Libro Decimales racionales
4. Multiplicación de Números Decimales
Idea inicial
La multiplicación de decimales es una operación fundamental que, al igual que la suma, se puede abordar desde dos perspectivas: una conceptual para entender el porqué y una práctica para calcular de forma eficiente.
Dos estrategias para multiplicar
- Estrategia 1: convertir a fracción. Este método permite comprender por qué el resultado de una multiplicación de decimales tiene cierta cantidad de cifras decimales.
- Estrategia 2: usar el método tradicional o vertical. Este es el algoritmo rápido para realizar cálculos de manera práctica.
Estrategia 1: convertir a fracción
¿Por qué funciona?
El “misterio” de por qué aparecen más cifras decimales al multiplicar se entiende usando fracciones.
Por ejemplo, al multiplicar un décimo por un décimo, se obtiene un centésimo:
\[\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{10}=\frac{1}{100}\]
Esto ocurre porque, al multiplicar fracciones, también se multiplican los denominadores.
Ejemplo A: \(0{,}6\cdot 0{,}4\)
- Convertir a fracción: \(0{,}6=\frac{6}{10}\) y \(0{,}4=\frac{4}{10}\).
- Multiplicar fracciones: \[ \frac{6}{10}\cdot \frac{4}{10} = \frac{6\cdot 4}{10\cdot 10} = \frac{24}{100} \]
- Convertir a decimal: \[ \frac{24}{100}=0{,}24 \]
Respuesta:
\[0{,}6\cdot 0{,}4=0{,}24\]
Ejercicios: método fraccionario
Resuelve las siguientes multiplicaciones usando la estrategia de convertir a fracción decimal.
- \(0{,}5\cdot 0{,}7\)
- \(2{,}5\cdot 0{,}2\)
- \(0{,}75\cdot 0{,}6\)
- \(1{,}2\cdot 0{,}3\)
-
\[ 0{,}5\cdot 0{,}7 = \frac{5}{10}\cdot \frac{7}{10} = \frac{35}{100} = 0{,}35 \]
-
\[ 2{,}5\cdot 0{,}2 = \frac{25}{10}\cdot \frac{2}{10} = \frac{50}{100} = 0{,}5 \]
-
\[ 0{,}75\cdot 0{,}6 = \frac{75}{100}\cdot \frac{6}{10} = \frac{450}{1000} = 0{,}45 \]
-
\[ 1{,}2\cdot 0{,}3 = \frac{12}{10}\cdot \frac{3}{10} = \frac{36}{100} = 0{,}36 \]
Regla de los signos
La regla de los signos en la multiplicación de decimales es la misma que en los números enteros:
- Signos iguales: \((+)\cdot(+)\) o \((-)\cdot(-)\) dan resultado positivo.
- Signos distintos: \((+)\cdot(-)\) o \((-)\cdot(+)\) dan resultado negativo.
Ejercicios: método fraccionario con signos
Aplica el método fraccionario y la regla de los signos para resolver las siguientes multiplicaciones.
- \(0{,}5\cdot (-0{,}3)\)
- \(-1{,}2\cdot 0{,}4\)
- \(-0{,}7\cdot (-0{,}2)\)
- \(2{,}5\cdot (-0{,}3)\)
-
Los signos son distintos, por lo tanto el resultado será negativo:
\[ 0{,}5\cdot (-0{,}3) = \frac{5}{10}\cdot \left(-\frac{3}{10}\right) = -\frac{15}{100} = -0{,}15 \]
-
Los signos son distintos, por lo tanto el resultado será negativo:
\[ -1{,}2\cdot 0{,}4 = \left(-\frac{12}{10}\right)\cdot \frac{4}{10} = -\frac{48}{100} = -0{,}48 \]
-
Los signos son iguales, por lo tanto el resultado será positivo:
\[ -0{,}7\cdot (-0{,}2) = \left(-\frac{7}{10}\right)\cdot \left(-\frac{2}{10}\right) = \frac{14}{100} = 0{,}14 \]
-
Los signos son distintos, por lo tanto el resultado será negativo:
\[ 2{,}5\cdot (-0{,}3) = \frac{25}{10}\cdot \left(-\frac{3}{10}\right) = -\frac{75}{100} = -0{,}75 \]
Estrategia 2: multiplicación vertical
Procedimiento para multiplicar decimales
- Multiplicar como enteros: escribe los números alineados a la derecha, sin considerar la coma decimal, y multiplícalos como si fueran números enteros.
- Contar las cifras decimales: suma la cantidad total de cifras decimales que tienen los dos factores originales.
- Colocar la coma: en el resultado, desde la derecha hacia la izquierda, cuenta esa cantidad total de cifras y coloca la coma.
- Aplicar la regla de los signos: decide si el resultado es positivo o negativo según los signos de los factores.
Ejemplo B: \(2{,}5\cdot (-1{,}3)\)
1. Multiplicar los valores absolutos: ignoramos temporalmente las comas y los signos:
\[ 25\cdot 13=325 \]
El cálculo vertical corresponde a:
25 x 13 ----- 75 + 250 ----- 325
2. Contar cifras decimales: \(2{,}5\) tiene una cifra decimal y \(-1{,}3\) tiene una cifra decimal. En total hay dos cifras decimales.
3. Colocar la coma: en \(325\), contamos dos lugares desde la derecha:
\[ 325 \rightarrow 3{,}25 \]
4. Aplicar el signo: los factores tienen signos distintos, por lo tanto el resultado es negativo.
Respuesta:
\[ 2{,}5\cdot (-1{,}3)=-3{,}25 \]
Ejercicios: método práctico
Resuelve las siguientes multiplicaciones.
- \(3{,}5\cdot 2{,}1\)
- \(1{,}25\cdot 0{,}4\)
- \(0{,}8\cdot (-0{,}9)\)
- \(-1{,}5\cdot (-3{,}2)\)
- \(4{,}5\cdot 3\)
- \(-0{,}42\cdot 0{,}6\)
-
Multiplicamos como enteros:
\[ 35\cdot 21=735 \]
Hay \(1+1=2\) cifras decimales. Entonces:
\[ 3{,}5\cdot 2{,}1=7{,}35 \]
-
Multiplicamos como enteros:
\[ 125\cdot 4=500 \]
Hay \(2+1=3\) cifras decimales. Entonces:
\[ 1{,}25\cdot 0{,}4=0{,}500=0{,}5 \]
-
Multiplicamos como enteros:
\[ 8\cdot 9=72 \]
Hay \(1+1=2\) cifras decimales. Como los signos son distintos, el resultado es negativo:
\[ 0{,}8\cdot (-0{,}9)=-0{,}72 \]
-
Multiplicamos como enteros:
\[ 15\cdot 32=480 \]
Hay \(1+1=2\) cifras decimales. Como los signos son iguales, el resultado es positivo:
\[ -1{,}5\cdot (-3{,}2)=4{,}80=4{,}8 \]
-
Multiplicamos como enteros:
\[ 45\cdot 3=135 \]
Hay \(1+0=1\) cifra decimal. Entonces:
\[ 4{,}5\cdot 3=13{,}5 \]
-
Multiplicamos como enteros:
\[ 42\cdot 6=252 \]
Hay \(2+1=3\) cifras decimales. Como los signos son distintos, el resultado es negativo:
\[ -0{,}42\cdot 0{,}6=-0{,}252 \]
Caso especial: multiplicar por \(10\), \(100\), \(1000\), etc.
Un atajo mental
Para multiplicar un número decimal por una potencia de \(10\), como \(10\), \(100\) o \(1000\), se mueve la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga el número.
Si faltan cifras, se agregan ceros a la derecha.
Ejemplos de multiplicación por potencias de \(10\)
- \(1{,}25\cdot 10=12{,}5\). La coma se mueve un lugar a la derecha.
- \(0{,}4\cdot 100=40\). La coma se mueve dos lugares a la derecha.
- \(3{,}75\cdot 1000=3750\). La coma se mueve tres lugares a la derecha.
Ejercicios: potencias positivas de \(10\)
Resuelve las siguientes multiplicaciones.
- \(2{,}8\cdot 10\)
- \(0{,}65\cdot 100\)
- \(-1{,}9\cdot 1000\)
- \(0{,}03\cdot 10\)
-
Multiplicar por \(10\) mueve la coma un lugar a la derecha:
\[ 2{,}8\cdot 10=28 \]
-
Multiplicar por \(100\) mueve la coma dos lugares a la derecha:
\[ 0{,}65\cdot 100=65 \]
-
Multiplicar por \(1000\) mueve la coma tres lugares a la derecha. Se conserva el signo negativo:
\[ -1{,}9\cdot 1000=-1900 \]
-
Multiplicar por \(10\) mueve la coma un lugar a la derecha:
\[ 0{,}03\cdot 10=0{,}3 \]
Caso especial: multiplicar por \(0{,}1\), \(0{,}01\), \(0{,}001\), etc.
Un atajo mental a la inversa
Multiplicar por \(0{,}1\), \(0{,}01\) o \(0{,}001\) hace que el número se vuelva menor en valor absoluto.
El atajo es mover la coma hacia la izquierda tantos lugares como cifras decimales tenga el factor:
- Multiplicar por \(0{,}1\) mueve la coma un lugar a la izquierda.
- Multiplicar por \(0{,}01\) mueve la coma dos lugares a la izquierda.
- Multiplicar por \(0{,}001\) mueve la coma tres lugares a la izquierda.
Ejemplos de multiplicación por \(0{,}1\), \(0{,}01\) y \(0{,}001\)
- \(345{,}2\cdot 0{,}1=34{,}52\). La coma se mueve un lugar a la izquierda.
- \(48\cdot 0{,}01=0{,}48\). La coma se mueve dos lugares a la izquierda.
- \(-9{,}7\cdot 0{,}001=-0{,}0097\). La coma se mueve tres lugares a la izquierda y se conserva el signo negativo.
Ejercicios: multiplicación por \(0{,}1\), \(0{,}01\) y \(0{,}001\)
Resuelve las siguientes multiplicaciones.
- \(45\cdot 0{,}1\)
- \(123{,}7\cdot 0{,}01\)
- \(-8{,}9\cdot 0{,}1\)
- \(750\cdot 0{,}001\)
- \(0{,}6\cdot 0{,}1\)
-
Multiplicar por \(0{,}1\) mueve la coma un lugar a la izquierda:
\[ 45\cdot 0{,}1=4{,}5 \]
-
Multiplicar por \(0{,}01\) mueve la coma dos lugares a la izquierda:
\[ 123{,}7\cdot 0{,}01=1{,}237 \]
-
Multiplicar por \(0{,}1\) mueve la coma un lugar a la izquierda. Se conserva el signo negativo:
\[ -8{,}9\cdot 0{,}1=-0{,}89 \]
-
Multiplicar por \(0{,}001\) mueve la coma tres lugares a la izquierda:
\[ 750\cdot 0{,}001=0{,}750=0{,}75 \]
-
Multiplicar por \(0{,}1\) mueve la coma un lugar a la izquierda:
\[ 0{,}6\cdot 0{,}1=0{,}06 \]