}{3} = \frac{3^8}{16\cdot3} = \frac{3^7}{16} \]

Respuesta: cada trozo mide $ \frac{3^7}{16} $ centímetros.
Primero calculamos la velocidad:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{-5} = 2^5 = 32 \]

La piscina se llena a $32$ litros por hora. Después de 2 horas:

\[ 32\cdot2 = 64 \]

También se puede escribir como:

\[ 2^5\cdot2 = 2^6 = 64 \]

Respuesta: tendrá 64 litros de agua.