Libro Crecimiento Exponencial
1. Crecimiento y Decrecimiento Lineal: La Suma y Resta Constante
Crecimiento lineal y crecimiento exponencial: comparación inicial
Objetivos
- Distinguir entre una situación que cambia por suma o resta constante y una situación que cambia por multiplicación constante.
- Reconocer cuándo un modelo corresponde a crecimiento lineal y cuándo corresponde a crecimiento exponencial.
- Completar tablas de valores y escribir funciones simples asociadas a situaciones de cambio.
Idea inicial
Antes de estudiar el crecimiento exponencial, conviene compararlo con el crecimiento lineal.
La diferencia principal está en cómo cambia la cantidad en cada período:
- En el crecimiento lineal, se suma o se resta siempre la misma cantidad.
- En el crecimiento exponencial, se multiplica siempre por el mismo factor.
Comparación fundamental
| Tipo de cambio | Qué ocurre en cada período | Modelo general |
|---|---|---|
| Crecimiento lineal | Se suma una cantidad constante. | \(f(t)=a+ct\) |
| Decrecimiento lineal | Se resta una cantidad constante. | \(f(t)=a-ct\) |
| Crecimiento exponencial | Se multiplica por un factor constante mayor que 1. | \(f(t)=a\cdot b^t,\ b>1\) |
En estos modelos, \(a\) representa la cantidad inicial y \(t\) representa el tiempo o número de períodos.
Ejemplo 1: sumar una cantidad constante
Supongamos que una persona comienza con $50 y ahorra $10 cada mes.
| Tiempo (meses) | Cálculo | Cantidad ahorrada ($) |
|---|---|---|
| 0 | \(50\) | 50 |
| 1 | \(50+10\) | 60 |
| 2 | \(50+10+10\) | 70 |
| 3 | \(50+10+10+10\) | 80 |
| 4 | \(50+10+10+10+10\) | 90 |
Como cada mes se suma siempre $10, el cambio es lineal.
La función que modela esta situación es:
\[ A(t)=50+10t \]
Ejemplo 2: multiplicar por un factor constante
Supongamos que una población de bacterias comienza con 10 bacterias y se duplica cada hora.
| Tiempo (horas) | Cálculo | Población de bacterias |
|---|---|---|
| 0 | \(10\) | 10 |
| 1 | \(10\cdot 2\) | 20 |
| 2 | \(10\cdot 2\cdot 2\) | 40 |
| 3 | \(10\cdot 2\cdot 2\cdot 2\) | 80 |
| 4 | \(10\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\) | 160 |
Como cada hora la cantidad se multiplica por 2, el cambio es exponencial.
La función que modela esta situación es:
\[ P(t)=10\cdot 2^t \]
Cómo decidir si una situación es lineal o exponencial
Para reconocer el tipo de crecimiento, observa qué ocurre al pasar de un período al siguiente.
- Si la diferencia entre valores consecutivos es constante, el modelo es lineal.
- Si el cociente entre valores consecutivos es constante, el modelo es exponencial.
Ejemplo 3: comparar las dos formas de crecimiento
Comparemos dos cantidades que comienzan en 10.
| Tiempo | Sumar 10 cada vez | Multiplicar por 2 cada vez |
|---|---|---|
| 0 | 10 | 10 |
| 1 | 20 | 20 |
| 2 | 30 | 40 |
| 3 | 40 | 80 |
| 4 | 50 | 160 |
En el primer caso, la cantidad aumenta siempre en 10. En el segundo caso, la cantidad se duplica en cada período.
Error común
No basta con decir que una cantidad “aumenta” para saber si el crecimiento es lineal o exponencial.
Lo importante es identificar si el aumento ocurre por suma constante o por multiplicación constante.
Ejercicios
Ejercicio 1
Un estanque contiene 500 litros de agua y se llena a razón de 25 litros por minuto.
Completa la tabla y escribe la función que modela la cantidad de agua en función del tiempo.
| Tiempo (minutos) | Cálculo | Cantidad de agua (litros) |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 |
La cantidad inicial es 500 litros y cada minuto se suman 25 litros.
| Tiempo (minutos) | Cálculo | Cantidad de agua (litros) |
|---|---|---|
| 0 | \(500\) | 500 |
| 1 | \(500+25\) | 525 |
| 2 | \(500+25\cdot 2\) | 550 |
| 3 | \(500+25\cdot 3\) | 575 |
Como se suma siempre la misma cantidad, el modelo es lineal.
La función es:
\[ A(t)=500+25t \]
Ejercicio 2
Un globo aerostático se encuentra a 800 metros de altura y desciende 40 metros por minuto.
Completa la tabla y escribe la función que modela la altura en función del tiempo.
| Tiempo (minutos) | Cálculo | Altura (metros) |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 |
La altura inicial es 800 metros y cada minuto disminuye 40 metros.
| Tiempo (minutos) | Cálculo | Altura (metros) |
|---|---|---|
| 0 | \(800\) | 800 |
| 1 | \(800-40\) | 760 |
| 2 | \(800-40\cdot 2\) | 720 |
| 3 | \(800-40\cdot 3\) | 680 |
Como se resta siempre la misma cantidad, el modelo es lineal.
La función es:
\[ H(t)=800-40t \]
Ejercicio 3
Una población de conejos se triplica cada año. Si inicialmente hay 5 conejos, completa la tabla y escribe la función que modela la población.
| Tiempo (años) | Cálculo | Población de conejos |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 |
La población inicial es 5 y cada año se multiplica por 3.
| Tiempo (años) | Cálculo | Población de conejos |
|---|---|---|
| 0 | \(5\) | 5 |
| 1 | \(5\cdot 3\) | 15 |
| 2 | \(5\cdot 3^2\) | 45 |
| 3 | \(5\cdot 3^3\) | 135 |
Como se multiplica siempre por el mismo factor, el modelo es exponencial.
La función es:
\[ P(t)=5\cdot 3^t \]
Ejercicio 4
Indica si cada situación corresponde a crecimiento lineal o crecimiento exponencial. Justifica brevemente.
| Situación | Tipo de crecimiento |
|---|---|
| Un ahorro aumenta $20.000 cada mes. | |
| Una población se duplica cada hora. | |
| Un trabajador recibe $50.000 más de sueldo cada año. | |
| Una inversión se multiplica por \(1,05\) cada año. |
| Situación | Tipo de crecimiento | Justificación |
|---|---|---|
| Un ahorro aumenta $20.000 cada mes. | Lineal | Se suma siempre la misma cantidad. |
| Una población se duplica cada hora. | Exponencial | Se multiplica siempre por 2. |
| Un trabajador recibe $50.000 más de sueldo cada año. | Lineal | Se suma siempre la misma cantidad. |
| Una inversión se multiplica por \(1,05\) cada año. | Exponencial | Se multiplica siempre por el mismo factor. |
Ejercicio 5
Dos estudiantes comienzan con $10.000.
Camila suma $5.000 cada semana. Diego duplica su dinero cada semana.
Completa la tabla y responde: ¿quién tiene más dinero después de 4 semanas?
| Tiempo (semanas) | Camila: suma $5.000 | Diego: duplica |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 | ||
| 4 |
Camila tiene un crecimiento lineal, porque suma $5.000 cada semana.
Diego tiene un crecimiento exponencial, porque multiplica por 2 cada semana.
| Tiempo (semanas) | Camila: \(C(t)=10000+5000t\) | Diego: \(D(t)=10000\cdot 2^t\) |
|---|---|---|
| 0 | 10000 | 10000 |
| 1 | 15000 | 20000 |
| 2 | 20000 | 40000 |
| 3 | 25000 | 80000 |
| 4 | 30000 | 160000 |
Después de 4 semanas, Diego tiene más dinero.
Cierre
La clave para diferenciar ambos modelos es observar el tipo de cambio.
Si el cambio ocurre sumando o restando una cantidad fija, el modelo es lineal. Si el cambio ocurre multiplicando por un factor constante, el modelo es exponencial.