Libro Formas Racionales
3. Ejercicios Combinados con Potencias: Enteros, Fracciones y Decimales
Propiedades fundamentales de las potencias
Para resolver estos ejercicios, es importante dominar las siguientes propiedades:
- Producto de potencias de igual base: se conserva la base y se suman los exponentes. \[a^m \cdot a^n = a^{m+n}\]
- Cociente de potencias de igual base: se conserva la base y se restan los exponentes. \[a^m : a^n = a^{m-n}, \quad a\neq 0\]
- Potencia de una potencia: se conserva la base y se multiplican los exponentes. \[(a^m)^n = a^{m\cdot n}\]
- Potencia de un producto: se eleva cada factor al exponente. \[(a\cdot b)^n = a^n\cdot b^n\]
- Potencia de un cociente: se eleva tanto el numerador como el denominador al exponente. \[\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}, \quad b\neq 0\]
- Exponente cero: toda base no nula elevada a cero es 1. \[a^0=1, \quad a\neq 0\]
- Exponente negativo: se invierte la base para escribir el exponente positivo. \[a^{-n}=\frac{1}{a^n}, \quad a\neq 0\]
Estrategia útil
Cuando aparezcan enteros, fracciones y decimales en un mismo ejercicio, conviene transformar todo a una forma común antes de aplicar las propiedades de potencias.
Por ejemplo:
\[0,5=\frac{1}{2}, \qquad 0,2=\frac{1}{5}, \qquad 0,25=\frac{1}{4}\]
Sección 1: ejercicios de cálculo directo
Cuidado con el signo negativo
No es lo mismo \((-a)^n\) que \(-a^n\).
- En \((-a)^n\), la base completa es negativa.
- En \(-a^n\), la potencia se calcula primero y luego se aplica el signo negativo.
Instrucciones
Resuelve los siguientes ejercicios. En cada uno se combinan al menos dos formas de representar números racionales: enteros, fracciones o decimales.
Ejercicio 1
Resuelve: \((-0,1)^2+\frac{1}{100}\)
\[ (-0,1)^2=0,01=\frac{1}{100} \]
Entonces:
\[ (-0,1)^2+\frac{1}{100} = \frac{1}{100}+\frac{1}{100} = \frac{2}{100} = \frac{1}{50} \]
Resultado: \(\frac{1}{50}\).
Ejercicio 2
Resuelve: \(2\cdot (0,5)^2-\frac{1}{4}\)
Primero se calcula la potencia:
\[ (0,5)^2=0,25=\frac{1}{4} \]
Luego:
\[ 2\cdot (0,5)^2-\frac{1}{4} = 2\cdot \frac{1}{4}-\frac{1}{4} = \frac{2}{4}-\frac{1}{4} = \frac{1}{4} \]
Resultado: \(\frac{1}{4}\).
Ejercicio 3
Resuelve: \(\left(-\frac{1}{2}\right)^4+(0,5)^4\)
Como \(0,5=\frac{1}{2}\), se tiene:
\[ \left(-\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16} \qquad \text{y} \qquad (0,5)^4=\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16} \]
Entonces:
\[ \frac{1}{16}+\frac{1}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} \]
Resultado: \(\frac{1}{8}\).
Ejercicio 4
Resuelve: \(-\left(\frac{1}{2}\right)^4+(0,25)^2\)
Calculamos cada potencia:
\[ -\left(\frac{1}{2}\right)^4=-\frac{1}{16} \]
Además, \(0,25=\frac{1}{4}\), por lo tanto:
\[ (0,25)^2=\left(\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{16} \]
Entonces:
\[ -\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=0 \]
Resultado: \(0\).
Ejercicio 5
Resuelve: \(-3\left(-\frac{1}{3}\right)^2+0,1\overline{6}\)
Primero:
\[ \left(-\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9} \]
Además:
\[ 0,1\overline{6}=\frac{1}{6} \]
Entonces:
\[ -3\left(-\frac{1}{3}\right)^2+0,1\overline{6} = -3\cdot \frac{1}{9}+\frac{1}{6} = -\frac{1}{3}+\frac{1}{6} = -\frac{2}{6}+\frac{1}{6} = -\frac{1}{6} \]
Resultado: \(-\frac{1}{6}\).
Ejercicio 6
Resuelve: \(-3\left[-\left(\frac{1}{3}\right)^2\right]+0,\overline{6}\)
Primero:
\[ \left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9} \]
Además:
\[ 0,\overline{6}=\frac{2}{3} \]
Entonces:
\[ -3\left[-\left(\frac{1}{3}\right)^2\right]+0,\overline{6} = -3\left[-\frac{1}{9}\right]+\frac{2}{3} = \frac{3}{9}+\frac{2}{3} = \frac{1}{3}+\frac{2}{3} = 1 \]
Resultado: \(1\).
Ejercicio 7
Resuelve: \(25\cdot (0,2)^3\cdot (0,2)^{-1}\)
Las potencias de igual base se multiplican sumando exponentes:
\[ (0,2)^3\cdot (0,2)^{-1} = (0,2)^{3+(-1)} = (0,2)^2 \]
Como \(0,2=\frac{1}{5}\), entonces:
\[ 25\cdot (0,2)^2 = 25\cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2 = 25\cdot \frac{1}{25} = 1 \]
Resultado: \(1\).
Ejercicio 8
Resuelve: \(\left(\frac{3}{5}\right)^5:\left(\frac{3}{5}\right)^3+0,64\)
Primero se resuelve el cociente de potencias de igual base:
\[ \left(\frac{3}{5}\right)^5:\left(\frac{3}{5}\right)^3 = \left(\frac{3}{5}\right)^{5-3} = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} \]
Como \(0,64=\frac{64}{100}=\frac{16}{25}\), entonces:
\[ \frac{9}{25}+0,64 = \frac{9}{25}+\frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1 \]
Resultado: \(1\).
Ejercicio 9
Resuelve: \(\left((-2)^3\right)^2\cdot (0,5)^6\)
Primero:
\[ \left((-2)^3\right)^2=(-2)^{3\cdot 2}=(-2)^6=64 \]
Además, \(0,5=\frac{1}{2}\):
\[ (0,5)^6=\left(\frac{1}{2}\right)^6=\frac{1}{64} \]
Entonces:
\[ 64\cdot \frac{1}{64}=1 \]
Resultado: \(1\).
Ejercicio 10
Resuelve: \((0,1)^5:(0,1)^3\cdot (0,1)^{-4}-99\)
Las multiplicaciones y divisiones se resuelven de izquierda a derecha. Como la base es la misma:
\[ (0,1)^5:(0,1)^3\cdot (0,1)^{-4} = (0,1)^{5-3+(-4)} = (0,1)^{-2} \]
Como \(0,1=\frac{1}{10}\):
\[ (0,1)^{-2} = \left(\frac{1}{10}\right)^{-2} = 10^2 = 100 \]
Entonces:
\[ 100-99=1 \]
Resultado: \(1\).
Ejercicio 11
Resuelve: \((0,5)^3\cdot 2^3+\frac{1}{4}\)
Como las potencias tienen el mismo exponente:
\[ (0,5)^3\cdot 2^3 = (0,5\cdot 2)^3 = 1^3 = 1 \]
Luego:
\[ 1+\frac{1}{4} = \frac{5}{4} \]
Resultado: \(\frac{5}{4}\).
Ejercicio 12
Resuelve: \(\left(\frac{10}{3}\right)^{-2}:\left(\frac{5}{3}\right)^{-2}+0,75\)
Como ambas potencias tienen el mismo exponente:
\[ \left(\frac{10}{3}\right)^{-2}:\left(\frac{5}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{\frac{10}{3}}{\frac{5}{3}}\right)^{-2} = 2^{-2} = \frac{1}{4} \]
Además, \(0,75=\frac{3}{4}\). Entonces:
\[ \frac{1}{4}+0,75 = \frac{1}{4}+\frac{3}{4} = 1 \]
Resultado: \(1\).
Ejercicio 13
Resuelve: \(\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5}{\left(\frac{2}{3}\right)^2}+0,\overline{3}\)
Primero se simplifican las potencias de igual base:
\[ \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2+5-2} = \left(\frac{2}{3}\right)^1 = \frac{2}{3} \]
Además, \(0,\overline{3}=\frac{1}{3}\). Entonces:
\[ \frac{2}{3}+0,\overline{3} = \frac{2}{3}+\frac{1}{3} = 1 \]
Resultado: \(1\).
Ejercicio 14
Resuelve: \(\frac{(0,25)^2\cdot 4^3}{4^0}-\frac{7}{2}\)
Como \(0,25=\frac{1}{4}=4^{-1}\):
\[ (0,25)^2=(4^{-1})^2=4^{-2} \]
Además, \(4^0=1\). Entonces:
\[ \frac{(0,25)^2\cdot 4^3}{4^0} = \frac{4^{-2}\cdot 4^3}{1} = 4^{-2+3} = 4 \]
Finalmente:
\[ 4-\frac{7}{2} = \frac{8}{2}-\frac{7}{2} = \frac{1}{2} \]
Resultado: \(\frac{1}{2}\).
Ejercicio 15
Resuelve: \(\left((-3)^2\cdot (-3)^{-1}\right)^2\cdot \frac{1}{9}+0,25\)
Dentro del paréntesis, las potencias tienen igual base:
\[ (-3)^2\cdot (-3)^{-1} = (-3)^{2+(-1)} = (-3)^1 = -3 \]
Luego:
\[ \left((-3)^2\cdot (-3)^{-1}\right)^2 = (-3)^2 = 9 \]
Entonces:
\[ 9\cdot \frac{1}{9}+0,25 = 1+0,25 = 1+\frac{1}{4} = \frac{5}{4} \]
Resultado: \(\frac{5}{4}\).
Ejercicio 16
Resuelve: \(\frac{5^3\cdot 5^{-1}}{5^4:5^3}-4,5\)
Primero se simplifica el numerador:
\[ 5^3\cdot 5^{-1}=5^{3+(-1)}=5^2 \]
Luego el denominador:
\[ 5^4:5^3=5^{4-3}=5 \]
Entonces:
\[ \frac{5^2}{5}=5 \]
Finalmente:
\[ 5-4,5=0,5 \]
Resultado: \(0,5\).
Ejercicio 17
Resuelve: \(\frac{2^4\cdot 3^4}{6^3}\cdot 0,5-\frac{1}{2}\)
Como \(2^4\cdot 3^4=(2\cdot 3)^4=6^4\):
\[ \frac{2^4\cdot 3^4}{6^3} = \frac{6^4}{6^3} = 6 \]
Luego:
\[ 6\cdot 0,5-\frac{1}{2} = 3-\frac{1}{2} = \frac{6}{2}-\frac{1}{2} = \frac{5}{2} \]
Resultado: \(\frac{5}{2}\).
Ejercicio 18
Resuelve: \(\left[\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\cdot (0,5)^3}{2^4}\right]^{-1}:16\)
Escribimos todo como potencia de base \(2\):
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=2^2 \qquad \text{y} \qquad (0,5)^3=\left(\frac{1}{2}\right)^3=2^{-3} \]
Entonces:
\[ \left[\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\cdot (0,5)^3}{2^4}\right]^{-1} = \left[\frac{2^2\cdot 2^{-3}}{2^4}\right]^{-1} = \left[\frac{2^{-1}}{2^4}\right]^{-1} = \left[2^{-5}\right]^{-1} = 2^5 = 32 \]
Finalmente:
\[ 32:16=2 \]
Resultado: \(2\).
Sección 2: encontrando la incógnita
Instrucciones
Despeja el valor de la incógnita \(x\) para que se cumpla cada igualdad. En cada ejercicio se combinan distintas formas de escribir números racionales.
Ejercicio 1
Resuelve: \(3^x\cdot 3^2=3^5\cdot (0,5)^0\)
Como \((0,5)^0=1\), la igualdad queda:
\[ 3^x\cdot 3^2=3^5 \]
Aplicamos producto de potencias de igual base:
\[ 3^{x+2}=3^5 \]
Igualamos exponentes:
\[ x+2=5 \]
\[ x=3 \]
Resultado: \(x=3\).
Ejercicio 2
Resuelve: \(\left(\frac{1}{2}\right)^x:(0,5)^3=\left(\frac{1}{2}\right)^4\)
Como \(0,5=\frac{1}{2}\), se tiene:
\[ (0,5)^3=\left(\frac{1}{2}\right)^3 \]
Entonces:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^x:\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^4 \]
Aplicamos cociente de potencias de igual base:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{x-3} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 \]
Igualamos exponentes:
\[ x-3=4 \]
\[ x=7 \]
Resultado: \(x=7\).
Ejercicio 3
Resuelve: \((0,7)^x\cdot (0,7)^{-2}=\left(\frac{7}{10}\right)^2\)
Como \(0,7=\frac{7}{10}\), ambas bases representan el mismo número:
\[ (0,7)^x\cdot (0,7)^{-2}=(0,7)^2 \]
Aplicamos producto de potencias de igual base:
\[ (0,7)^{x-2}=(0,7)^2 \]
Igualamos exponentes:
\[ x-2=2 \]
\[ x=4 \]
Resultado: \(x=4\).
Ejercicio 4
Resuelve: \(\left((2,5)^2\right)^x=\left(\frac{5}{2}\right)^6\)
Como \(2,5=\frac{5}{2}\), se puede escribir:
\[ \left((2,5)^2\right)^x = \left(\left(\frac{5}{2}\right)^2\right)^x \]
Aplicamos potencia de una potencia:
\[ \left(\frac{5}{2}\right)^{2x} = \left(\frac{5}{2}\right)^6 \]
Igualamos exponentes:
\[ 2x=6 \]
\[ x=3 \]
Resultado: \(x=3\).
Ejercicio 5
Resuelve: \(\left(\frac{5}{4}\right)^x:(1,25)^{-3}=\left(\frac{5}{4}\right)^5\)
Como \(1,25=\frac{5}{4}\), se tiene:
\[ \left(\frac{5}{4}\right)^x:\left(\frac{5}{4}\right)^{-3} = \left(\frac{5}{4}\right)^5 \]
Aplicamos cociente de potencias de igual base:
\[ \left(\frac{5}{4}\right)^{x-(-3)} = \left(\frac{5}{4}\right)^5 \]
\[ \left(\frac{5}{4}\right)^{x+3} = \left(\frac{5}{4}\right)^5 \]
Igualamos exponentes:
\[ x+3=5 \]
\[ x=2 \]
Resultado: \(x=2\).
Ejercicio 6
Resuelve: \((0,2)^2\cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x=(0,2)^{-1}\)
Como \(0,2=\frac{1}{5}\), escribimos todo con la misma base:
\[ \left(\frac{1}{5}\right)^2\cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x = \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} \]
Aplicamos producto de potencias de igual base:
\[ \left(\frac{1}{5}\right)^{2+x} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} \]
Igualamos exponentes:
\[ 2+x=-1 \]
\[ x=-3 \]
Resultado: \(x=-3\).
Ejercicio 7
Resuelve: \(x^2\cdot (0,4)^2=\frac{1}{1}\)
Como \(\frac{1}{1}=1\), la igualdad queda:
\[ x^2\cdot (0,4)^2=1 \]
Usamos potencia de un producto:
\[ (0,4x)^2=1 \]
Para que un cuadrado sea igual a \(1\), la base puede ser \(1\) o \(-1\):
\[ 0,4x=\pm 1 \]
Despejamos \(x\):
\[ x=\pm \frac{1}{0,4} \]
Como \(0,4=\frac{2}{5}\):
\[ \frac{1}{0,4} = \frac{1}{\frac{2}{5}} = \frac{5}{2} = 2,5 \]
Por lo tanto:
\[ x=\pm 2,5 \]
Resultado: \(x=2,5\) o \(x=-2,5\).