Capitulo 1 cierre: Combinando enteros, fracciones y decimales
1. Operatoria Combinada
Guía de Ejercicios: Operatoria Combinada
¡Hola! Ya has trabajado bastante con números enteros, fracciones y decimales por separado. Ahora, vamos a dar el siguiente paso: combinarlos todos en un mismo ejercicio. Para resolverlos sin problemas, es fundamental ser muy ordenado y seguir siempre una regla de prioridad.
📐 PAPOMUDAS: El Orden Sagrado de las Operaciones
Para resolver cualquier ejercicio de operatoria combinada, debes seguir este orden de prioridad:
- PAréntesis: Resuelve primero todo lo que esté dentro de un paréntesis (desde el más interno al más externo).
- POtencias: Calcula todas las potencias y raíces.
- MUltiplicación y División: Realiza estas operaciones. Si hay varias seguidas, se resuelven de izquierda a derecha.
- Adición y Sustracción: Finalmente, realiza las sumas y restas, también de izquierda a derecha.
⚠️ ¡Cuidado con estos errores comunes!
- Saltarse el orden: Muchos se apuran y suman antes de multiplicar. ¡Nunca lo hagas! Sigue siempre el PAPOMUDAS.
- Decimales vs. Fracciones: A veces es más fácil pasar todo a fracción para no tener errores de redondeo, especialmente con decimales periódicos.
💡 Una estrategia útil
Cuando te enfrentes a un ejercicio que mezcla fracciones y decimales, a menudo es más fácil y preciso convertir todos los números decimales a su forma fraccionaria. Así, trabajas solo con fracciones y evitas errores con los decimales infinitos.
Ejemplos Resueltos
🧪 Ejemplo A (Sin Paréntesis)
Resolver: \( 4 - 2,8 + \frac{2}{5} * 10 \)
\( \frac{2}{5} * 10 = \frac{20}{5} = 4 \)
Paso 2 (Sumas y Restas): Ahora, resolvemos de izquierda a derecha.
\( 4 - 2,8 + 4 \)
\( 1,2 + 4 = 5,2 \)
Sección 1: Ejercicios sin Paréntesis
Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios, respetando el orden de las operaciones.
- \( 5 - 2 \cdot 1,5 + \frac{3}{4} \)
- \( \frac{3}{4} \cdot 2 - 1,5 : 0,5 \)
- \( -3 + 2,7 - \frac{1}{2} \cdot 4 \)
- \( 3 \cdot 0,\overline{3} + 5 \)
- \( 1,2 : 0,3 \cdot 2 + \frac{5}{2} \)
- \( 0,6 \cdot 0,4 + 1,8 - \frac{5}{4} \)
- \( 4,5 + 1,1\overline{6} \cdot 3 \)
- \( \frac{7}{3} + 2,1 : 0,7 - 4 \)
- \( 2 \cdot (0,5)^2 - \frac{1}{4} \)
- \( 1,6 + 0,4^2 - \frac{3}{2} \cdot 0,2 \)
- \( \boxed{\begin{flalign*} & 5 - 2 \cdot 1,5 + \frac{3}{4} \\ &= 5 - 3 + 0,75 \\ &= 2 + 0,75 \\ &= 2,75 \end{flalign*}} \)
- \( \boxed{\begin{flalign*} & \frac{3}{4} \cdot 2 - 1,5 : 0,5 \\ &= 1,5 - 3 \\ &= -1,5 \end{flalign*}} \)
- \( \boxed{ \begin{flalign*} & -3 + 2,7 - \frac{1}{2} \cdot 4 \\ &= -3 + 2,7 - 2 \\ &= -0,3 - 2 \\ &= -2,3 \end{flalign*}} \)
-
Convertimos \(0,\overline{3} = \frac{1}{3}\)
\(\boxed{ \begin{flalign*} & 3 \cdot \frac{1}{3} + 5 \\ &= 1 + 5 \\ &= 6 \end{flalign*} }\) - \(\boxed{ \begin{flalign*} & 1,2 : 0,3 \cdot 2 + \frac{5}{2} \\ &= 4 \cdot 2 + 2,5 \\ &= 8 + 2,5 \\ &= 10,5 \end{flalign*}} \)
- \( \boxed{ \begin{flalign*} & 0,6 \cdot 0,4 + 1,8 - \frac{5}{4} \\ &= 0,24 + 1,8 - 1,25 \\ &= 2,04 - 1,25 \\ &= 0,79 \end{flalign*}} \)
-
Convertimos \(1,1\overline{6} = \frac{105}{90} = \frac{7}{6}\)
\( \boxed{\begin{flalign*} & 4,5 + \frac{7}{6} \cdot 3 \\ &= 4,5 + \frac{7}{2} \\ &= 4,5 + 3,5 \\ &= 8 \end{flalign*}}\) - \( \boxed{\begin{flalign*} & \frac{7}{3} + 2,1 : 0,7 - 4 \\ &= \frac{7}{3} + 3 - 4 \\ &= \frac{7}{3} - 1 \\ &= \frac{4}{3} \end{flalign*} }\)
- \(\boxed{ \begin{flalign*} & 2 \cdot (0,5)^2 - \frac{1}{4} \\ &= 2 \cdot 0,25 - 0,25 \\ &= 0,5 - 0,25 \\ &= 0,25 \end{flalign*}} \)
- \( \boxed{ \begin{flalign*} & 1,6 + 0,4^2 - \frac{3}{2} \cdot 0,2 \\ &= 1,6 + 0,16 - 0,3 \\ &= 1,76 - 0,3 \\ &= 1,46 \end{flalign*}} \)
Sección 2: Ejercicios con Paréntesis
🧪 Ejemplo B (Con Paréntesis)
Resolver: \( 0,6 \cdot (0,4 + 1,8) - \frac{5}{4} \)
Paso 1 (Paréntesis): \( 0,4 + 1,8 = 2,2 \)
Paso 2 (Multiplicación): \( 0,6 \cdot 2,2 = 1,32 \)
Paso 3 (Resta): \( 1,32 - 1,25 = 0,07 \)
Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios, resolviendo primero las operaciones dentro de los paréntesis.
- \( (5 - 2) \cdot 1,5 + \frac{3}{4} \)
- \( 1,2 : (0,3 \cdot 2) + \frac{5}{2} \)
- \( \frac{3}{4} \cdot (2 - 1,5) : 0,5 \)
- \( -3 + (2,7 - \frac{1}{2}) \cdot 4 \)
- \( 4 - (2,8 + \frac{2}{5} \cdot 10) \)
- \( (0,5)^2 \cdot (4 - 3,8) \)
- \( (8 \cdot 0,\overline{6}) - 2 \)
- \( \frac{7}{3} + (2,1 : 0,7 - 4) \)
- \( 2,5 - (\frac{1}{3} + 0,8 - \frac{1}{5}) \)
- \( 10 - (0,8\overline{3} : \frac{1}{6}) \)
- \( \boxed{\begin{flalign*} & (5 - 2) \cdot 1,5 + \frac{3}{4} \\ &= 3 \cdot 1,5 + 0,75 \\ &= 4,5 + 0,75 \\ &= 5,25 \end{flalign*}} \)
- \( \boxed{\begin{flalign*} & 1,2 : (0,3 \cdot 2) + \frac{5}{2} \\ &= 1,2 : 0,6 + 2,5 \\ &= 2 + 2,5 \\ &= 4,5 \end{flalign*}} \)
- \( \boxed{\begin{flalign*} & \frac{3}{4} \cdot (2 - 1,5) : 0,5 \\ &= \frac{3}{4} \cdot 0,5 : 0,5 \\ &= 0,375 : 0,5 \\ &= 0,75 \end{flalign*}} \)
- \( \boxed{\begin{flalign*} & -3 + (2,7 - \frac{1}{2}) \cdot 4 \\ &= -3 + (2,7 - 0,5) \cdot 4 \\ &= -3 + 2,2 \cdot 4 \\ &= -3 + 8,8 \\ &= 5,8 \end{flalign*}} \)
- \( \boxed{\begin{flalign*} & 4 - (2,8 + \frac{2}{5} \cdot 10) \\ &= 4 - (2,8 + 4) \\ &= 4 - 6,8 \\ &= -2,8 \end{flalign*}} \)
- \( \boxed{\begin{flalign*} & (0,5)^2 \cdot (4 - 3,8) \\ &= 0,25 \cdot 0,2 \\ &= 0,05 \end{flalign*}} \)
-
Convertimos \(0,\overline{6} = \frac{2}{3}\)
\( \boxed{\begin{flalign*} & (8 \cdot \frac{2}{3}) - 2 \\ &= \frac{16}{3} - 2 \\ &= \frac{16 - 6}{3} \\ &= \frac{10}{3} \end{flalign*}} \) - \( \boxed{\begin{flalign*} & \frac{7}{3} + (2,1 : 0,7 - 4) \\ &= \frac{7}{3} + (3 - 4) \\ &= \frac{7}{3} - 1 \\ &= \frac{4}{3} \end{flalign*}} \)
- \( \boxed{\begin{flalign*} & 2,5 - (\frac{1}{3} + 0,8 - \frac{1}{5}) \\ &= 2,5 - (\frac{5+24-6}{15}) \\ &= \frac{5}{2} - \frac{23}{15} \\ &= \frac{75 - 46}{30} = \frac{29}{30} \end{flalign*}} \)
-
Convertimos \(0,8\overline{3} = \frac{75}{90} = \frac{5}{6}\)
\( \boxed{\begin{flalign*} & 10 - (\frac{5}{6} : \frac{1}{6}) \\ &= 10 - (\frac{5}{6} \cdot 6) \\ &= 10 - 5 \\ &= 5 \end{flalign*}} \)
Sección 3: Ejercicios con Paréntesis Anidados y de Distinto Tipo
🧪 Ejemplo C (Con Paréntesis Anidados y Números Periódicos)
Resolver: \( \{ (2 - 0,8) \cdot [ \frac{1}{4} + 0,\overline{5} ] \} : \frac{1}{3} \)
Paso 1: Convertir el número periódico a fracción.
Para poder operar con precisión, primero transformamos el decimal periódico en su fracción equivalente.
\( 0,\overline{5} = \frac{5}{9} \)
Paso 2: Resolver el ejercicio paso a paso.
Ahora reemplazamos la fracción en el ejercicio y aplicamos PAPOMUDAS.
Instrucciones: Resuelve los ejercicios respetando el orden de las operaciones y los distintos tipos de paréntesis: se resuelve desde el más interno , luego los [ ], y finalmente las { }.
- \( 1,2 : [0,3 \cdot (2 + \frac{5}{2})] \)
- \( [(5 - 2 \cdot 1,5) + \frac{3}{4}] - (0,5)^2 \)
- \( 2,5 + [ \frac{1}{2} - (3 \cdot 0,4 - 1) ] \)
- \( \frac{3}{4} \cdot [2 - (1,5 : 0,5 + 0,5)] \)
- \( -3 + \{2,7 - [(\frac{1}{2} \cdot 4) - 1,8]\} \)
- \( \{ 9 \cdot [ 0,\overline{1} + \frac{1}{3} ] \} - 1 \)
- \( 4 - \{2,8 + \frac{2}{5} \cdot [10 - 2,5]\} \)
- \( 1,6 + \{0,4^2 - [(\frac{3}{2} \cdot 0,2) - 0,1]\} \)
- \( (0,2\overline{7} \cdot \frac{9}{5}) + [ 3 : (1+0,5) ] \)
- \( \{ (2 - 0,8) \cdot [ \frac{1}{4} + 0,\overline{5} ] \} : \frac{1}{3} \)
- \( \boxed{\begin{flalign*} & 1,2 : [0,3 \cdot (2 + \frac{5}{2})] \\ &= 1,2 : [0,3 \cdot 4,5] \\ &= 1,2 : 1,35 \\ &= \frac{8}{9} \end{flalign*}} \)
- \( \boxed{\begin{flalign*} & [(5 - 2 \cdot 1,5) + \frac{3}{4}] - (0,5)^2 \\ &= [2 + 0,75] - 0,25 \\ &= 2,75 - 0,25 \\ &= 2,5 \end{flalign*}} \)
- \( \boxed{\begin{flalign*} & 2,5 + [ \frac{1}{2} - (1,2 - 1) ] \\ &= 2,5 + [ 0,5 - 0,2 ] \\ &= 2,5 + 0,3 \\ &= 2,8 \end{flalign*}} \)
- \( \boxed{\begin{flalign*} & \frac{3}{4} \cdot [2 - (3 + 0,5)] \\ &= \frac{3}{4} \cdot [2 - 3,5] \\ &= 0,75 \cdot (-1,5) \\ &= -1,125 \end{flalign*}} \)
- \( \boxed{\begin{flalign*} & -3 + \{2,7 - [2 - 1,8]\} \\ &= -3 + \{2,7 - 0,2\} \\ &= -3 + 2,5 \\ &= -0,5 \end{flalign*}} \)
-
Convertimos \(0,\overline{1} = \frac{1}{9}\)
\( \boxed{\begin{flalign*} & \{ 9 \cdot [ \frac{1}{9} + \frac{1}{3} ] \} - 1 \\ &= \{ 9 \cdot [ \frac{1+3}{9} ] \} - 1 \\ &= \{ 9 \cdot \frac{4}{9} \} - 1 \\ &= 4 - 1 \\ &= 3 \end{flalign*}} \) - \( \boxed{\begin{flalign*} & 4 - \{2,8 + \frac{2}{5} \cdot [7,5]\} \\ &= 4 - \{2,8 + 3\} \\ &= 4 - 5,8 \\ &= -1,8 \end{flalign*}} \)
- \( \boxed{\begin{flalign*} & 1,6 + \{0,16 - [0,3 - 0,1]\} \\ &= 1,6 + \{0,16 - 0,2\} \\ &= 1,6 - 0,04 \\ &= 1,56 \end{flalign*}} \)
-
Convertimos \(0,2\overline{7} = \frac{25}{90} = \frac{5}{18}\)
\( \boxed{\begin{flalign*} & (\frac{5}{18} \cdot \frac{9}{5}) + [ 3 : 1,5 ] \\ &= \frac{1}{2} + 2 \\ &= 2,5 \end{flalign*}} \) -
Convertimos \(0,\overline{5} = \frac{5}{9}\)
\( \boxed{\begin{flalign*} & \{ 1,2 \cdot [ \frac{1}{4} + \frac{5}{9} ] \} : \frac{1}{3} \\ &= \{ \frac{6}{5} \cdot [ \frac{9+20}{36} ] \} : \frac{1}{3} \\ &= \{ \frac{6}{5} \cdot \frac{29}{36} \} : \frac{1}{3} \\ &= \frac{29}{30} : \frac{1}{3} \\ &= \frac{29}{30} \cdot 3 = \frac{29}{10} = 2,9 \end{flalign*}} \)