Capitulo 6 sistemas de ecuaciones
1. Graficando Ecuaciones Lineales: ¡El Primer Paso!
Graficando Ecuaciones Lineales: ¡El Primer Paso!
¡Hola! Antes de meternos de lleno en los sistemas de ecuaciones, es fundamental dominar una herramienta clave: graficar una ecuación lineal. Entender cómo una simple ecuación se convierte en una recta en el plano cartesiano es la base para muchos temas que vienen más adelante. ¡Vamos a ver cómo se hace!
Paso 1: Entender los Pares Ordenados (x, y)
Todo punto en el plano cartesiano tiene una "dirección": un valor en el eje horizontal (x) y un valor en el eje vertical . A esto le llamamos par ordenado (x, y). Podemos tomar cualquier par de números y ubicarlo como un punto único en el gráfico.
Ejemplo: Ubicando puntos sueltos en el plano
Si tenemos los siguientes puntos, los ubicamos en el gráfico según sus coordenadas, sin que necesariamente tengan una relación entre ellos.
| Punto | Coordenada X | Coordenada Y | Par Ordenado (x,y) |
|---|---|---|---|
| A | 2 | 5 | (2, 5) |
| B | 3 | 4 | (3, 4) |
| C | -2 | 7 | (-2, 7) |
Paso 2: Conectando los Puntos con una "Regla del Juego"
Muy bien, ya sabemos ubicar cualquier punto (x, y) que nos den. Pero, ¿qué pasa si los puntos no son al azar? ¿Qué pasa si el valor de 'y' depende directamente del valor de 'x' siguiendo una regla? Aquí es donde la magia de las matemáticas aparece.
Una ecuación como \(y = 2x + 1\) es exactamente eso: una instrucción precisa, una regla. Nos dice: "Para cualquier valor de 'x' que elijas, el valor de 'y' será siempre el doble de ese 'x' más uno".
Con esto, ya no tenemos puntos sueltos. Ahora tenemos una "máquina" para generar infinitos puntos que están todos relacionados entre sí. La gran pregunta es: ¿qué figura formarán todos estos puntos predecibles si los dibujamos en el plano?
Paso 3: El Procedimiento para Graficar la Ecuación
Para descubrir la figura que forma nuestra "regla del juego", seguiremos un método ordenado.
- Crea una tabla de valores: Dale algunos valores simples a 'x' (se recomienda usar -2, -1, 0, 1, 2).
- Aplica la "regla" (la ecuación): Reemplaza cada valor de 'x' en la ecuación para calcular su 'y' correspondiente.
- Forma los pares ordenados: Junta cada 'x' con su 'y' calculado para formar los puntos (x, y).
- Ubica los puntos en el plano: Dibuja los puntos que generaste en el plano cartesiano.
- ¡Descubre y traza la figura!: Une todos los puntos. Si tus cálculos son correctos, verás que forman una figura muy familiar.
Ejemplo 1: Descubriendo la figura de \(y = 2x + 1\)
Vamos a aplicar nuestra "regla del juego". Daremos valores a 'x' para ver qué valores de 'y' nos genera la ecuación y qué pasa al graficarlos.
| Valor de X | Aplicamos la regla: y = 2x + 1 | Valor de Y | Punto (x, y) |
|---|---|---|---|
| -2 | y = 2(-2) + 1 = -4 + 1 | -3 | (-2, -3) |
| -1 | y = 2(-1) + 1 = -2 + 1 | -1 | (-1, -1) |
| 0 | y = 2(0) + 1 = 0 + 1 | 1 | (0, 1) |
| 1 | y = 2(1) + 1 = 2 + 1 | 3 | (1, 3) |
| 2 | y = 2(2) + 1 = 4 + 1 | 5 | (2, 5) |
¡Ajá! Al ubicar los puntos (-2, -3), (-1, -1), (0, 1), (1, 3) y (2, 5) y unirlos, descubrimos que todos caen perfectamente sobre una línea recta. ¡Esa es la figura que forma esta ecuación!
Para dibujar una recta, en teoría, solo necesitas dos puntos. Sin embargo, es una excelente práctica calcular un tercer punto. Si ese tercer punto también queda en la misma línea, ¡es casi seguro que tu trabajo está correcto! Si no, es una señal para que revises tus cálculos.
Ejemplo 2: Graficando \(y = -x + 3\)
Veamos este segundo caso. La 'x' negativa nos indica algo interesante. ¡Atención aquí!
| Valor de X | Reemplazamos en y = -x + 3 | Valor de Y | Punto (x, y) |
|---|---|---|---|
| -2 | y = -(-2) + 3 = 2 + 3 | 5 | (-2, 5) |
| -1 | y = -(-1) + 3 = 1 + 3 | 4 | (-1, 4) |
| 0 | y = -(0) + 3 = 0 + 3 | 3 | (0, 3) |
| 1 | y = -(1) + 3 = -1 + 3 | 2 | (1, 2) |
| 2 | y = -(2) + 3 = -2 + 3 | 1 | (2, 1) |
Al unir los puntos, notarás que esta también es una recta, pero baja de izquierda a derecha. Eso es por el signo negativo de la 'x'.
¡Ahora a Practicar!
Ejercicios Propuestos
Utiliza una tabla para encontrar al menos 3 puntos y luego grafica las siguientes ecuaciones lineales:
- \(y = 3x + 1\)
- \(y = -2x + 2\)
- \(y = \frac{x}{2} + 2\)
Solución Ejercicio 1: \(y = 3x + 1\)
| X | Y | Punto (x,y) |
|---|---|---|
| -1 | -2 | (-1, -2) |
| 0 | 1 | (0, 1) |
| 1 | 4 | (1, 4) |
La gráfica es una recta que sube de izquierda a derecha, y es más "empinada" que la del primer ejemplo.
Solución Ejercicio 2: \(y = -2x + 2\)
| X | Y | Punto (x,y) |
|---|---|---|
| -1 | 4 | (-1, 4) |
| 0 | 2 | (0, 2) |
| 1 | 0 | (1, 0) |
La gráfica es una recta que baja de izquierda a derecha.
Solución Ejercicio 3: \(y = \frac{x}{2} + 2\)
Cuando veas una fracción multiplicando a la 'x', una buena estrategia es usar valores para 'x' que sean múltiplos del denominador. En este caso, usar -2, 0, 2, 4 te dará números enteros para 'y', haciendo mucho más fácil el cálculo y el gráfico.
| X | Y | Punto (x,y) |
|---|---|---|
| -2 | 1 | (-2, 1) |
| 0 | 2 | (0, 2) |
| 2 | 3 | (2, 3) |
La gráfica es una recta que sube de izquierda a derecha, pero más "suavemente" o con menos inclinación.
¡Para un montón de cosas! Las ecuaciones lineales pueden modelar situaciones como:
- Calcular el costo total de un plan de celular: un cargo fijo (donde la recta corta el eje y) más un costo por cada giga consumido (la inclinación de la recta).
- Estimar la distancia que recorre un auto a velocidad constante.
- Predecir el crecimiento de una planta que crece a un ritmo regular.
Entenderlas es entender cómo cambian las cosas a un ritmo constante a nuestro alrededor.