Libro Decimales racionales
7. Potencias de Base Decimal y Exponente Entero
Idea inicial
Ahora que dominamos las potencias con base fraccionaria, aplicaremos esas mismas reglas al mundo de los números decimales. La buena noticia es que no hay nada nuevo que memorizar: solo aplicar lo que ya sabes.
Las reglas no cambian
Todas las propiedades de las potencias que aprendiste para las fracciones funcionan exactamente igual para los números decimales. Un decimal es simplemente otra forma de escribir una fracción.
1. Repaso rápido de las propiedades fundamentales
Propiedades universales
Recordemos las reglas clave con ejemplos en base decimal:
| Propiedad | Regla general | Ejemplo con decimales |
|---|---|---|
| Exponente natural | \(a^n=a\cdot a\cdot ...\cdot a\) | \((0{,}2)^3=0{,}2\cdot 0{,}2\cdot 0{,}2=0{,}008\) |
| Regla del signo: exponente par | \((-a)^{\text{par}}\) es positivo | \((-0{,}5)^2=0{,}25\) |
| Regla del signo: exponente impar | \((-a)^{\text{impar}}\) es negativo | \((-0{,}5)^3=-0{,}125\) |
| Exponente cero | \(a^0=1\), con \(a\neq 0\) | \((-2{,}3)^0=1\) |
| Producto de potencias de igual base | \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\) | \((0{,}5)^2\cdot (0{,}5)^3=(0{,}5)^5\) |
| Cociente de potencias de igual base | \(a^m\div a^n=a^{m-n}\), con \(a\neq 0\) | \((0{,}8)^5\div (0{,}8)^2=(0{,}8)^3\) |
Cuidado con los paréntesis
Cuando la base es negativa, los paréntesis son importantes.
\[ (-0{,}5)^2=(-0{,}5)\cdot(-0{,}5)=0{,}25 \]
En cambio, \(-0{,}5^2\) significa que primero se calcula \(0{,}5^2\) y luego se aplica el signo negativo:
\[ -0{,}5^2=-(0{,}25)=-0{,}25 \]
2. Estrategias para calcular potencias de decimales
Dos formas de resolver
Al igual que con las otras operaciones, existen dos métodos para resolver potencias con base decimal: convertir a fracción o multiplicar decimales directamente.
Estrategia 1: convertir a fracción
Método conceptual
Esta estrategia es útil para entender de dónde vienen los resultados y para conectar las potencias decimales con las potencias de fracciones.
Ejemplo: calcular \((0{,}5)^3\) convirtiendo a fracción
- Convertir a fracción: \[ 0{,}5=\frac{5}{10}=\frac{1}{2} \]
- Resolver la potencia de la fracción: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1^3}{2^3}=\frac{1}{8} \]
- Convertir el resultado a decimal: \[ \frac{1}{8}=0{,}125 \]
Respuesta:
\[ (0{,}5)^3=0{,}125 \]
Estrategia 2: multiplicar decimales
Método práctico
Este es el método directo: se multiplica la base por sí misma tantas veces como indica el exponente.
Ejemplo: calcular \((0{,}2)^3\) multiplicando decimales
Multiplicamos la base por sí misma tres veces:
\[ (0{,}2)^3=0{,}2\cdot 0{,}2\cdot 0{,}2 \]
Primero:
\[ 0{,}2\cdot 0{,}2=0{,}04 \]
Luego:
\[ 0{,}04\cdot 0{,}2=0{,}008 \]
Respuesta:
\[ (0{,}2)^3=0{,}008 \]
3. Ejercicios prácticos
Ejercicios combinados
Resuelve las siguientes operaciones aplicando las propiedades de las potencias.
- \((0{,}3)^2\)
- \((-0{,}5)^2\)
- \((-0{,}2)^3\)
- \((1{,}7)^0\)
- \((0{,}2)^3\cdot (0{,}2)^2\)
- \((-1{,}1)^4\cdot (-1{,}1)^2\)
- \((0{,}4)^4\div (0{,}4)^2\)
- \((-0{,}6)^5\div (-0{,}6)^2\)
- \((-1{,}2)^4\div (-1{,}2)^4\)
- \((2{,}5)\cdot (2{,}5)^3\)
- \(a^3\cdot a^2\)
- \((-3x)^2\)
-
Elevamos al cuadrado:
\[ (0{,}3)^2=0{,}3\cdot 0{,}3=0{,}09 \]
-
El exponente es par, por lo tanto el resultado es positivo:
\[ (-0{,}5)^2=(-0{,}5)\cdot(-0{,}5)=0{,}25 \]
-
El exponente es impar, por lo tanto el resultado conserva el signo negativo:
\[ (-0{,}2)^3=(-0{,}2)\cdot(-0{,}2)\cdot(-0{,}2)=-0{,}008 \]
-
Todo número distinto de cero elevado a \(0\) es \(1\):
\[ (1{,}7)^0=1 \]
-
Producto de potencias de igual base: se suman los exponentes.
\[ (0{,}2)^3\cdot(0{,}2)^2=(0{,}2)^{3+2}=(0{,}2)^5 \]
Calculamos:
\[ (0{,}2)^5=0{,}00032 \]
-
Producto de potencias de igual base: se suman los exponentes.
\[ (-1{,}1)^4\cdot(-1{,}1)^2=(-1{,}1)^{4+2}=(-1{,}1)^6 \]
Como el exponente \(6\) es par, el resultado es positivo.
\[ (-1{,}1)^6=1{,}771561 \]
-
Cociente de potencias de igual base: se restan los exponentes.
\[ (0{,}4)^4\div(0{,}4)^2=(0{,}4)^{4-2}=(0{,}4)^2 \]
\[ (0{,}4)^2=0{,}16 \]
-
Cociente de potencias de igual base: se restan los exponentes.
\[ (-0{,}6)^5\div(-0{,}6)^2=(-0{,}6)^{5-2}=(-0{,}6)^3 \]
Como el exponente \(3\) es impar, el resultado es negativo:
\[ (-0{,}6)^3=-0{,}216 \]
-
Cociente de potencias de igual base: se restan los exponentes.
\[ (-1{,}2)^4\div(-1{,}2)^4=(-1{,}2)^{4-4}=(-1{,}2)^0 \]
Como la base es distinta de cero:
\[ (-1{,}2)^0=1 \]
-
La expresión \((2{,}5)\) puede escribirse como \((2{,}5)^1\):
\[ (2{,}5)\cdot(2{,}5)^3=(2{,}5)^1\cdot(2{,}5)^3=(2{,}5)^{1+3}=(2{,}5)^4 \]
Calculamos:
\[ (2{,}5)^4=39{,}0625 \]
-
Producto de potencias de igual base:
\[ a^3\cdot a^2=a^{3+2}=a^5 \]
-
El exponente \(2\) afecta a todo lo que está dentro del paréntesis:
\[ (-3x)^2=(-3)^2\cdot x^2=9x^2 \]