Libro Formas Racionales
4. Resolución de problemas con operatoria combinada
Contexto
Ya se trabajaron las operaciones con números racionales en forma fraccionaria, decimal y entera. Ahora el foco es resolver problemas donde se combinen al menos dos de esas formas de representación en los datos.
El método de 5 pasos para resolver problemas
Para no perderte en el enunciado, conviene seguir esta estructura:
- Datos: anota la información numérica que entrega el problema.
- Planteo: traduce la pregunta a una o varias operaciones matemáticas.
- Desarrollo: resuelve las operaciones respetando el orden correspondiente.
- Solución: escribe claramente el resultado numérico final.
- Respuesta: responde con una oración completa, incluyendo las unidades.
Ejemplo guiado: aplicando el método de 5 pasos
Problema de ejemplo
Francisco tiene un sueldo mensual de $750.000. Este mes gastó \(\frac{1}{5}\) de su sueldo en arriendo y luego gastó \(0,2\) de lo que le quedaba en alimentación. ¿Cuánto dinero le queda a Francisco al final?
1. Datos:
- Sueldo total: $750.000.
- Gasto en arriendo: \(\frac{1}{5}\) del sueldo.
- Gasto en alimentación: \(0,2\) del dinero restante.
2. Planteo:
\[ 750.000-\left(750.000\cdot \frac{1}{5}\right)-\left[\left(750.000-750.000\cdot \frac{1}{5}\right)\cdot 0,2\right] \]
3. Desarrollo:
\[ 750.000\cdot \frac{1}{5}=150.000 \]
\[ 750.000-150.000=600.000 \]
\[ 600.000\cdot 0,2=120.000 \]
\[ 600.000-120.000=480.000 \]
4. Solución: \(480.000\).
5. Respuesta: A Francisco le quedan $480.000 al final.
Problemas propuestos
Aplica el método
En cada problema identifica primero qué datos aparecen como enteros, fracciones o decimales. Luego plantea y resuelve con orden.
Problema 1
Para una receta de pastel se necesitan \(2,5\) tazas de harina. Si en la despensa ya hay \(\frac{3}{4}\) de taza y luego se agregan \(1\) taza más, ¿cuánta harina falta para completar la receta?
Datos: se necesitan \(2,5\) tazas; hay \(\frac{3}{4}\) de taza; se agrega \(1\) taza.
Planteo:
\[ 2,5-\left(\frac{3}{4}+1\right) \]
Desarrollo:
Convertimos \(2,5=\frac{5}{2}\) y \(1=\frac{4}{4}\):
\[ \frac{3}{4}+1=\frac{3}{4}+\frac{4}{4}=\frac{7}{4} \]
\[ 2,5-\frac{7}{4} = \frac{5}{2}-\frac{7}{4} = \frac{10}{4}-\frac{7}{4} = \frac{3}{4} \]
Solución: \(\frac{3}{4}\).
Respuesta: Falta \(\frac{3}{4}\) de taza de harina.
Problema 2
Un par de zapatillas cuesta $45.000. Si la tienda ofrece un descuento de \(0,2\) del precio y además se usa un cupón de \(\frac{1}{10}\) del precio original, ¿cuál es el precio final?
Datos: precio original $45.000; descuento \(0,2\); cupón \(\frac{1}{10}\).
Planteo:
\[ 45.000-\left(45.000\cdot 0,2\right)-\left(45.000\cdot \frac{1}{10}\right) \]
Desarrollo:
\[ 45.000\cdot 0,2=9.000 \]
\[ 45.000\cdot \frac{1}{10}=4.500 \]
\[ 45.000-9.000-4.500=31.500 \]
Solución: \(31.500\).
Respuesta: El precio final es $31.500.
Problema 3
Ana tenía $20.000 en su billetera. Gastó \(\frac{1}{4}\) de ese dinero en un libro y luego gastó \(0,1\) del monto original en un helado. ¿Cuánto dinero le queda?
Datos: dinero inicial $20.000; gasto en libro \(\frac{1}{4}\); gasto en helado \(0,1\).
Planteo:
\[ 20.000-\left(20.000\cdot \frac{1}{4}\right)-\left(20.000\cdot 0,1\right) \]
Desarrollo:
\[ 20.000\cdot \frac{1}{4}=5.000 \]
\[ 20.000\cdot 0,1=2.000 \]
\[ 20.000-5.000-2.000=13.000 \]
Solución: \(13.000\).
Respuesta: A Ana le quedan $13.000.
Problema 4
Un terreno rectangular mide \(12,5\) metros de largo y \(\frac{18}{5}\) metros de ancho. Se quiere cercar el terreno con \(3\) vueltas de alambre. ¿Cuántos metros de alambre se necesitarán?
Datos: largo \(12,5\) m; ancho \(\frac{18}{5}\) m; \(3\) vueltas.
Planteo:
\[ 3\cdot 2\cdot \left(12,5+\frac{18}{5}\right) \]
Desarrollo:
Convertimos \(12,5=\frac{25}{2}\):
\[ \frac{25}{2}+\frac{18}{5} = \frac{125}{10}+\frac{36}{10} = \frac{161}{10} = 16,1 \]
\[ 2\cdot 16,1=32,2 \]
\[ 3\cdot 32,2=96,6 \]
Solución: \(96,6\).
Respuesta: Se necesitarán \(96,6\) metros de alambre.
Problema 5
Un estanque de \(400\) litros de capacidad está lleno hasta sus \(\frac{3}{4}\) partes. Si se utiliza \(0,25\) del agua que contiene para regar, ¿cuántos litros de agua quedan?
Datos: capacidad \(400\) L; llenado \(\frac{3}{4}\); uso \(0,25\) del agua contenida.
Planteo:
\[ \left(400\cdot \frac{3}{4}\right)-\left(400\cdot \frac{3}{4}\cdot 0,25\right) \]
Desarrollo:
\[ 400\cdot \frac{3}{4}=300 \]
\[ 300\cdot 0,25=75 \]
\[ 300-75=225 \]
Solución: \(225\).
Respuesta: Quedan \(225\) litros de agua en el estanque.
Problema 6
Un ciclista debe recorrer \(120\) km. Durante la mañana recorre \(\frac{1}{3}\) del trayecto total. Por la tarde recorre \(0,5\) de lo que le quedaba. ¿Cuántos kilómetros le faltan por recorrer?
Datos: trayecto total \(120\) km; mañana \(\frac{1}{3}\); tarde \(0,5\) del resto.
Planteo:
\[ 120-\left(120\cdot \frac{1}{3}\right)-\left[\left(120-120\cdot \frac{1}{3}\right)\cdot 0,5\right] \]
Desarrollo:
\[ 120\cdot \frac{1}{3}=40 \]
\[ 120-40=80 \]
\[ 80\cdot 0,5=40 \]
\[ 120-40-40=40 \]
Solución: \(40\).
Respuesta: Le faltan \(40\) km por recorrer.
Problema 7
Un terreno rectangular mide \(10,5\) metros de largo y \(\frac{20}{3}\) metros de ancho. Si se quiere plantar césped en \(0,8\) de su superficie, ¿cuántos metros cuadrados de césped se necesitan?
Datos: largo \(10,5\) m; ancho \(\frac{20}{3}\) m; superficie con césped \(0,8\).
Planteo:
\[ 10,5\cdot \frac{20}{3}\cdot 0,8 \]
Desarrollo:
Convertimos \(10,5=\frac{21}{2}\) y \(0,8=\frac{4}{5}\):
\[ \frac{21}{2}\cdot \frac{20}{3}=70 \]
\[ 70\cdot \frac{4}{5}=56 \]
Solución: \(56\).
Respuesta: Se necesitan \(56\) metros cuadrados de césped.
Problema 8
Una deuda de $240.000 se paga en tres cuotas. La primera es \(\frac{1}{3}\) del total. La segunda es \(0,75\) de la primera cuota. ¿Cuánto se debe pagar en la tercera cuota?
Datos: deuda $240.000; primera cuota \(\frac{1}{3}\); segunda cuota \(0,75\) de la primera.
Planteo:
\[ 240.000-\left(240.000\cdot \frac{1}{3}\right)-\left(240.000\cdot \frac{1}{3}\cdot 0,75\right) \]
Desarrollo:
\[ 240.000\cdot \frac{1}{3}=80.000 \]
\[ 80.000\cdot 0,75=60.000 \]
\[ 240.000-80.000-60.000=100.000 \]
Solución: \(100.000\).
Respuesta: En la tercera cuota se deben pagar $100.000.
Problema 9
Una piscina con forma de prisma rectangular mide \(2,5\) m de largo, \(\frac{9}{5}\) m de ancho y \(2\) m de profundidad. Si \(1\) metro cúbico equivale a \(1.000\) litros, ¿cuántos litros de agua se necesitan para llenarla?
Datos: largo \(2,5\) m; ancho \(\frac{9}{5}\) m; profundidad \(2\) m; \(1\text{ m}^3=1.000\) L.
Planteo:
\[ 2,5\cdot \frac{9}{5}\cdot 2\cdot 1.000 \]
Desarrollo:
Convertimos \(2,5=\frac{5}{2}\):
\[ \frac{5}{2}\cdot \frac{9}{5}\cdot 2=9 \]
\[ 9\cdot 1.000=9.000 \]
Solución: \(9.000\).
Respuesta: Se necesitan \(9.000\) litros de agua para llenar la piscina.
Problema 10
Javiera gana un sueldo mensual de $900.000. Decide ahorrar \(0,1\overline{6}\) de su sueldo cada mes durante \(\frac{1}{2}\) año. ¿Cuánto dinero ahorra en total?
Datos: sueldo $900.000; ahorro mensual \(0,1\overline{6}\); tiempo \(\frac{1}{2}\) año.
Planteo:
\[ 900.000\cdot 0,1\overline{6}\cdot 6 \]
Desarrollo:
Como \(\frac{1}{2}\) año son \(6\) meses y \(0,1\overline{6}=\frac{1}{6}\):
\[ 900.000\cdot \frac{1}{6}=150.000 \]
\[ 150.000\cdot 6=900.000 \]
Solución: \(900.000\).
Respuesta: Javiera ahorra $900.000 en medio año.
Problema 11
Un coche recorre \(120\) kilómetros en \(1,5\) horas. Luego aumenta su velocidad en \(\frac{1}{4}\) y recorre \(200\) kilómetros más. ¿Cuánto tiempo tardó en total el viaje?
Datos: primer tramo \(120\) km en \(1,5\) h; aumento de velocidad \(\frac{1}{4}\); segundo tramo \(200\) km.
Planteo:
Primero se calcula la velocidad inicial, luego la nueva velocidad y finalmente el tiempo total.
Desarrollo:
\[ \frac{120}{1,5}=80 \]
La velocidad inicial es \(80\) km/h.
\[ 80+\left(80\cdot \frac{1}{4}\right)=80+20=100 \]
La nueva velocidad es \(100\) km/h.
\[ \frac{200}{100}=2 \]
\[ 1,5+2=3,5 \]
Solución: \(3,5\).
Respuesta: El viaje tardó \(3,5\) horas en total.
Problema 12
Se mezclan \(1,5\) kg de nueces que cuestan $12.000 el kg, con \(\frac{5}{2}\) kg de almendras que cuestan $10.000 el kg. ¿Cuál es el precio promedio por kg de la mezcla?
Datos: nueces \(1,5\) kg a $12.000/kg; almendras \(\frac{5}{2}\) kg a $10.000/kg.
Planteo:
\[ \frac{1,5\cdot 12.000+\frac{5}{2}\cdot 10.000}{1,5+\frac{5}{2}} \]
Desarrollo:
\[ 1,5\cdot 12.000=18.000 \]
\[ \frac{5}{2}\cdot 10.000=25.000 \]
\[ 18.000+25.000=43.000 \]
\[ 1,5+\frac{5}{2}=1,5+2,5=4 \]
\[ \frac{43.000}{4}=10.750 \]
Solución: \(10.750\).
Respuesta: El precio promedio de la mezcla es $10.750 por kg.
Problema 13
Se invierten $200.000 en una cuenta. El primer año aumenta en \(0,05\) del capital y el segundo año aumenta en \(\frac{1}{20}\) del monto acumulado. ¿Cuánto dinero habrá al final del segundo año?
Datos: capital $200.000; aumento del primer año \(0,05\); aumento del segundo año \(\frac{1}{20}\).
Planteo:
\[ 200.000\cdot (1+0,05)\cdot \left(1+\frac{1}{20}\right) \]
Desarrollo:
Como \(0,05=\frac{1}{20}\), ambos aumentos son equivalentes:
\[ 200.000\cdot 1,05=210.000 \]
\[ 210.000\cdot \left(1+\frac{1}{20}\right) = 210.000\cdot \frac{21}{20} = 220.500 \]
Solución: \(220.500\).
Respuesta: Al final del segundo año habrá $220.500.
Problema 14
Tres amigos organizan una fiesta que cuesta $150.000. El primer amigo paga \(0,4\) del total. El segundo paga \(\frac{2}{3}\) de lo que queda por pagar. El tercer amigo paga el resto. ¿Cuánto dinero puso el tercer amigo?
Datos: costo total $150.000; primer amigo paga \(0,4\); segundo amigo paga \(\frac{2}{3}\) del resto.
Planteo:
\[ 150.000-\left(150.000\cdot 0,4\right)-\left[\left(150.000-150.000\cdot 0,4\right)\cdot \frac{2}{3}\right] \]
Desarrollo:
\[ 150.000\cdot 0,4=60.000 \]
\[ 150.000-60.000=90.000 \]
\[ 90.000\cdot \frac{2}{3}=60.000 \]
\[ 90.000-60.000=30.000 \]
Solución: \(30.000\).
Respuesta: El tercer amigo puso $30.000.